广东省东莞市虎门外语学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份广东省东莞市虎门外语学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：120分钟，满分150分.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.直线的倾斜角为（ ）
A.B.C.D.
2.过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A.B.
C.D.
3.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ）
A.B.6C.D.4
4.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A.1B.2C.D.4
5.如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为（ ）
A.B.B.D.
6.直线上到点距离最近的点的坐标是（ ）
A.B.C.D.
7.在空间直角坐标系Oxyz中，，，，点H在平面ABC内，则当点O与H间的距离取最小值时，点H的坐标是（ ）
A.B.C.D.
8.已知MN是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为（）
A.4B.12C.8D.6
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9.（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A.若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直
B.若直线的方向向量，平面的法向量，则
C.若平面，的法向量分别为，，则
D.若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
10.（多选题）如图所示，正方体中，，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（ ）
A.B.点必在线段上
C.D.平面
11.如图，DE是正三角形ABC的一条中位线，将沿DE折起，构成四棱锥，为的中点，则（ ）
A.面B.面
C.若面面ABC，则与CD所成角的余弦值为
D.若，则二面角的余弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12.已知直线，，若，则实数________.
13.已知向量，，且与互相垂直，则________.
14.如图，在长方体中，，，，分别为棱AB，BC上一点，且，是线段上一动点，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为________.
四、解答题：本题共5小题，15题13分，16至17题每小题15分，18至19题每小题19分，共77分.
15.已知空间向量，，.
（I）若，求；
（II）若，求的值.
16.已知的顶点，，边BC的垂直平分线的方程为.
（1）求边BC所在直线的方程；
（2）求的面积.
17.如图所示，三棱柱中，，，，，，，是AB中点.
（1）用，，表示向量；
（2）在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由.
18.如图所示，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面ABCD.
（1）求证：平面ABE；
（2）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；
（3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为？若存在，求出线段BP的长；若不存在，请说明理由.
19.如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为AC的中点，为内的动点（含边界）.
（1）求点到平面PBC的距离；
（2）求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值；
（3）若平面PAB，求直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围.
10月月考高二数学试题
单选：BADA ACCC 多选：AD BD BCD
11.【解答过程】解：若面，因为，平面，平面，所以面，又因为，所以平面面，但平面与面相交，所以假设不成立，所以BF不平行面，所以A不正确；
对于B，因为，，所以，，
又因为，所以面，所以B正确
对于C，将沿DE折起，使到，且面面ABC，
以ED的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，设三角形的边长为2，所以，，，，，，设与CD所成角的为，则，
所以与CD所成角的余弦值为，所以C正确；
对于D，设，因为，，
所以
所以，，，
因为，所以，
所以，，，
设平面，所以，
故，
设平面，所以，
故，
设二面角所成角为，，
因为为钝二面角，所以二面角的余弦值为.所以D正确.故选：BCD.
填空题：12.【答案】3 13.. 14..
【解答过程】解：当三棱锥的体积最大时，的面积取最大值，，当且仅当时，等号成立，此时，为AB的中点，与重合.如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，
设平面的法向量为，，可取，得.
设，，，.
设直线与平面所成的角为，
.
，当时，的最大值为；当或1时，的最小值为，
直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.故答案为：.
15.【解答过程】解：（I）空间向量，，，因为，
所以存在实数，使得，
所以，解得，则；
（II）因为，则，解得，所以，
故.
16..解析（1）由边BC的垂直平分线的方程为，
得，又，
边所在直线的方程为，即.
（2）因为直线是BC边的垂直平分线，所以点与点关于直线对称，
设，则BC的中点为，
将中点坐标代入，得
解得所以，
故，点A到直线BC的距离为，
所以.
17.【解答过程】解：（1）；
（2）假设存在点M，使，设，（），
显然，，
因为，所以，
即，
，，，
即，
解得，所以当时，.
18.解析（1）证明：在矩形BDCF中，，
平面平面ABCD，平面平面，平面，
平面，平面，.
过D作AB的平行线.交BC于点G.又，
四边形ABGD为平行四边形，又，即，
四边形ABGD为矩形.
，平面，平面，
，
以为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设平面ABE的法向量为，
则，即，令，则，
又，，，
又平面，平面ABE.
（2）由（1）得，
设平面BEF的法向量为，
则即
令，则，
设平面ABE与平面EFB所成的锐二面角为，则，
平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是.
（3）假设存在满足题意的点，且，
，，，
设直线BP与平面ABE所成的角为，
由（1）知平面ABE的一个法向量为，
，
化简得，解得或.
当时，，；
当时，.
综上，存在满足题意的点P，且线段BP的长为2.
19.解析（1）连接OB，OP，因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，，为AC的中点，所以，，
又平面平面ABC，平面平面，，平面PAC，
所以平面ABC，又平面ABC，
所以，所以OB，OC，OP两两垂直，
易得，，
，.
.
，
所以点O到平面PBC的距离.
（2）在三棱锥中，以O为坐标原点，为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，如图，则，，，，，
设，则，，，，，设平面PAB的法向量为，
则，即
令，则，同理可求得平面PBC的一个法向量.
所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为.
（3）因为平面，平面PBC，
所以，即，
即，所以
所以，又所以.
又平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量，记，
设直线PH与平面ABC所成的角为，
则，
令，则，，
所以
令，所以，所以，
所以，所以直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围为