四川省成都市成都高新实验中学2025届数学九上开学达标检测模拟试题【含答案】

这是一份四川省成都市成都高新实验中学2025届数学九上开学达标检测模拟试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）某校九年级（1）班全体学生体能测试成绩统计如下表（总分30分）：
根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是( )
A．该班一共有40名同学B．成绩的众数是28分
C．成绩的中位数是27分D．成绩的平均数是27.45分
2、（4分）一鞋店试销一种新款女鞋，试销期间卖出情况如表：
对于这个鞋店的经理来说最关心哪种型号的鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
3、（4分）一个正n边形的每一个外角都是45°，则n＝（ ）
A．7B．8C．9D．10
4、（4分）下列函数关系式：①y=-2x，②y＝−，③y=-2x2，④y=2，⑤y=2x-1．其中是一次函数的是（ ）
A．①⑤B．①④⑤C．②⑤D．②④⑤
5、（4分）如图，在点中，一次函数y＝kx＋2（k＜0）的图象不可能经过的点是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间,并列出了如下的频数分布表:
则通话时间不超过15 min的频率为( )
A．0.1B．0.4C．0.5D．0.9
7、（4分）不等式：的解集是（ ）
A．B．C．D．
8、（4分）若Rt△ABC中两条边的长分别为a＝3，b＝4，则第三边c的长为（ ）
A．5B．C．或D．5或
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）约分___________．
10、（4分）若式子 有意义，则x的取值范围为___________．
11、（4分）分解因式：
12、（4分）直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则的值为______.
13、（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6 BC=14， P、Q分别为BD、AC的中点，则PQ= ____.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
15、（8分）如图，对称轴为直线x＝1的抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B，点D在y轴上，且OB＝3OD
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线上的一个动点P的横坐标为t
①当0＜t＜3时，求四边形CDBP的面积S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
②点Q在直线BC上，若以CD为边，点C、D、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
16、（8分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．
（1）如图①，当时，求的值；
（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF＝OA；
（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG＝BG．
17、（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，点，的坐标分别为，，直线与直线相交于点.
（1）求直线的表达式；
（2）求点的坐标；
18、（10分）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.
求证：CE＝CF．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）若一直角三角形的两直角边长为，1，则斜边长为_____．
20、（4分）数学兴趣小组的甲、乙、丙、丁四位同学进行还原魔方练习，下表记录了他们次还原魔方所用时间的平均值与方差：
要从中选择一名还原魔方用时少又发挥稳定的同学参加比赛，应该选择________同学．
21、（4分）袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个白球.从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为________.
22、（4分）如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，且，则______.
23、（4分）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了分钟后沿原路按原速返回．设他们出发后经过（分）时，小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），图中折线、线段分别表示、与之间的函数关系的图象．小明从家出发，经过___分钟在返回途中追上爸爸．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）定义：已知直线，则k叫直线l的斜率．
性质：直线(两直线斜率存在且均不为0)，若直线，则．
（1）应用：若直线互相垂直，求斜率k的值；
（2）探究：一直线过点A(2，3)，且与直线互相垂直，求该直线的解析式．
25、（10分）化简．
