人教版（2024新版）七年级上册数学期中复习：动点问题 压轴题练习题汇编（含答案）

这是一份人教版（2024新版）七年级上册数学期中复习：动点问题 压轴题练习题汇编（含答案），共50页。试卷主要包含了定义，阅读材料并回答问题等内容，欢迎下载使用。
【实际应用】如图，在一条数轴上，从左往右的点表示的数分别是．
(1)点到原点的距离是______，两点之间的距离是______；
(2)已知点和点之间的距离是2，一动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，5秒后，点表示的数是多少？
(3)已知点在点的左侧，和点的距离是2个单位长度，一动点从点出发，沿数轴运动，下表是小俊记录的点运动的情况（沿数轴向右运动记为正，向左运动记为负，例如“”表示向左运动2个单位长度，“”表示向右运动4个单位长度），在第几次运动后点与点的距离最远，此时点表示的数是多少？
2．如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．

(1)则点对应的数是 ，点对应的数是 ；
(2)动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为．
①求点、对应的数（用含的式子表示）
②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关请你写出用表示的代数式；如果无关请你求出的长度．
3．如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且．点P从A点出发以每秒19个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动．
(1)________（填空），并求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数；
(2)点C在数轴上对应的数为81，在数轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M对应的数，若不存在，说明理由；
(3)求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；在整个过程中，点P和点Q一共相遇了多少次？
4．定义：若，，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点B的距离倍，我们就称点是【，B】的美好点．
例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点D就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点．
如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为。
(1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是_；写出【，】美好点所表示的数是_ ．
(2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？
5．如图，已知数轴上有两点，点表示的数是，点表示的数是，动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为个单位长度秒、个单位长度秒，设运动时间为．
(1)当时，点对应的数是______，点对应的数是______；
(2)当为何值时，两点之间相距个单位长度；
(3)当时，若线段和线段同时以个单位长度秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻？使得．若存在，求出此时的距离，若不存在，请说明理由．
6．阅读材料并回答问题：
对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点，，表示的数分别为，，，点与点的距离是，点与点的距离是，此时点是点，的“关联点”．
(1)若点表示，点表示．，，，对应的点分别是，，，，则其中哪几个点是点，的“关联点”？
(2)点表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点．若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，则点表示的数是____________．
7．若A、、为数轴上三点，若点到A的距离是点到的距离2倍，我们就称点是【A，】的好点．例如，如图1，点A表示的数为，点表示的数为2．表示1的点到点A的距离是2，到点的距离是1，那么点是【A，】的好点；又如，表示0的点到点A的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是【A，】的好点，但点是【，A】的好点．
知识运用：如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4．
(1)数 所表示的点是【，】的好点；
(2)如图3，A、为数轴上两点，点A所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当为何值时，、A和中恰有一个点为其余两点的好点？
8．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为．
【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒．
【综合运用】
(1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________；
(2)当为何值时，两点间距离为3；
(3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由．
9．如图，数轴上的单位长度为1，两点表示的数是互为相反数；
(1)点表示的数是______，点表示的数______．
(2)数轴上一个动点先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点，若点表示的数是1，则点所表示的数是______．
(3)在数轴上，点为坐标原点，若点点分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点同时运动时，设运动时间为秒．
①点表示的数为______；点表示的数为______．（用含的式子表示）
②当为何值时，点点点三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？
10．数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律：
①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离；
②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为．
请借用数轴和以上规律解决下列问题：
如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______；
(2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示）
(3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？
(4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值．
11．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．
探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为．
素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度．
问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？
探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）；
探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间．
12．已知一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位长度到达点，再从点向右移动12个单位长度到达点．点是线段的中点．
(1)点表示的数是_____；
(2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点分别从点出发，分别以每秒1个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒．
