江苏省如东一中、宿迁一高、徐州中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试卷

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【答案】
1. A 2. D 3. A 4. B 5. C 6. C 7. D
8. C
9. AB 10. ACD 11. ABC 12. BD
13. 4
14. 答案不唯一
15. 3
16. ；
17. 解：，，
因为，所以，
所以数列是等差数列，所以
因为当n为奇数时，，
所以的前20项和为

18. 解：因为函数，
所以，
，
所以，所以，即
又因为，所以
当时，，所以，
所以，
所以函数是偶函数，满足题意.
因为函数，
所以
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立.
因为，所以，，
所以，
所以在上恒成立.
因为，
所以，所以，
所以
19. 解：因为ABCD是正方形，所以，
又因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，
所以平面
因为平面FBC，
所以
又因为，所以
以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
所以，
设平面ADE的一个法向量为，
则，
不妨设，则，所以易得平面ABCD的一个法向量为，
所以
记二面角为，
由图像可知二面角为锐二面角，
则，
所以
20. 解：在中，由正弦定理，得
因为，所以，所以
因为，所以
因为，所以，
所以，因为，所以
因为，所以，所以，所以
因为D为AC边上的一点，且，，
所以，
所以，
所以，即
在中，由余弦定理，
得
因为，所以
所以
因为，所以，所以，
所以，
所以，所以，
所以，当且仅当时等号成立.
所以AC的最大值为
21. 解：因为，
所以
因为，所以，
所以是以3为首项，2为公比的等比数列.
于是，
所以，即，
所以数列成等差数列，其首项为，公差为
于是，
所以
因为，
所以，
所以
，
所以
因为，，，
所以，所以
当时，因为，
所以，所以数列是等差数列.