26、（12分）制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作，设该材料温度为y（℃）从加热开始计算的时间为x（min）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系：停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知在操作加热前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解．
【详解】
A、该班的学生人数为2+5+6+6+8+7+6=40（人），故此选项正确；
B、由于28分出现次数最多，即众数为28分，故此选项正确；
C、成绩的中位数是第20、21个数据的平均数，即中位数为=28（分），故此选项错误；
D、=27.45（分），故此选项正确，
故选C．
本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键．
2、B
【解析】
众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个鞋店的经理来说，他最关注的是数据的众数．
【详解】
解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．
故选B．
3、B
【解析】
根据正多边形的边数=360°÷每一个外角的度数，进行计算即可得解．
【详解】
解：n=360°÷45°=1．
故选：B．
本题考查了多边形的外角，熟记正多边形的边数、每一个外角的度数、以及外角和360°三者之间的关系是解题的关键．
4、A
【解析】
根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【详解】
解：①y=-2x是一次函数；
②y＝−自变量次数不为1，故不是一次函数；
③y=-2x2自变量次数不为1，故不是一次函数；
④y=2是常函数；
⑤y=2x-1是一次函数．
所以一次函数是①⑤．
故选：A．
本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
5、D
【解析】
由条件可判断出直线所经过的象限，再进行判断即可．
【详解】
解：∵在y＝kx＋2（k＜0）中，令x＝0可得y＝2，
∴一次函数图象一定经过第一、二象限，
∵k＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴一次函数不经过第三象限，
∴其图象不可能经过Q点，
故选：D．
本题主要考查一次函数的图象，利用k、b的正负判断一次函数的图象位置是解题的关键，即在y＝kx＋b中，①k＞0，b＞0，直线经过第一、二、三象限，②k＞0，b＜0，直线经过第一、三、四象限，③k＜0，b＞0，直线经过第一、二、四象限，④k＜0，b＜0，直线经过第二、三、四象限．
6、D
【解析】
用不超过15分钟的通话时间除以所有的通话时间即可求得通话时间不超过15分钟的频率．
【详解】
解：∵不超过15分钟的通话次数为20+16+9=45次，通话总次数为20+16+9+5=50次，
∴通话时间不超过15min的频率为=0.9，
故选D．
本题考查了频数分布表的知识，解题的关键是了解频率=频数÷样本容量，难度不大．
7、C
【解析】
利用不等式的基本性质：先移项，再系数化1，即可解得不等式；注意系数化1时不等号的方向改变．
【详解】
1-x＞0，
解得x＜1，
故选C．
本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
8、D
【解析】
分情况讨论：①当a，b为直角边时，求得斜边c的长度；②当a为直角边，b为斜边时，求得另外一条直角边c的长度．
【详解】
解：分两种情况：
①当a，b为直角边时，第三边c==5；
②当a为直角边，b为斜边时，第三边c=．
故选D．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中讨论边长为4的边是直角边还是斜边是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据分式的性质,分子分母同时扩大或缩小相同倍数时分式的值不变即可解题.
【详解】
=,（分子分母同时除以6abc）.
本题考查了分式的变形和化简,属于简单题,熟悉分式的性质是解题关键.
10、x≥5
【解析】
根据二次根式的性质，即可求解．
【详解】
因为式子有意义，
可得：x-5≥1，
解得：x≥5，
故选A．
主要考查了二次根式的意义．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于1．
11、
【解析】
试题分析：首先提取公因式b，然后根据完全平方公式进行因式分解．原式＝＝
考点：（1）因式分解；（2）提取公因式法；（3）完全平方公式
12、
【解析】
直线y=-2x+b与x轴的交点为（ ，0），与y轴的交点是（0，b），由题意得，，求解即可．
【详解】
∵直线y=-2x+b与x轴的交点为（ ，0），与y轴的交点是（0，b），直线y=-2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是1，
∴，
解得：b=±1．
故答案为：．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．本题需注意在计算平面直角坐标系中的三角形面积时，用不确定的未知字母来表示线段长时，应该使用该字母的绝对值表示．
13、1．
【解析】
首先连接DQ，并延长交BC于点E，易证得△ADQ≌△CEQ（ASA），即可求得DQ=EQ，CE=AD=6，继而可得PQ是△DBE的中位线，则可求得答案．
【详解】
解：连接DQ，并延长交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴∠DAQ=∠ECQ，
在△ADQ和△CEQ中，
，
∴△ADQ≌△CEQ（ASA），
∴DQ=EQ，CE=AD=6，
∴BE=BC-CE=11-6=8，
∵BP=DP，
∴PQ=BE=1．
故答案为：1．