①当时，求的值；
②试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由．
13．如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒．

(1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为______，点与点的中点为，则点表示的数为______；运动秒后，点表示的数为______（用含的式子表示）；
(2)若秒钟过后，点是线段的中点，求值；
(3)当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
14．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为，0，．
(1)直接写出结果， ， ；
(2)设点P在数轴上对应的数为x．
①若点P为线段的中点，则 ；
②若点P为线段上的一个动点，则的化简结果是 ；
(3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由．
15．综合与探究
数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题：
(1)平移运动
一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
(2)翻折变换
①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合．
②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．
③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ．
16．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为满足，点是数轴原点．
(1)点表示的数为______，点表示的数为______，线段的长为______；
(2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______；
(3)在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的点重合，以每秒2个单位长度的速度向点移动；木棒出发6秒后，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点移动；且当点到达点时，木棒与点同时停止移动．设点移动的时间为秒，当为多少时，点恰好距离木棒2个单位长度？
17．阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示．
(1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置：
(2)点C到点A的距离______；若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为_________；
(3)若将点A向右移动，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示）
(4)若点B以每秒的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒、的速度向右移动，设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
18．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足．
(1)求C点对应的数；
(2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．
①当时，求t的值；
②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值．
19．如图1．在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：如图2：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数．
(1) ， ， ；
(2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数 的点重合；
(3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后．
①请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；
②探究：若点A，C向右运动，点B向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
20．将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点A、B的距离．如果A、B两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，，如果A、B两点分别位于两个数轴上，定义．

利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“”或“”，例如，“”表示上层数轴中表示数“2”的点，“”表示下层数轴中表示数“”的点，“”“”分别表示上下两个数轴的原点．
(1)在双轴系中与的距离为：______，与的距离为________；
(2)在（1）的假设下，现有只电子蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、…，另有一只电子蚂蚁乙从“”所表示的点出发，然后跳跃到，接着又跳回其后再次跳到，下一步又跳回，按此规律在和之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致．
①当蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了多少次？
②当甲乙两只蚂蚁的距离为时，请直接写出3个符合条件的跳跃次数．
21．已知，数轴上有三个点，，，它们的起始位置表示的数分别是，，6，如图所示．

(1)若将点从起始位置开始沿数轴向右移动，使得，两点之间的距离与，两点之间的距离相等，则须将点向右移动______单位；
(2)若点从起始位置开始，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时，点也从起始位置开始，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，设运动的时间为（秒）．
①求（用含的代数式表示）；
②若点也与点，同时从起始位置开始运动，且点以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，试问：是否存在一个常数，使得的值不随运动时间（秒）的变化而改变？若存在，请求出常数，并求此时的值；若不存在，请说明理由．
22．如图，在数轴上A点表示数，B点表示数6．
(1)A、B两点之间的距离等于 ；
(2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在数轴上找一点C，使，则C点表示的数是 ；
(3)若在原点O的左边2个单位处放一挡板，一小球P从点A处以4个单位/秒的速度向右运动；同时另一小球Q从点B处以2个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）两球分别以原来的速度向相反的方向运动，设运动时间为秒，已知在小球Q开始运动的前两秒、和触碰到挡板返回至点B的过程中，对应的的值是定值，请分别求出相应定值．
23．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度．我们把数轴上点A到点C的距离表示为，同理，A到点B的距离表示为．

(1)在图1的数轴上， 个长度单位；在图2中刻度尺上， ；数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的 ；刻度尺上的对应数轴上的 个长度单位；
(2)在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足，请通过计算，求b的值及点Q所表示的数；
(3)点，分别从，出发，同时向右匀速运动，点的运动速度为5个单位长度秒，点的速度为3个单位长度秒，设运动的时间为秒．在，运动过程中，若的值不会随的变化而改变，请直接写出符合条件的的值．
24．定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题．
