高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题11.5离散型随机变量的分布列专题练习（学生版+解析）

这是一份高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题11.5离散型随机变量的分布列专题练习（学生版+解析），共23页。试卷主要包含了设离散型随机变量X的分布列为等内容，欢迎下载使用。
1．（2021·全国·高二课时练习）某商店购进一批西瓜，预计晴天西瓜畅销，可获利1000元；阴天销路一般，可获利500元；下雨天西瓜滞销，会亏损500元，根据天气预报，未来数日晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.2，下雨的概率为0.4，试写出销售这批西瓜获利的分布列．
2．（2021·全国·高二课时练习）已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，求a的值．
3．（2021·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币，设写出X的分布列．
4．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列.
5．（2021·全国·高二课时练习）已知离散型随机变量ξ的分布列如下，求k的值．
6．（2021·全国·高二课时练习）某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示．
（1）求常数a的值；
（2）求．
7．（2021·全国·高二课时练习）从装有6个白球和4个红球的口袋中任取1个球，用X表示取得的白球数，求X的分布列．
8．（2021·全国·高二课时练习）已知X服从参数为0.3的两点分布．
（1）求；
（2）若，写出Y的分布列．
9．（2021·全国·高二课时练习）分别判断下列表格是否可能是随机变量X的分布列，并说明理由：
（1）
（2）
10．（2021·全国·高二单元测试）设离散型随机变量X的分布列为
求：（1）的分布列；
（2）的值．
练提升TIDHNEG
1．（2022·江苏·高三专题练习）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的取值对应的概率正确的是（ ）．
A．P(ξ＝0)＝B．P(ξ＝)＝
C．P(ξ＝1)＝D．P(ξ＝)＝
2．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量X的分布列如下表所示：
则a2＋b2的最小值为________．
3．（2021·全国·高二课时练习）将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________.
4.（2017课标3，理18选）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
5.（2021·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币2次，设正面朝上的次数为X．
（1）说明表示的是什么事件，并求出；
（2）求X的分布列．
6．（2021·全国·高二课时练习）某射击运动员在一次射击训练中，共有5发子弹，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽．若已知每次射击命中的概率均为0.9，求该运动员这次训练耗用的子弹数X的分布列．
7.（2021·全国·高二课时练习）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.
（1）求当天商店不进货的概率；
（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.
8．（2021·全国·高二课时练习）从集合的所有非空子集中，随机地取出一个.
（1）求所取出的非空子集中所有元素之和为10的概率；
（2）记所取出的非空子集中的元素个数为，求的分布列.
9．（2021·全国·高二课时练习）同时掷两个均匀的骰子，设所得点数之和为X．
（1）写出X的分布列；
（2）求；
（3）求“点数和大于9”的概率．
10.（2021·全国·高二单元测试）某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评+仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”．该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：
将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．
（1）求该同学这个题目需要仲裁的概率；
（2）求该同学这个题目得分X的分布列．
练真题TIDHNEG
1．（2021·湖南·高考真题）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.
（1）用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列；
（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.
2.（2019年高考北京卷理选）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列；
（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
3.（2018年理数天津卷选）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
4.（2017山东，理18选）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率.
（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.
5．（2017北京，理17选）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列.
6．（2017·天津高考真题（理））从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．
（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值．
（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率．X
1
2
3
P
0.3
a
0.5
ξ
1
2
…
n
P
k
2k
…
2n－1·k
4
5
6
7
8
9
10
P
0.03
0.05
0.07
0.08
0.26
a
0.23
X
0
1
2
3
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.3
X
0
1
2
3
4
5
P
0.1
0.3
0.4
0.2
0.2
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
X
0
1
2
3
P
a
b
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
老师评分
11
10
9
分数所占比例
支付金额（元）
支付方式
（0，1000]
（1000，2000]
大于2000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人
专题11.5 离散型随机变量的分布列
练基础
1．（2021·全国·高二课时练习）某商店购进一批西瓜，预计晴天西瓜畅销，可获利1000元；阴天销路一般，可获利500元；下雨天西瓜滞销，会亏损500元，根据天气预报，未来数日晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.2，下雨的概率为0.4，试写出销售这批西瓜获利的分布列．
【答案】答案见解析．
【分析】
根据已知数据列表格．
【详解】
用表示获利，则的取值分别是1000，500，－500，分布列如下表：
2．（2021·全国·高二课时练习）已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，求a的值．
【答案】0.2
【分析】
由分布列中所有概率和为1计算．
【详解】
由题意，解得
3．（2021·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币，设写出X的分布列．
【答案】答案见解析．
【分析】
的值分别为，1，求出概率后得分布列．
【详解】
抛一枚均匀的硬币，有两种可能，正面向上或反面向上，两种情况的可能性相同，
或，，
分布列如下：
4．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列.
【答案】答案见解析
【分析】
根据概率之和为1可求出.
【详解】
由题意及分布列满足的条件知P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝3P(ξ＝1)＋P(ξ＝1)＝1，
所以，故.