22. 解：因为，
所以
故当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以
时，
当时，因为，
所以，
所以
当时，因为，所以舍去.
当时，因为
所以令，得
当时，，所以单调递增，所以，
不合题意，故舍去.
综上可知：
【解析】
1. 【分析】
本题考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
求得的定义域，利用复合函数的单调性可得答案．
【解答】
解：令解得，
又的开口向下，对称轴方程为，
在上单调递减，又在上单调递增，
由复合函数的单调性知，函数的单调递减区间是，
故选：
2. 【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．
【解答】
解：由，
得，
故选
3. 【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，集合的包含关系以及充分必要条件的判断，属于基础题.
根据一元二次不等式的解集以及充分必要条件的定义判断，即可得到答案.
【解答】
解：因为，则，
，
所以“”等价于
故选
4. 【分析】
本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
根据已知条件，利用待定系数法求出a，b的值，可得，结合对数的运算性质，即可求出t的近似值．
【解答】
解：依题意有
解得，，故
令，得，
故
故选：
5. 【分析】
本题考查两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式的应用，属于基础题.
利用两个向量垂直，数量积等于0，得到，代入两个向量的夹角公式得到夹角的余弦值，进而得到夹角．
【解答】
解：，，
，，
，设与的夹角为，，
则由两个向量的夹角公式得，
故选：
6. 【分析】
本题考查基本不等式求最值，属于基础题.
由已知得，，再利用基本不等式求即可.
【解答】
解：因为，，
所以，，
所以，
当且仅当时等号成立，所以xy的最大值为
7. 【分析】
由平面与平面，平面与直线，直线与直线的位置关系，分别判断每个选项即可．
本题考查空间中直线与平面的位置关系的判断，化归转化思想，属中档题．
【解答】
解：对于A：若x，y，z是空间中三个不同的平面，且，，
则平面x和平面y的位置不确定，故A错误；
对于B：若x，y，z是空间中三条不同的直线，且，，
则直线x和直线y的位置不确定，故B错误；
对于C：x，z是空间中两条不同的直线，y是空间的平面，且，，
则直线x和平面y的关系为直线平面y或直线平面y，故C错误；
对于D：x，y是空间中两条不同的直线，z是空间的平面，且，，
则，故D正确，
故选：
8. 【分析】
本题考查了两角和与差的正切公式、利用诱导公式化简和函数的单调性，是中档题.
易得因为在上单调递增，由两角和与差的正切公式得，所以，由诱导公式可得结论.
【解答】
解：因为，
所以
因为在上单调递增，
所以，所以，
所以，所以，
所以
9. 【分析】
本题考查等比数列的判定，关键是掌握等比数列的定义，属于基础题.
根据题意，设的公比为q，则 ，由等比数列的定义依次分析4个选项，综合即可得答案.
【解答】
解：根据题意，数列是等比数列，设其公比为q，则
A，因为，所以A正确.
B，对于数列，有 ，为等比数列，B正确；
C，若，，所以C不正确;
D，对于数列，若，数列是等比数列，但数列不是等比数列，D错误.
10. 【分析】
本题主要考查直线与平面平行、垂直的判定与性质、异面直线所成角等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力，是中档题．
连接 BD ， ，由中位线定理以及线面平行判定判断A；由 MN 与 不垂直判断由 平面 证明 ；由 ， 得出 MN 与 所成角.
【解答】
解：对于A：如图，连接 BD ， .
在正方形 ABCD 中， M 为 AC 的中点， ，即 M 也为 BD 的中点，
在 中， 分别为 的中点， ，故A正确；
对于B：连接 ， ，
， 与 不垂直，即 MN 与 不垂直，则 MN 不垂直平面 ，故B错误；
对于C： ， ， MN 与 所成角为 ，故C正确；
对于D： 平面 ， ， ，故D正确.
11. 【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题.
利用基本不等式结合已知条件逐个分析判断.
【解答】
解：对于A，因为，
所以，所以，
当且仅当，时等号成立，
所以xy的最大值为2，故A正确；
对于B，因为，
所以，
当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为，故B正确；
对于C，因为，所以
，
所以当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，故C正确；
对于D，因为，
所以
，
当且仅当时，即等号成立，
所以，故D错误.
故选：
12. 【分析】
本题考查了正弦型函数的性质，属于中档题.
根据正弦型函数的最值、单调性、对称性等性质，结合导数性质逐一判断即可.
【解答】
解：因为，，所以，所以A错误.
因为，所以B正确.
因为，所以C错误.
因为
，
所以的对称中心是，所以D正确.
13. 【分析】
【分析】由数列是等比数列，及是与的等差中项，得出q的值，再由即可得出答案．
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查运算求解能力，属于基础题．
【解答】
【解答】
解：因为是与的等差中项，数列是等比数列，
所以，即，解得，
所以
故答案为：
14. 【分析】
本题考查函数的奇偶性，函数的图象变换，掌握函数的基本性质，是基础题.
联想正弦函数是奇函数，又根据向右平移个单位即变为偶函数，易得所求函数．
【解答】
解：是奇函数，是偶函数，
故答案为：答案不唯一
15. 【分析】
本题主要考查圆台的体积，属于基础题.
由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上底面面积即可得到答案.
【解答】
解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸.
因为雨水深9寸，所以水面半径为寸.
则盆中水的体积为立方寸，
所以则平地降雨量等于寸
故答案为
16. 【分析】
本题考查了三角函数在实际生活中的应用和利用导数求函数的最值，是中档题.
设，，由，得，当时，得出AF，AP，可得的面积；由三角恒等变换和换元法，运用导数可得EF的最小值.
【解答】
解：设，，则
又因为，所以
又由，
解得
若，则，所以，
所以，，
所以的面积是
因为，
所以
设，则，
当时，，y单调递增，
当时，，y单调递减，
所以当时，，故
17. 本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
由数列的通项公式可求得，，从而可得求得，，由可得数列是等差数列，从而可求得数列的通项公式；
由，利用等差数列求和公式求解即可．
18. 本题考查了函数的奇偶性、利用导数由函数的单调性求参，考查学生的运算能力，属于中档题.
根据偶函数得，求a，再验证；
由题意得在上恒成立，结合指数对数函数性质求解a的取值范围.
19. 本题重点考查线面垂直的性质和二面角的求法，属于一般题.
先求证平面FBC，由线面垂直的性质可得，结合即可求证;
建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.
20. 本题考查了正弦定理，余弦定理以及基本不等式求最值的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于较难题．
利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角B的大小；
由，得出，得出，结合余弦定理，利用基本不等式，即可求出结果.
21. 本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的通项公式和错位相减求和，是较难题.
先得出所以是等比数列，得，化简得，可得数列成等差数列，可得数列的通项公式；
先运用错位相减可得，先得出的前三项，由等差数列的定义得出k，再由等差数列的定义证明即可.
22. 本题主要考查函数最值与导数之间的关系，以及不等式恒成立问题.
若，求函数的导数，即可求函数的单调区间，从而求最值；
分、、三种情况，利用导数研究单调性可得实数k的取值范围．