两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0．
(1)求数轴上点H、A所表示的数？
(2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒．
①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）．
②求（用含x的式子表示，结果需化简）．
若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值．
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1．【知识引导】在数轴上，两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，例：点表示的数为2，点表示的数为，则点之间的距离为．
【实际应用】如图，在一条数轴上，从左往右的点表示的数分别是．
(1)点到原点的距离是______，两点之间的距离是______；
(2)已知点和点之间的距离是2，一动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，5秒后，点表示的数是多少？
(3)已知点在点的左侧，和点的距离是2个单位长度，一动点从点出发，沿数轴运动，下表是小俊记录的点运动的情况（沿数轴向右运动记为正，向左运动记为负，例如“”表示向左运动2个单位长度，“”表示向右运动4个单位长度），在第几次运动后点与点的距离最远，此时点表示的数是多少？
【答案】(1)3，9(2)(3)第4次运动后，点与点之间的距离最远，此时点表示的数是
【分析】本题考查数轴上的动点问题，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键．
（1）两点之间的距离可以用这两点在数轴上所对应数的差的绝对值来表示，由此计算即可；
（2）先求出点B表示的数，再根据点P的运动方向及速度即可求解；
（3）先求出点D表示的数，再计算出每次运动后点Q表示的数，进而计算出点与点的距离，即可求解．
【详解】（1）解：点到原点的距离是，两点之间的距离是，
故答案为：3，9；
（2）解：因为点和点之间的距离是2，所以点表示的数是．
5秒后点向左运动了个单位长度，，
所以点表示的数是；
（3）解：因为点在点的左侧，和点的距离是2个单位长度，
所以点表示的数是．
第1次运动后点表示的数，
此时点与点的距离：；
第2次运动后点表示的数是，此时点与点的距离：；
第3次运动后点表示的数是，此时点与点的距离：；
第4次运动后点表示的数是，此时点与点的距离：．
，
所以在第4次运动后，点与点之间的距离最远，此时点表示的数是．
2．如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．

(1)则点对应的数是 ，点对应的数是 ；
(2)动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为．
①求点、对应的数（用含的式子表示）
②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关请你写出用表示的代数式；如果无关请你求出的长度．
【答案】(1)，
(2)①点M对应的数为：，点N对应的数为：；②的长度与无关，长度为
【分析】本题是数轴上的动点问题，涉及数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示数等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式．
（1）由已知、结合数轴，根据数轴上两点之间的距离即可求解；
（2）①由题意可得、的长度，从而由点、对应的数即可求出点、对应的数；②根据题意可得点对应的数，进而得到的长度，根据结果即可作出判断．
【详解】（1）解：点对应的数为，，
点对应的数为：，
又，
点对应的数为：，
故答案为：，；
（2）①由动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动，则，，
又，，
，，
点对应的数为：，点对应的数为：；
②的长度与无关，理由如下：
由于，
点对应的数为：，
则，
即的长度与无关，长度为．
3．如图，在数轴上有A，B两点，分别表示的数为a，b，且．点P从A点出发以每秒19个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当它到达B点后立即以相同的速度返回往A点运动，并持续在A，B两点间往返运动．在点P出发的同时，点Q从B点出发以每秒3个单位长度向左匀速运动，当点Q到达A点时，点P，Q停止运动．
(1)________（填空），并求运动了多长时间后，点P，Q第一次相遇，以及相遇点所表示的数；
(2)点C在数轴上对应的数为81，在数轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M对应的数，若不存在，说明理由；
(3)求当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数；在整个过程中，点P和点Q一共相遇了多少次？
【答案】(1)132；6；61
(2)存在点M，使，点M对应的数为或
(3)当点P，Q停止运动时，点P所在的位置表示的数为，点P和点Q一共相遇了次
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间距离；
（1）根据可得，故可得的长度，再利用时间等于路程除以速度和，即可解答；再根据求得时间，即可得到相遇点表示的数；
（2）设点表示的数为，考虑两种情况，即点在点左边，点在点和点中间，再根据，列方程即可解答；
（3）求出点运动的时间，即可算出点运动的路程，再求出点的位置即可，再根据点来回次数，求得和点相遇次数．
熟练利用代数式表示动点表示的位置是解题的关键．
【详解】（1）解：根据，可得，，
，
（秒），
相遇的点为；
（2）解：设点表示的数为，
①当点在点左边时，
，，，
根据，可列方程，
解得；
②点在点和点中间时，
，，，
根据，可列方程，
解得；
综上所述，存在点M，使，点M对应的数为或；
（3）解：点运动的时间为（秒），
，
所以可得点总共往返6趟，且最后停止在处，
综上所述，点P和点Q一共相遇了7次．
4．定义：若，，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点B的距离倍，我们就称点是【，B】的美好点．
例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点D就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点．
如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为
(1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是_；写出【，】美好点所表示的数是_．
(2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？
【答案】(1)；或(2)1.5，2.25，3，，9，13.5
【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．
（2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值．
【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件，
故答案是：．
结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是．
故答案为：或；
（2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，
第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图，
当时，，点P对应的数为，
因此秒；
第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2，
当时，，点对应的数为，
因此秒；
第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3，
当时，，点对应的数为，
因此秒；
第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4，
当时，，点对应的数为，
因此秒；
第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5，
当时，，点对应的数为，
因此秒；