本题考查梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的中位线的性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）AE=EF=AF；（2）证明过程见解析；（3）3-
【解析】
试题分析：（1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形．
（2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．
（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF• sin60°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题．
试题解析：解：（1）结论AE=EF=AF．
理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°．∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC．∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF．
（2）连接AC．如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，∵∠BAE=∠CAF，BA=AC，∠B=∠ACF，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．
（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H．∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°．在Rt△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=．在Rt△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=，∴EB=EG﹣BG=．∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=，∠AEB=∠AFC=45°．∵∠EAF=60°，AE=AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=∠AFE=60°．
∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°．在Rt△EFH中，∠CEF=15°，∴∠EFH=75°．∵∠AFE=60°，∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°．∵∠AFC=45°，∴∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°．在Rt△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=，∴FH=CF•sin60°==，∴点F到BC的距离为．
15、（1）y＝﹣x1+1x+3（1）①t＝时，S的最大值为②P（1，4）或（1，3）或（，）或（，）
【解析】
(1)设所求抛物线的表达式为 y＝a(x+1)(x﹣3)，把点C(2，3)代入表达式，即可求解；
(1)①设P(t，﹣t1+1t+3)，则E(t，﹣t+3)，S四边形CDBP＝S△BCD+S△BPC＝CD•OB+PE•OB，即可求解；
②分点P在点Q上方、下方两种情况讨论即可求解．
【详解】
(1)∵抛物线的对称轴为x＝1，A(﹣1，2)，
∴B(3，2)．
∴设所求抛物线的表达式为 y＝a(x+1)(x﹣3)，
把点C(2，3)代入，得3＝a(2+1)(2﹣3)，
解得a＝﹣1，
∴所求抛物线的表达式为y＝﹣(x+1)(x﹣3)，即y＝﹣x1+1x+3；
(1)①连结BC．
∵B(3，2)，C(2，3)，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
∵OB＝3OD，OB＝OC＝3，
∴OD＝1，CD＝1，
过点P作PE∥y轴，交BC于点E(如图1)．
设P(t，﹣t1+1t+3)，则E(t，﹣t+3)．
∴PE＝﹣t1+1t+3﹣(﹣t+3)＝﹣t1+3t．
S四边形CDBP＝S△BCD+S△BPC＝CD•OB+PE•OB，
即S＝×1×3+(﹣t1+3t)×3＝﹣(t﹣)1+，
∵a＝﹣＜2，且2＜t＜3，
∴当t＝时，S的最大值为；
②以CD为边，点C、D、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，
则PQ∥CD，且PQ＝CD＝1．
∵点P在抛物线上，点Q在直线BC上，
∴点P(t，﹣t1+1t+3)，点Q(t，﹣t+3)．
分两种情况讨论：
(Ⅰ) 如图1，当点P在点Q上方时，
∴(﹣t1+1t+3)﹣(﹣t+3)＝1．即t1﹣3t+1＝2．解得 t1＝1，t1＝1．
∴P1(1，4)，P1(1，3)，
(Ⅱ) 如图3，当点P在点Q下方时，
∴(﹣t+3)﹣(﹣t1+1t+3)＝1．即t1﹣3t﹣1＝2．
解得 t3＝，t4＝，
∴P3(，)，P4(，)，
综上所述，所有符合条件的点P的坐标分别为：P(1，4)或(1，3)或(，)或(，)．
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
16、（1）；（2）（3）见解析
【解析】
试题分析：（1）利用相似三角形的性质求得与的比值，依据和同高，则面积的比就是与的比值，据此即可求解；
（2）利用三角形的外角和定理证得 可以证得，在直角中，利用勾股定理可以证得；
（3）连接 易证是的中位线，然后根据是等腰直角三角形，易证 利用相似三角形的对应边的比相等即可．
试题解析：(1)∵，∴
∵四边形ABCD是正方形，

