河北省唐山市开滦第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份河北省唐山市开滦第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的一个方向向量是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.
【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，
又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，
故选：A.
2. 如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解．
【详解】，，，
则．
故选：A．
3. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】直接利用直线方程的应用求出直线的斜率，进一步求出倾斜角的范围；
【详解】直线的方程为，设直线的倾斜角为，
当时，，
②当时，直线的斜率，
由于或，
所以,,，
所以，
综上所述：；
故选：C．
4. 若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出交点坐标，根据第一象限点的特征可得答案.
【详解】，即交点为，
因为交点在第一象限，所以.
故选：A
5. 已知圆C的圆心在x轴上且经过，两点，则圆C的标准方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出圆的标准方程，利用待定系数法计算即可.
【详解】因为圆C的圆心在x轴上，故设圆的标准方程,
又经过，两点，
所以，解得，
所以圆的标准方程.
故选：A.
6. 已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简得到圆标准方程为，根据题意，列出不等式，即可求解.
【详解】由圆的方程为，
可得圆的标准方程为，所以，解得，
因为点在圆外，可得，
整理得，解得或，
综上可得，实数的取值范围是.
故选：D.
7. 已知为直线上的动点，点满足，记的轨迹为，则（）
A. 是一个半径为的圆B. 是一条与相交的直线
C. 上的点到的距离均为D. 是两条平行直线
【答案】C
【解析】
【分析】设，由可得点坐标，由在直线上，故可将点代入坐标，即可得轨迹，结合选项即可得出正确答案.
【详解】设，由，则，
由在直线上，故，
化简得，即的轨迹为为直线且与直线平行，
上的点到的距离，故A、B、D错误，C正确.
故选：C.
8. 已知直线：与直线：交于点Px0,y0，则的最大值为（）
A. 4B. 8C. 32D. 64
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据已知条件得到直线恒过定点，直线恒过定点，且，根据交点Px0,y0得到点在以为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值.
【详解】由题知：直线恒过定点.
直线化简为：，当时，x=6，直线恒过点.
当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则.
当时，，，，则.
综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且.
因为直线与直线交于点，
所以点在以为直径圆上，线段的中点坐标为，
且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径，
因为表示圆上的点到原点距离的平方，设，
则，所以的最大值为64.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线，互相平行，且，之间的距离为，则（）
A. B. C. 3D. 5
【答案】AC
【解析】
【分析】由，解得．利用平行线之间的距离公式即可得出．
【详解】由，解得，满足．
的方程为，有，则，
解得或，故．
故选：AC．
10. 数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数（，且）的点的轨迹是圆．若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（）
A. 点的轨迹围成区域的面积为
B. 点的轨迹关于直线对称
C. 点到原点的距离的最大值为6
D. 面积的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】设动点，则，，由，得动点的轨迹方程为，可得圆心坐标和半径，即可判断AB是否正确；对于D，只需，即可判断D是否正确；对于C：根据圆心到原点的距离加上半径即可求解.
【详解】设动点，则，，
由，即，
所以，所以，
所以动点的轨迹方程为，
所以点的轨迹是圆且圆心，半径为，
对于A：点的轨迹区域面积，故A正确；
对于B，圆心在直线上，故点的轨迹关于直线对称，B正确，
对于C，,故点到原点的距离的最大值为,C错误，
对于D ，
又，所以，而，则的最大值为．D正确，
故选：ABD
11. 如图，在长方体中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是（）
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为
C. 三棱锥的外接球的表面积为
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】先证明平面平面，再根据面面平行得线面平行可判断A；由平面，，再利用等体积转换可求解判断B；三棱锥的外接球即长方体的外接球求解可判断C；直线与平面所成角即，当最小时，最大，求解可判断D.
【详解】对于A，由长方体性质可得，，
平面，平面，
平面，同理，平面，
又平面，且，
所以平面平面，又平面，
平面故A正确；
对于B，由A选项，平面，所以点到平面的距离和点到平面的距离相等，
则.故B正确；
对于C，三棱锥的外接球即长方体的外接球，设外接球半径为r，
所以，所以外接球的表面积为.故C错误；
对于D，因为平面，连接，，则直线与平面所成角即，
在中，，当最小时，最大，，
此时，，
所以直线与平面所成角正弦值的最大值为.故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线和直线垂直，则实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线垂直列方程，从而求得的值.
【详解】由于，所以，
解得，所以的值为.
故答案为：
13. 设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则的最大值为________.
【答案】12
【解析】
【分析】
由平面向量的数量积公式，可得的解析式；再由是圆上的动点，可得，的取值范围；从而求得的最大值．
【详解】是圆上的动点，且，，
，，，
由，得，且，
，
的最大值为：12
故答案为：．
14. 如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直，点在上移动，点在上移动，若，则的长的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据垂直关系，建立空间直角坐标系，利用坐标表示，再求的长的最小值．
【详解】因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以两两垂直.
过点M作，垂足分别为G，H，连接，易证.
因为，所以
以B为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以
当，的长最小，且最小值为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 求过两直线和的交点，且分别满足下列条件的直线的方程．
（1）过点；
（2）和直线垂直．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先联立方程求出P点的坐标，再根据两点式直线方程即可求解；
（2）根据两直线垂直条件，求出斜率k，运用点斜式直线方程即可.
【小问1详解】
由解得，，
由两点式直线方程得：，化简得：；
【小问2详解】
∵与直线垂直，∴直线斜率，
由点斜式直线方程得：，化简得；
16. 平面直角坐标系中有，，，四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？
【答案】四点在同一个圆上（证明见解析）
【解析】
【分析】以三点，求出圆的方程，再将点代入即可得出答案.
【详解】设过三点的圆的一般方程为.
将三点代入得：.
所以圆的一般方程为.
将点代入得：，满足方程.
所以四点在同一个圆上.
17. 已知动点M与两个定点，的距离的比为，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
【答案】，以为圆心2为半径的圆
【解析】
【分析】设出点,根据题意列出等式，化简即为答案.
【详解】设点.
则，化简得：
为以为圆心2为半径的圆.
18. 已知为任意实数，当变化时，方程．
（1）此方程表示什么图形？图形有什么特点？
（2）求点与此方程所表示的图形的距离的最大值，并求出此时的值．
【答案】（1）答案见解析
（2）距离的最大值为，此时
【解析】
【分析】（1）求出直线和直线的交点，再结合动直线的特点，即可求解．
（2）根据到定点的距离即可求解.
【小问1详解】
，解得，
故当变化时，方程表示过直线和直线交点，
除直线以外的所有直线，包括直线．
【小问2详解】
由于到的距离为，
故当过和点的直线与所给方程表示的图形垂直时，此时距离最大，且最大值为,
此时,故的斜率为，
故，解得
19. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，．
（1）若，证明：平面；
（2）若，且二面角的正弦值为，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而，再根据线面平行的判定定理即可证出；
（2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出．
【小问1详解】
（1）因为平面，而平面，所以，
又，，平面，所以平面，
而平面，所以.
因为，所以，根据平面知识可知，
又平面，平面，所以平面．
【小问2详解】
如图所示，过点D作于，再过点作于，连接，
因为平面，所以平面平面，而平面平面，
所以平面，又，所以平面，
根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，
即，即．
因为，设，则，由等面积法可得，，
又，而为等腰直角三角形，所以，
故，解得，即．