第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图，
当时，，
因此秒；
第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧，
当时，，
因此秒，
第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧，
当时，，
因此秒，
综上所述，的值为：1.5，2.25，3，，9，13.5．
5．如图，已知数轴上有两点，点表示的数是，点表示的数是，动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速相向而行，它们的速度分别为个单位长度秒、个单位长度秒，设运动时间为．
(1)当时，点对应的数是______，点对应的数是______；
(2)当为何值时，两点之间相距个单位长度；
(3)当时，若线段和线段同时以个单位长度秒的速度同时相向匀速运动，是否存在某一时刻？使得．若存在，求出此时的距离，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；(2)或；(3)当或秒时，此时的距离为或．
【分析】（）由题意得：点沿数轴正方向移动，点沿数轴负方向移动，然后求解即可；
（）根据题意得点对应的数是，点对应的数是，再根据两点之间相距个单位长度列出绝对值方程，然后求解即可；
（）由题意知点对应的数是，点对应的数是，设再运动秒后，则得出平移后对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，然后分当线段和线段相遇前，当线段和线段相遇后两种情况，列出方程，然后求解即可；
本题考查了一元一次方程的应用，数轴上表示数，数轴两点间的距离，列代数式，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得：点沿数轴正方向移动，点沿数轴负方向移动，
当时，点对应的数是，点对应的数是，
故答案为：，；
（2）解：由题意得：点沿数轴正方向移动，点沿数轴负方向移动，
∴点对应的数是，点对应的数是，
∵两点之间相距个单位长度，
∴，整理得：，
∴或，
解得：或；
（3）存在，理由如下：
当时，点对应的数是，点对应的数是，
由题意知点对应的数是，点对应的数是，
设再运动秒后，
∴平移后对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，对应点表示的数，
当线段和线段相遇前，
，，
∵，
∴，解得：；
此时点表示的数，对应点表示的数，
∴距离为；
当线段和线段相遇后，
，，
∵，
∴，解得：；
此时点表示的数，对应点表示的数，
∴距离为；
综上可知：当或秒时，此时的距离为或．
6．阅读材料并回答问题：
对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点，，表示的数分别为，，，点与点的距离是，点与点的距离是，此时点是点，的“关联点”．
(1)若点表示，点表示．，，，对应的点分别是，，，，则其中哪几个点是点，的“关联点”？
(2)点表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点．若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，则点表示的数是____________．
【答案】(1)，；(2)或或．
【分析】（）根据题意求得与的关系，然后逐一判断即可；
（）设表示的数为，则由题意得，则，，然后分当时，即，当时，即，解出方程即可；
本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是理解“关联点”的概念，读懂题意并根据题意列出方程．
【详解】（1）解：∵，，
∴不是点，的“关联点”，
∵，，
∴，
∴是点，的“关联点”，
∵，，
∴
∴是点，的“关联点”，
∵，，
∴不是点，的“关联点”，
综上可知：，是点，的“关联点”；
（2）设表示的数为，则由题意得，
∴，，
∵点是点，的“关联点”，
∴当时，即，
则或，解得：或；
当时，即，
则或，解得：或（不合题意，舍去）；
综上可知：点表示的数是或或，
故答案为：或或．
7．若A、、为数轴上三点，若点到A的距离是点到的距离2倍，我们就称点是【A，】的好点．例如，如图1，点A表示的数为，点表示的数为2．表示1的点到点A的距离是2，到点的距离是1，那么点是【A，】的好点；又如，表示0的点到点A的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是【A，】的好点，但点是【，A】的好点．
知识运用：如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4．
(1)数 所表示的点是【，】的好点；
(2)如图3，A、为数轴上两点，点A所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当为何值时，、A和中恰有一个点为其余两点的好点？
【答案】(1)2或10
(2)秒或20秒或15秒
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题：
（1）根据数轴求出两点距离，再根据新定义的概念求出结果，注意有两种情况；
（2）分情况讨论，根据好点的定义可求出结果；
正确理解新定义是解题的关键．
【详解】（1）解：设点是【，】的好点，
，
当在、之间时，
，
，
，
表示的数为，
当在右边时，
设表示的数为，
，
，
故答案为：2或10；
（2）解：当是【A，】好点时，
即，
，
；
当是【，A】好点时，
即，
，
；
当是【A，】好点时，
即，
，
，
当A是【，】好点时，
即，
，
；
综上所述，当秒或20秒或15秒时，、A和中恰有一个点为其余两点的好点．
8．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点，点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为．
【问题情境】数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，两点都停止运动，设运动时间为秒．
【综合运用】
(1)填空：两点间的距离________，线段的中点表示的数为________；
(2)当为何值时，两点间距离为3；
(3)若点为的中点，点为的中点，当点到达点之前，在运动过程中，探索线段和的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)10，1
(2)当或或时，P，Q两点间距离为3
(3)，理由见详解
【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想，
结合点和点表示的数，利用两点之间距离即可求得，利用中点坐标即可求得线段的中点表示的数；
当点P与点B重合时，求得；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当时，点P表示的数，点Q表示的数，结合题意即可列出方程求的t；当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，同理求的t即可；
根据题意得，，当点到达点之前，即当时，点M表示的数是，点N表示的数是，即可得即可．
【详解】（1）解：∵点表示的数为，点表示的数为6，
∴，
线段的中点表示的数为∶，
故答案为：10，1
（2）当点P与点B重合时，；
当点Q与点A重合时，；
当点Q返回到点B时，，
当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，
∵，
∴或，
解得：或，
当时，点P表示的数是，点Q表示的数是，
∵，
∴或，
解得或 (不符合题意，舍去)，
综上所述，当或或时，P，Q两点间距离为3．
（3），理由如下：
∵点为的中点，点为的中点，
∴，，
当点到达点之前，即当时，
点M表示的数是，
点N表示的数是，
∵，
∴，
∴．
9．如图，数轴上的单位长度为1，两点表示的数是互为相反数；
(1)点表示的数是______，点表示的数______．
(2)数轴上一个动点先向左移动2个单位长度，再向右移动5个单位到达点，若点表示的数是1，则点所表示的数是______．
(3)在数轴上，点为坐标原点，若点点分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度向右运动，当两点同时运动时，设运动时间为秒．
①点表示的数为______；点表示的数为______．（用含的式子表示）
②当为何值时，点点点三点之间恰好有一个点到其他两个点的距离相等？
【答案】(1)；
(2)
(3)， ；或或或
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，路程、速度与时间关系的应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的感觉．