所以ξ的分布列为
5．（2021·全国·高二课时练习）已知离散型随机变量ξ的分布列如下，求k的值．
【答案】
【分析】
根据离散型随机变量ξ的概率性质即可求解参数．
【详解】
因为1＝k＋2k＋…＋2n－1k＝k(1＋2＋…＋2n－1)＝k·＝(2n－1)k，所以．
6．（2021·全国·高二课时练习）某射击运动员射击一次所得环数的分布列如下表所示．
（1）求常数a的值；
（2）求．
【答案】
（1）0.28
（2）0.85
【分析】
（1）由分布列中所有概率和为1计算；
（2）计算即可 ．
（1）
由题意，解得；
（2）
＝．
7．（2021·全国·高二课时练习）从装有6个白球和4个红球的口袋中任取1个球，用X表示取得的白球数，求X的分布列．
【答案】答案见解析．
【分析】
确定的可能值，计算出概率后得分布列．
【详解】
的所有可能值是0，1．，，
所以的分布列如下：
8．（2021·全国·高二课时练习）已知X服从参数为0.3的两点分布．
（1）求；
（2）若，写出Y的分布列．
【答案】
（1）0.7
（2）答案见解析．
【分析】
（1）根据二项分布的概念求解；
（2）求出的可能值，写出分布列即可．
（1）
．
（2）
时，，时，，
所以的分布列为：
9．（2021·全国·高二课时练习）分别判断下列表格是否可能是随机变量X的分布列，并说明理由：
（1）
（2）
【答案】
（1）不是，理由见解析．
（2）不是，理由见解析．
【分析】
（1）根据分布列中所有概率和为1说明；
（2）由概率的范围说明．
（1）
由于，因此此表格不是随机变量的分布列
（2）
表格中事件的概率是，这是不可能的，概率在范围内．因此此表格不是随机变量的分布列．
10．（2021·全国·高二单元测试）设离散型随机变量X的分布列为
求：（1）的分布列；
（2）的值．
【答案】（1）分布列见解析；（2）0.7.
【分析】
(1)先由分布列的性质解出，然后按步骤写出分布列即可；
（2）根据（1）中的分布列可计算出答案.
【详解】
由分布列的性质知，，解得．
（1）由题意可知，，，
，，，
所以的分布列为：
（2）.
练提升TIDHNEG
1．（2022·江苏·高三专题练习）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的取值对应的概率正确的是（ ）．
A．P(ξ＝0)＝B．P(ξ＝)＝
C．P(ξ＝1)＝D．P(ξ＝)＝
【答案】ABC
【分析】
根据题设，结合正方体的性质求两条棱相交、平行、异面的可能情况数，再写出对应ξ＝0、ξ＝1、ξ＝的情况数，应用古典概型的概率求法求它们的概率值即可.
【详解】
由题设，ξ的可能取值为0，1，．
若两条棱相交，交点必在正方体的顶点处，过任意一个顶点的棱有3条，则P(ξ＝0)＝＝，
若两条棱平行，它们的距离为1或，而距离为的共有6对，
∴P(ξ＝)＝＝，故P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝1－－＝，
ξ分布列如下：
故选：ABC
2．（2021·全国·高二课时练习）若随机变量X的分布列如下表所示：
则a2＋b2的最小值为________．
【答案】
【分析】
首先根据分布列的性质得到，再利用基本不等式的性质求解即可.
【详解】
由分布列的性质，知，即.
因为，当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
故答案为：
3．（2021·全国·高二课时练习）将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________.
【答案】
【分析】
将3个小球任意地放入4个玻璃杯中，杯子中球的个数最多为3个，那么对于各种情况下的概率值进行计算得到分布列．
【详解】
由题意知X的可能取值为1，2，3
； ；
故答案为：
4.（2017课标3，理18选）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
【答案】(1)见解析.
【解析】
（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知
，，.
因此的分布列为
5.（2021·全国·高二课时练习）抛一枚均匀的硬币2次，设正面朝上的次数为X．
（1）说明表示的是什么事件，并求出；
（2）求X的分布列．
【答案】
（1）事件见解析，；
（2）分布列见解析．
【分析】
（1）根据表示的意义确定事件，并计算概率．
（2）的可能值为0，1，2，求出各概率后得分布列．
（1）
表示正面向上的次数为1的事件，．
（2）
的可能值为0，1，2，则，，
的分布列如下：
6．（2021·全国·高二课时练习）某射击运动员在一次射击训练中，共有5发子弹，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽．若已知每次射击命中的概率均为0.9，求该运动员这次训练耗用的子弹数X的分布列．
【答案】答案见详解.
【分析】
X的可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出耗用的子弹数X的分布列.
【详解】
根据题意，
，
，
，
，
.
X的分布列为：
7.（2021·全国·高二课时练习）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.
（1）求当天商店不进货的概率；
（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）由古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求解即可；
（2）求出X的可能取值，再用古典概型概率公式与互斥事件的概率公式求出概率，即可求解
【详解】
（1）记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，
则；
（2）由题意知，X的可能取值为2，3.