∴△CEF∽△ADF，∴，∴，∴；
(2)证明：∵DE平分∠CDB,
∴∠ODF=∠CDF，
∵AC、BD是正方形ABCD的对角线．

而∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，
∴∠ADF=∠AFD，
∴AD=AF，
在中,根据勾股定理得：
AD==OA，

(3)证明：连接OE.
∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点，
点O是BD的中点．
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△BCD的中位线，


∴=，∴.


.在 中，∵∠GCF=45°.∴CG=GF，
又∵CD=BC，∴，
∴=.
∴CG=BG.
17、（1）；（2）
【解析】
（1）设直线的表达式为y=kx＋b，利用待定系数法即可求出直线的表达式；
（2）将直线AB的表达式和直线的表达式联立，解方程即可求出交点P坐标．
【详解】
解：（1）设直线的表达式为y=kx＋b，
将点A和点B的坐标代入，得

解得：
∴直线的表达式为；
（2）将直线AB的表达式和直线的表达式联立，得
解得：
∴直线与直线的交点的坐标为
此题考查的是求一次函数的表达式和两条直线的交点坐标，掌握用待定系数法求一次函数的表达式和将两个一次函数的表达式联立求交点坐标是解决此题的关键．
18、见解析.
【解析】
根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，根据等腰三角形的判定推出即可。
【详解】
证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
即∠CEF=∠CFE
∴CE=CF．
本题考查了直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，关键是推出∠CEF=∠CFE．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】
解：斜边长＝＝1，
故答案为：1．
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a1+b1=c1．
20、丁
【解析】
据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】
解：因为乙和丁的方差最小，但丁平均数最小，
所以丁还原魔方用时少又发挥稳定．
故应该选择丁同学．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
21、
【解析】
直接利用概率公式求解．
【详解】
从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率=．
故答案为．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
22、45
【解析】
根据三角形中位线定理易证△FPE是等腰三角形，然后根据平行线的性质和三角形外角的性质求出∠FPE =90°即可.
【详解】
解：∵是的中点，、分别是、的中点，
∴EP∥AD，EP=AD，FP∥BC，FP=BC，
∵AD=BC，
∴EP=FP，
∴△FPE是等腰三角形，
∵，
∴∠PEB+∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠FPE=∠DPE+∠DPF=∠PEB+∠ABD+∠DBC=90°，
∴，
故答案为：45.
本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质以及三角形外角的性质，根据三角形中位线定理证得△FPE是等腰三角形是解题关键.
23、1.
【解析】
用路程除以时间就是小亮骑自行车的速度；设小亮从家出发，经过x分钟，在返回途中追上爸爸，再由题意得出等量关系除了小亮在图书馆停留2分钟，即x-2分钟所走的路程减去小亮从家到图书馆相距的2400米，就是小亮在返回途中追上爸爸时，爸爸所走的路程，列出方程即可解答出来
【详解】
解：小亮骑自行车的速度是2400÷10=240m/min；
先设小亮从家出发，经过x分钟，在返回途中追上爸爸，由题意可得：
（x-2）×240-2400=96x
240x-240×2-2400=96x
144x=2880
x=1．
答：小亮从家出发，经过1分钟，在返回途中追上爸爸．
此题考查一次函数的实际运用，根据图象，找出题目蕴含的数量关系，根据速度、时间、路程之间关系解决问题．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）；（2）．
【解析】
（1）根据，则的性质解答即可；
（2）设该直线的解析式为，根据，则的性质可求出k的值，把A点坐标代入可求出b值，即可得答案．
【详解】
（1）∵直线互相垂直，
∴，
∴．
（2）设该直线的解析式为，
∵直线与直线互相垂直，
∴，
解得：k=3，
把A(2，3)代入得：，
解得：b=﹣3，
∴该直线的解析式为．
本题考查了两直线相交问题，正确理解题中所给定义与性质是解题关键．
25、
【解析】
解：原式＝．
先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简．
26、（1）;（2）20分钟.
【解析】
（1）材料加热时，设y=ax+15（a≠0），
由题意得60=5a+15，
解得a=9，
则材料加热时，y与x的函数关系式为y=9x+15（0≤x≤5）．
停止加热时，设y=（k≠0），
由题意得60=，
解得k=300，
则停止加热进行操作时y与x的函数关系式为y=（x≥5）；
（2）把y=15代入y=，得x=20，
因此从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．
答：从开始加热到停止操作，共经历了20分钟．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
成绩（分）
24
25
26
27
28
29
30
人数（人）
2
5
6
6
8
7
6
型号
220
225
230
235
240
245
250
数量（双）
3
5
10
15
8
3
2
通话时间
x/min
0