（1）根据两点表示的数是互为相反数即可得到答案；
（2）设点所表示的数为，根据题意列出方程即可得到答案；
（3）①根据数轴上的点左加右减的运动规律得到答案；
②分三种情况依次进行讨论即可．
【详解】（1）解：，两点表示的数是互为相反数，
点表示的数是，点表示的数为；
（2）解：设点所表示的数为，
根据题意得：，
解得，
故答案为：；
（3）解：①运动时间为秒，
点表示的数是，点表示的数为；
②当点为中点时，此时，
点表示的数是，点表示的数为，
解得，
当两点重合时，，
，
解得：，
当两点重合时，，
，
解得：，
当点为中点时，此时，
，
解得．
综上所述，或或或．
10．数轴是数学学习的一个很重要的工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们可发现许多重要的规律：
①绝对值的几何意义：一般地，若点A、点B在数轴上表示的数分别为a，b，那么A、B两点之间的距离表示为，记作，则表示数3和1在数轴上对应的两点之间的距离；又如，所以表示数3和在数轴上对应的两点之间的距离；
②若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，那么线段的中点M表示的数为．
请借用数轴和以上规律解决下列问题：
如图，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，6，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度从点B出发沿数轴向左匀速运动，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)A、B两点的距离为______个单位长度；线段的中点M所表示的数为______；
(2)点P运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为______．（用含t的式子表示）
(3)P、Q两点经过多少秒会相距5个单位长度？
(4)在点P、Q运动过程中，O、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点时，直接写出此时t的值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)或
(4)或或
【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段的中点对应的数的计算方法，（1）利用数轴上两点之间的距离公式，数轴上线段的中点计算公式可得答案；
（2）数轴上点向右移动终点对应的数等于起点对应的数加上移动距离，数轴上点向左移动终点对应的数等于起点对应的数减去移动距离，从而可得答案；
（3）由t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，表示，再构建绝对值方程，再解方程即可；
（4）分①当时，O是线段的中点，②当时，P为线段的中点，③当时，Q为线段的中点，④当时，O为线段的中点，再利用中点对应的数的计算方法构建方程，再解方程即可．
【详解】（1）解：由数轴可得，A、B两点的距离为，线段的中点M所表示数为，
故答案为：16，；
（2）解：点P运动t秒后所在位置的点表示的数为，
点Q运动t秒后所在位置的点表示的数为 ．
故答案为：，；
（3）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，
∴，
又∵P、Q两点相距5个单位长度，
∴，
解得：或，
∴P、Q两点经过或时相距5个单位长度；
（4）解：①当O是线段的中点，且P点在原点左侧，Q点在原点右侧，此时，
由题意得，
解得．
②当P为线段的中点，P点在原点和Q点之间，
当P、Q两点重合时，，即，
∴此时，
由题意得，
解得；
③当Q为线段的中点，Q点在原点和P点之间，此时，
由题意得，
解得；
④当O为线段的中点，且Q点在原点左侧，P点在原点右侧，此时，
由题意得，
解得不合题意，舍去，
综上所述：或或．
11．七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．
探索“折线数轴”：素材1 如图，将一条数轴在原点，点，点处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，点D表示，我们称点与点在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为．
素材2 动点从点出发，以个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度．
问题解决：探索1 ：动点从点运动至点B需要多少时间？
探索2 ： 动点从点出发，运动秒至点和点之间时，求点表示的数（用含的代数式表示）；
探索3 ：动点从点出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间．
【答案】探索1：从点A运动至点B的时间为秒；探索2：表示的数为；探索3：动点运动的时间是秒或秒．
【分析】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，解题的关键是理解题意并掌握相关的知识．
探索1：根据时间路程速度，即可求解；
探索2：由探索1可得在段运动时间为：秒，进而得到，结合点表示，即可求解；
探索3：分两种情况：①当在上时，②当在上时，根据线段的和差以及时间路程速度，即可求解．
【详解】解：探索1：点表示，点表示，
，，
在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半，
在段速度为个单位长度/秒，
从点运动至点的时间为：（秒）；
探索2：的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍，
在段速度为个单位长度/秒，
由探索1可得：在段运动时间为：秒，
，
点表示，
表示的数为：；
探索3：设秒后，
①当在上时，
，
，
，
，
，
，
（秒）；
②当在上时，
，
，
，
，
（秒）．
综上：动点运动的时间为秒或秒．
12．已知一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7个单位长度到达点，再从点向右移动12个单位长度到达点．点是线段的中点．
(1)点表示的数是_____；
(2)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时动点分别从点出发，分别以每秒1个单位长度、4个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动时间为秒．
①当时，求的值；
②试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由．
【答案】(1)
(2)①的值为0；②的值不随着时间的变化而改变．理由见解析
【分析】本题考查列代数式，数轴，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）根据题意可以求得点表示的数；
（2）①根据题意可以用代数式表示点运动时间时表示的数；根据题意可以求得当秒时，的值；②先判断是否变化，然后求出的值即可解答本题．
【详解】（1）解：由题意可得，A点表示的数为：−7，B点表示的数为：，,
由，
故点表示的数为：．
故答案为：；
（2）
解：①由题意可得，点移动秒时表示的数为，点P移动t秒时表示的数为，点M移动t秒时表示的数为，
当时，
；
②的值不随着时间的变化而改变，
，
的值不随着时间的变化而改变，的值为0．
13．如图：在数轴上点表示数，点表示数1，点表示数9，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为秒．

(1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点到点之间的距离，运动之前，的距离为______，点与点的中点为，则点表示的数为______；运动秒后，点表示的数为______（用含的式子表示）；
(2)若秒钟过后，点是线段的中点，求值；
(3)当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4，3，；
(2)；
(3)，理由见详解；
【分析】（1）本题考查数轴上两点间距离及动点问题，根据数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值直接求解即可得到答案；
（2）本题考查数轴上两点间距离及动点问题，根据中点列式求解即可得到答案；