P(X＝2) ＝P(当天商品销售量为1件)＝；
P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)
＝，
故X的分布列为：
8．（2021·全国·高二课时练习）从集合的所有非空子集中，随机地取出一个.
（1）求所取出的非空子集中所有元素之和为10的概率；
（2）记所取出的非空子集中的元素个数为，求的分布列.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）计算基本事件总数和满足条件的基本事件数，利用古典概型的概率公式即得解；
（2）的所有可能取值为1，2，3，4，5，计算对应的概率，列出分布列即可.
【详解】
（1）记“所取出的非空子集中所有元素之和为10”为事件.
基本事件总数，
事件包含的基本事件有，，，共3个，故.
（2）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4，5.
，，，，.
故的分布列为
9．（2021·全国·高二课时练习）同时掷两个均匀的骰子，设所得点数之和为X．
（1）写出X的分布列；
（2）求；
（3）求“点数和大于9”的概率．
【答案】
（1）答案见解析
（2）
（3）．
【分析】
（1）的可能值为，分别计算出概率后可得分布列；
（2）由可得；
（3）由可得．
（1）
由题意的可能值依次为，两枚骰子的点数和列表如下（第一行是一个骰子的点数，第一列是另一个骰子的点数，其他格子中为两个骰子点数和，共36个：
由表可得
，，
，，
，，
的分布列如下：
（2）；
（3）
．
10.（2021·全国·高二单元测试）某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评+仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”．该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：
将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．
（1）求该同学这个题目需要仲裁的概率；
（2）求该同学这个题目得分X的分布列．
【答案】（1）；（2）分布列见解析.
【分析】
（1）记 表示事件：" 该同学这个解答题需要仲裁 " ，设—评、二评所打分数分别为 由题设知事件的所有可能情况有：
或 由此能求出该同学这个题目需要仲裁的概率；
（2）随机事件的可能取值为 分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列.
【详解】
（1）设事件A表示“该同学这个题目需要仲裁”，一评、二评所打分数分别为x，y，由题意知事件A的所有可能情况有或，
∴．
（2）随机事件X的取值范围为，设仲裁所打分数为z，则
，
，，
，
，
∴X的分布列为：
练真题TIDHNEG
1．（2021·湖南·高考真题）端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.
（1）用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列；
（2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.
【答案】（1）分布列见解析；（2）.
【分析】
（1）首先求随机变量，再利用古典概型求概率；
（2）根据（1）的结果求概率.
【详解】
（1）由条件可知，
，，，
所以的分布列，如下表，
（2）选取的2个中至少有1个豆沙粽的对立事件是一个都没有，
则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.
2.（2019年高考北京卷理选）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列；
（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E（X）=1；（3）见解析．
【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人，仅使用B的学生有10+14+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．
故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．
所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为．
（2）X的所有可能值为0，1，2．
记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．
由题设知，事件C，D相互独立，且．
所以，
，
．
所以X的分布列为
（3）记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．
假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，
则由上个月的样本数据得．
答案示例1：可以认为有变化．
理由如下：
P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．
一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：
事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，
但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．
3.（2018年理数天津卷选）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
【答案】（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）67．
【解析】
（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=C4k⋅C33−kC73（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以，事件A发生的概率为67．
4.（2017山东，理18选）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的频率.
（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.
【答案】（I）(II)X的分布列为
【解析】
因此X的分布列为
5．（2017北京，理17选）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列.
【答案】（Ⅰ）0.3. （Ⅱ）见解析.
【解析】
（Ⅰ）由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，指标y的值小于60的有15人，所以从概率为.
（Ⅱ）由图知，A,B,C,D四人中，指标的值大于1.7的有2人：A和C.
所以的所有可能取值为0,1,2.
.
所以的分布列为
6．（2017·天津高考真题（理））从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．
（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值．
（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率．
【答案】(1)见解析；（2）.
【解析】
（Ⅰ）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.
，
，
，
.
所以，随机变量的分布列为
随机变量的数学期望.
（Ⅱ）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
.
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
1000
500
－500
0.4
0.2
0.4
X
1
2
3
P
0.3
a
0.5
0
1
ξ
0
1
P
ξ
1
2
…
n
P
k
2k
…
2n－1·k
4
5
6
7
8
9
10
P
0.03
0.05
0.07
0.08
0.26
a
0.23
0
1
1
3
0.7
0.3
X
0
1
2
3
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.3
X
0
1
2
3
4
5
P
0.1
0.3
0.4
0.2
0.2
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
ξ
0
1
P
X
0
1
2
3
P
a
b
X
1
2
3
P
X
1
2
3
P
最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
0.2
0.4
0.4
0
1
2












日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
X
2
3
P
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
老师评分
11
10
9
分数所占比例
X
9
9.5
10
10.5
11
P
支付金额（元）
支付方式
（0，1000]
（1000，2000]
大于2000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人
X
0
1
2
P
0.24
0.52
0.24
X
0
1
2
3
P
135
1235
1835
435
X
0
1
2
3
4
P
X
0
1
2
3
4
P
0
1
2

0
1
2
3