（3）本题考查整式化简无关型问题，根据动点及距离问题列式，结合定值即与t无关求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵运动前点表示数，点表示数1，
∴，
∵点表示数9，
∴，
∵点与点的中点为，
∴点代表的数据是：，
∵点A以每秒2个单位长度速度运动，
∴点表示的数为：，
故答案为：4，3，；
（2）解：点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，
∴点表示的数字是：，点表示的数字是：，
当点是线段的中点时，
，
解得：；
（3）解：存在，当时的值为定值，理由如下，
∵点在点右侧，
∴，即：，
，
当时，即：，，
∴当时的值为定值．
14．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为，0，．
(1)直接写出结果， ， ；
(2)设点P在数轴上对应的数为x．
①若点P为线段的中点，则 ；
②若点P为线段上的一个动点，则的化简结果是 ；
(3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①1；②
(3)存在，t＝1，，7或
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即可得到答案；
（2）①根据想断中点的定义，得到，列方程并求解，即得答案；
②若点P为线段上的一个动点，则，根据两点之间的距离的计算方法，即得答案；
（3）先求出点M表示的数，的长，然后分和两种情况，分别求出的长，再列方程分别求解，即得答案．
【详解】（1）（1），，
故答案为：，．
（2）①点P为线段的中点，
，
，
解得；
故答案为：1．
②点P为线段上的一个动点，
；
故答案为：．
（3）点M表示的数为，，
当时，点N表示的数为，，
当时，点N表示的数为，，
当时，|解得或；
当时，，解得或；．
存在t值，，，7或，使得．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，线段中点的定义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，绝对值的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
15．综合与探究
数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题：
(1)平移运动
一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
(2)翻折变换
①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合．
②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．
③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ．
【答案】(1)；1012
(2)①；②；1013；③
【分析】本题考查图形变化的规律，熟知折叠后能重合的两个点到折点的距离相等是解题的关键．
（1）根据机器人的运动方式，依次求出每次跳完落在数轴上时所表示的数，发现规律即可解决问题．
（2）根据折叠后重合的点到折点的距离相等即可解决问题．
【详解】（1）解：根据机器人的运动方式可知，
它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：；
它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1；
它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：；
它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2；
它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：；
它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3；
…，
由此可见，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是n，
它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是；
当，即 时，
，
所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是；
当，即时，
可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012；
故答案为： ，1012．
（2）①由表示的点与表示3的点重合可知，
，
则折点所表示的数为1．
因为，
所以表示5的点与表示的点重合．
故答案为：．
②因为折痕与①的折痕相同，
所以这次折叠的折点所表示的数也为1．
又因为，
所以点D表示的数为，点E表示的数为1013．
故答案为：，1013．
③由折叠可知，
，
因为点M、N表示的数分别是、8，
所以 ．
又因为点落在点N的右边，并且线段的长度为3，
所以．
因为，，
所以点P表示的数为．
故答案为：．
16．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为满足，点是数轴原点．
(1)点表示的数为______，点表示的数为______，线段的长为______；
(2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______；
(3)在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的点重合，以每秒2个单位长度的速度向点移动；木棒出发6秒后，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点移动；且当点到达点时，木棒与点同时停止移动．设点移动的时间为秒，当为多少时，点恰好距离木棒2个单位长度？
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．
（1）根据绝对值和二次方的非负性求出的值即可得到答案；
（2）设未知数，分类讨论接触一元一次方程解题即可；
（3）分情况进行讨论列式计算即可．
【详解】（1）解：，
，
点表示的数为，点表示的数为，
线段的长为，
故答案为：；
（2）解：设点在数轴上表示的数为，
①当点在中间，，，
，
，
解得；
②当点在点左边，，，
，
，
解得；
③当点在点右边，不符合题意；
故答案为：或．
（3）解：①当点位于木棒左侧时，，
解得，
②当点位于木棒左侧时，，
解得，
当点到达点时，木棒与点同时停止移动，
，
故舍去，
故点移动的时间为秒．
17．阅读下面的材料：
如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达A点，再向左移动到达B点，然后向右移动到达C点，用1个单位长度表示．
(1)请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置：
(2)点C到点A的距离______；若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为_________；
(3)若将点A向右移动，则移动后的点表示的数为_____；（用代数式表示）
(4)若点B以每秒的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒、的速度向右移动，设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
【答案】(1)A表示，B表示，C表示4，图见解析；
(2)6；或3；
(3)；
(4)不会变化，理由见解析．
【分析】本题考查了数轴，解一元一次方程以及整式的加减运算，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键．
（1）根据题意分别表示出距离求出坐标，画出图形；
（2）根据距离公式得出的长度；设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果；
（3）将点A向右移动，则移动后的点表示的数为；
（4）表示出和，再相减即可得出结论．
【详解】（1）A：，即，A表示，
B：，即，B表示，
C：，即，C表示4，
A、B、C三点的位置如图所示：
（2）（cm）；
设D表示的数为a，
，
，解得：或，
点D表示的数为或3；
故答案为：6；或3；
（3）将点A向右移动，则移动后的点表示的数为；
故答案为：
（4）的值不会随着t的变化而变化，理由如下：
根据题意得：平移后，cm ，
，
，
的值恒为3，不会随着t的变化而变化．
18．如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是，B点对应的数是8，C是线段上一点，满足．
(1)求C点对应的数；
(2)动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．
①当时，求t的值；
②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当时，请直接写出t的值．
【答案】(1)4
(2)①或；②t的值为或或5.5
【分析】（1）根据A点，B点对应的数，得到，根据与的比值，得到，，得到C点对应的数是；
（2）①当M、N未相遇， M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是， N表示的数是，得到，解得；②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是，得到，解得，此种情况不存在；当P与M第一次相遇后，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是，得到，解得；当P与N相遇后，未与M第二次相遇时，P表示的数是，，解得；当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是， M表示的数是4，得到，解得，根据，得到这种情况不存在；当P运动到A后，若N为的中点，此时，，解得．
本题主要考查了数轴上动点问题，熟练掌握数轴上动点表示的数，两点间的距离公式，相遇与追及问题，列代数式，列方程，分类考虑动点的位置，是解题关键．
【详解】（1）∵A点对应的数是，B点对应的数是8，
∴，
∵，
∴，，
∴C点对应的数是，
答：C点对应的数是4；
（2）①∵运动t秒时，
当M、N未相遇，则M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是，
∴，
解得，
当M、N相遇后，M在上运动，M表示的数是，N在上运动，N表示的数是，
∴，
解得，
综上所述，t的值为或；
②当P与M还未第一次相遇时，P表示的数是，M表示的数是，N表示的数是，
∵
∴，
解得（舍去），此种情况不存在，
由已知得，P与M在时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是，
∴，
解得，
由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过秒，即时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是，
∴，
解得，
当P与M在点C处第二次相遇后直到到达A点前，P表示的数是，M在C点处，M表示的数是4，
次情况，
∴，
解得，不合，
∴这种情况不存在，
当P运动到A后，若N为的中点，此时，
∴，
解得，
综上所述，t的值为，或，或5.5．
19．如图1．在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为．我们规定：的大小用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即．请用上面的知识解答下面的问题：如图2：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数．且a，c满足与互为相反数．
(1) ， ， ；
(2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与表示数 的点重合；
(3)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后．
①请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；
②探究：若点A，C向右运动，点B向左运动，速度保持不变，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】(1)，，5
(2)3
(3)①28；②当时，的值随时间t的变化而变化；当时，的值为26．
【分析】（1）根据最大的负整数是−1，绝对值和偶次方具有非负性可求解；
（2）由题意容易得出折叠点表示的数是1，再根据与2的距离可得答案；
（3）①先表示出t秒后A、B、C表示的数，然后分别求出，，再代入计算即可得出结论；
②先表示出t秒后A、B、C表示的数，然后分别求出，，然后分A在B的左侧；A在B的右侧讨论，再代入计算即可得出结论．
【详解】（1）解：∵a，c满足与互为相反数，
∴，
∴，，
∴，，
∵b是最大的负整数，
∴；
故答案为：，，5；
（2）解：当与5重合时，折叠点是，
∴与点B重合的点表示的数为：，
故答案为：3；
（3）解：①t秒后，A表示的数为，B表示的数为，C表示的数，
∴，
，
∴
；
②秒后，A表示的数为，B表示的数为，C表示的数，
∴，
，
当A、B重合时，，解得，
当A在B的左侧，即时，，
∴
，
∴的值随时间t的变化而变化；
当A在B的右侧，即时，，
∴
；
综上，当时，的值随时间t的变化而变化；当时，的值为26．
20．将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，再将两个数轴的原点连接起来，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点A、B的距离．如果A、B两点在同一个数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，，如果A、B两点分别位于两个数轴上，定义．

利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上“”或“”，例如，“”表示上层数轴中表示数“2”的点，“”表示下层数轴中表示数“”的点，“”“”分别表示上下两个数轴的原点．
(1)在双轴系中与的距离为：______，与的距离为________；
(2)在（1）的假设下，现有只电子蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、…，另有一只电子蚂蚁乙从“”所表示的点出发，然后跳跃到，接着又跳回其后再次跳到，下一步又跳回，按此规律在和之间来回跳动．假设两只蚂蚁同时跳跃同时落下，步调一致．
①当蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，请问此时蚂蚁甲共跳跃了多少次？
②当甲乙两只蚂蚁的距离为时，请直接写出3个符合条件的跳跃次数．
【答案】(1)2；6
(2)①14；②当甲乙两只蚂蚁的距离为时，跳跃次数为38次、174次、410次
【分析】（1）根据题干信息列出算式进行计算即可；
（2）①根据跳跃规律，找出蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，蚂蚁跳跃的次数即可；
②设蚂蚁甲为，蚂蚁乙为，根据题意得出，分两种情况：当跳跃次数为奇数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为；当跳跃次数为偶数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为，然后求出跳跃次数即可．
【详解】（1）解：在双轴系中与的距离为：；
与的距离为：．
故答案为：2；6．
（2）解：①蚂蚁甲从“”所表示的点出发不断跳跃，依次跳至、、、、、、、、、、、、、、、、…，
∴蚂蚁甲第3次跳到所表示的点时，蚂蚁甲共跳跃了14次；
②设蚂蚁甲为，蚂蚁乙为，根据题意得：
，
∴，
当跳跃次数为奇数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为，
则蚂蚁甲跳跃的次数为：
（次），
即此时蚂蚁甲跳跃的次数为偶数，不符合题意；
当跳跃次数为偶数次时，，此时满足条件的蚂蚁甲跳跃的数为，
蚂蚁甲第1次跳到时，跳跃次数为：
（次），
38是偶数，符合题意；
蚂蚁甲第2次跳到时，跳跃次数为：
（次），
174是偶数，符合题意；
蚂蚁甲第3次跳到时，跳跃次数为：
（次），
410是偶数，符合题意；
综上分析可知，当甲乙两只蚂蚁的距离为时，跳跃次数为38次、174次、410次．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，有理数混合运算的应用，用数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握数轴上两点间距离．
21．已知，数轴上有三个点，，，它们的起始位置表示的数分别是，，6，如图所示．

(1)若将点从起始位置开始沿数轴向右移动，使得，两点之间的距离与，两点之间的距离相等，则须将点向右移动______单位；
(2)若点从起始位置开始，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时，点也从起始位置开始，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，设运动的时间为（秒）．
①求（用含的代数式表示）；
②若点也与点，同时从起始位置开始运动，且点以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，试问：是否存在一个常数，使得的值不随运动时间（秒）的变化而改变？若存在，请求出常数，并求此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3.5
(2)①当时，，当时，；②，原式
【分析】本题考查数轴上的动点问题，数轴上两点间距离公式，一元一次方程的应用等，用含t的代数式表示各动点所在位置表示的数是解题的关键．
（1）设点向右移动了x个单位，根据两点间距离公式表示出和，列等式解方程即可；
（2）①分点B在点C左侧与右侧两种情况，用含t的代数式表示出和，作差即可；②用含t的代数式表示出和，进而表示出，令t的系数为0可求出常数的值．
【详解】（1）解：当，两点之间的距离与，两点之间的距离相等时，在和之间，
设点向右移动了x个单位，则移动后所在位置表示的数为，
则，
解得，
故答案为：；
（2）解：①运动的时间为（秒）时，点表示的数为，点表示的数为，
当点B与点C重合时，，
解得，
当时，点B在点C左侧，，，
；
当时，点B在点C右侧，，，
；
②运动的时间为（秒）时，点表示的数为，
，，
，
令，得，
当时，的值不随运动时间（秒）的变化而改变，
．
22．如图，在数轴上A点表示数，B点表示数6．
(1)A、B两点之间的距离等于 ；
(2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在数轴上找一点C，使，则C点表示的数是 ；
(3)若在原点O的左边2个单位处放一挡板，一小球P从点A处以4个单位/秒的速度向右运动；同时另一小球Q从点B处以2个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）两球分别以原来的速度向相反的方向运动，设运动时间为秒，已知在小球Q开始运动的前两秒、和触碰到挡板返回至点B的过程中，对应的的值是定值，请分别求出相应定值．
【答案】(1)16
(2)
(3)16；32
【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、两点间的距离、整式加减的计算等知识点，熟练掌握两点间距离的计算是解答本题的关键．
（1）根据数轴上两点间距离的公式即可求解；
（2）设C点表示的数为x，则利用列方程解答即可；
（3）在小球Q开始运动的前两秒、和触碰到挡板返回至点B的过程中，分别求出和的值，再代入，即可求出相应的定值．
【详解】（1）解：A、B两点之间的距离等于，
故答案为：16；
（2）设C点表示的数为x，
则，
解得，
即C点表示的数为，
故答案为：；
（3）解：①当小球Q开始运动的前两秒中，，，
所以，
故，
所以，当小球Q开始运动的前两秒中，的定值是16；
②当小球Q触碰到挡板返回至点B的过程中，
，
所以，
而，
所以，
故
，
所以,当小球Q触碰到挡板返回至点B的过程中，的定值是32．
综上，当小球Q开始运动的前两秒中，的定值是16；当小球Q触碰到挡板返回至点B的过程中，的定值是32．
23．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，8．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度．我们把数轴上点A到点C的距离表示为，同理，A到点B的距离表示为．

(1)在图1的数轴上， 个长度单位；在图2中刻度尺上， ；数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的 ；刻度尺上的对应数轴上的 个长度单位；
(2)在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足，请通过计算，求b的值及点Q所表示的数；
(3)点，分别从，出发，同时向右匀速运动，点的运动速度为5个单位长度秒，点的速度为3个单位长度秒，设运动的时间为秒．在，运动过程中，若的值不会随的变化而改变，请直接写出符合条件的的值．
【答案】(1)10； 6； 0.6；
(2)b的值是0，点Q所表示的数为2或10
(3)或．
【分析】（1）等于、两点对应的数相减的绝对值，观察图，可得，用在刻度尺上的数值除以数轴上的长度单位，可得数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的多少厘米，1厘米除以数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的厘米，即刻度尺上的对应数轴上的多少长度单位；
（2）到在刻度尺上是1.2厘米，对应在数轴上有两个长度单位，可得的值，由于，可以列式求得点所表示的数；
（3）根据列出式子，的值不会随的变化而改变，所以的系数为0，可求得的值．
【详解】（1），
刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，点对齐刻度，
在图2中刻度尺上，，
，
数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的，
，
刻度尺上的对应数轴上的个单位长度，
故答案为：10，6，0.6，；
（2）点对齐刻度，
数轴上点所对应的数为，，
，，
设点在数轴上对应的点为，则，
，
解得：或，
点所表示的数为4或12，
的值是0，点所表示的数为4或12；
（3）由题意得，点追上点前，即，
，，
，
的值不会随的变化而改变，
，
解得：，
点追上点后，即，
，，，
，
的值不会随的变化而改变，
，
解得：，
或．
【点睛】本题考查了实数与数轴的应用，关键是根据信息列式．
24．定义：数轴上A、B两点的距离为a个单位记作，根据定义完成下列各题．
两个长方形和的宽都是3个单位长度，长方形的长是6个单位长度，长方形的长是10个单位长度，其中点A、D、E、H在数轴上（如图），点E在数轴上表示的数是5，且E、D两点之间的距离为14，原点记为0．
(1)求数轴上点H、A所表示的数？
(2)若长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，数轴上有M、N两点，其中点M在A、D两点之间，且，其中点N在E、H两点之间，且，设运动时间为x秒．
①经过x秒后，M点表示的数是 ，N点表示的数是 （用含x的式子表示，结果需化简）．
②求（用含x的式子表示，结果需化简）．
(3)若长方形以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当时，求此时t的值．
【答案】(1)点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是
(2)①，；②当M点在N点的左侧时，；当点M在N点的右侧时，
(3)9秒或13秒
【分析】（1）根据，，，，推出， ，得到，得到在数轴上点H表示的数是15，点A表示的数是；
（2）①根据长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动， ， ，得到x秒后，M点表示的数：， N点表示的数：；②当M点在N点的左侧时，，当点M在N点的右侧时，；
（3）根据两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，得到重叠部分的长为4个单位长度，当点D运动到E点右边4个单位时，长方形运动的时间为9秒；当点A运动到H点左边4个单位时，长方形运动的时间为13秒．
【详解】（1）由题意得：，，，，
∴，∴，
∴，
∴点H在数轴上表示的数是15，点A在数轴上表示的数是；
（2）①∵，，
∴， ，
∵，，
∴，，
∵长方形以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时长方形以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动，
∴M点表示的数为：， N点表示的数为：；
故答案为：，；
②当M点在N点的左侧时，，
当点M在N点的右侧时，；
（3）∵两个长方形的宽都是3个单位长度，重叠部分的面积为12，
∴重叠部分的长为4个单位长度，
当点D运动到E点右边4个单位时，
；
当点A运动到H点左边4个单位时，
，
综上，长方形运动的时间为9秒或13秒时，两个长方形重叠部分的面积为12．
【点睛】本题主要考查了数轴动点问题，熟练掌握数轴上的点表示的数，数轴上两点间的距离，路程、速度和时间的关系，长方形面积公式等知识点，求数轴上两点间的距离用右边点对应的数减左边对应的数；路程等于速度乘时间；熟记长方形的面积是长乘宽是解题的关键．
第1次
第2次
第3次
第4次
第1次
第2次
第3次
第4次