广东汕头潮阳多校2024-2025学年上学期九年级第一次质检考试数学（解析版）

这是一份广东汕头潮阳多校2024-2025学年上学期九年级第一次质检考试数学（解析版），共15页。
1．全卷共4页，满分为120分，考试时间为120分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名、学号和座位号填写在答题卷的相应位置．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．
4．非选择题部分答题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分．
1. 下列方程中一元二次方程的个数为（）
①；②；③；④．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义直接判断即可．
解：是一元二次方程；
含有两个未知数，不是一元二次方程；
未知数在根号内，不是一元二次方程；
未知数在分母中，不是一元二次方程；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，明确只含有一个未知数，未知数的最高次为2次的整式方程是一元二次方程是解题关键．
2. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（）
A. ，B. ， 10C. 8，D. 8，10
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键．
解：∵，
∴，
∴一次项系数、常数项分别是，，
故选：A．
3. 下列关于的一元二次方程有实数根的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可．
解：A、这里，，，
△，
方程没有实数根，本选项不合题意；
B、这里，，，
△，
方程没有实数根，本选项不合题意；
C、这里，，，
△，
方程没有实数根，本选项不合题意；
D、这里，，，
△，
方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式的意义．
4. 如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为，，
∴3＋1＝−p，3×1＝q，
∴p＝−4，q＝3，
所以这个一元二次方程，
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
5. 一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积是24cm2，则其斜边长为（ ）
A. 2cmB. 10cmC. 8cmD. 4cm
【答案】B
【解析】
【分析】设这个直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，根据题意得a+b＝14，ab＝24，由c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代值开平方求斜边长．
解：设这个直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，
根据题意得a+b＝14，ab＝24，即ab＝48，
∴c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝142﹣2×48＝100，
∴c＝10，即斜边长为10cm．
故选：B．
【点睛】本题考查乘法公式应用，算术平方根，勾股定理，掌握乘法公式恒等变形，算术平方根，勾股定理是解题关键．
6. 若关于x的方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不等的实根，则m的取值范围是（ ）
A. m＜3B. m≤3C. m＜3且m≠2D. m≤3且m≠2
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac的意义得到m-2≠0且△≥0，即22-4×（m-2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．
∵关于x的一元二次方程(m-2)x2-2x+1=0有实数根，
∴m-2≠0且△≥0.
由△≥0可得
22-4(m-2)≥0
解得m≤3，
解m-2≠0得m≠2，
∴m的取值范围是m≤3且m≠2．
故答案选D.
【点睛】本题考查了根的判别式与一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握根的判别式与一元二次方程的定义.
7. 若，则、的值分别是（ ）
A. 4、2B. 4、-2C. -4、-2D. -4、2
【答案】B
【解析】
【分析】因为，所以根据等式的基本性质可知2q＝－4，p＝q2，即可求解.
∵，∴根据等式的基本性质可知2q＝－4，p＝q2,
∴q＝－2，p＝4，故B选项为正确答案.
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值是解题关键.
8. 某商店1月份营业额为万元，已知第一季度的营业额共万元.如果平均每月增长率为，则列方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据每月增长率为x，分别表示出三个月的营业额，再根据三个月的总额是100万元得出方程.
解：一月份的营业额为万元，平均每月增长率为，
二月份的营业额为，
三月份的营业额为，
可列方程，
即.
故选：C.
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
9. 已知一元二次方程的两个根分别是，，则的值为（）．
A. -1B. 0C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据一元二次方程的根的意义和一元二次方程根与系数的关系分别得到，变形代入求值即可得到答案．
解：由题意得，即，
∴原式．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解的根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答此题的关键．
10. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据是一元二次方程的一个根，得到，从而得，将代入到原式，通过计算，即可得到答案．
∵是一元二次方程的一个根
∴
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程、整式运算、分式运算的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、整式和分式运算的性质，从而完成求解．
二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分．
11. 方程的解是__________．
【答案】或
【解析】
【分析】利用因式分解法求解即可．
解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
12. 方程系数a，b，c满足，则方程有一个根为______．
【答案】
【解析】
【分析】由满足且，可得当时，有．由此即可解答．
由题意，一元二次方程满足且，
∴时，代入方程，有；
综上可知，方程必有一根为．
故答案为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
13. 已知三角形两边的长是2和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长是_____．
【答案】10
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，构成三角形的条件，先利用因式分解法解方程得到或，再根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边求出第三边的范围，进而确定第三边的长即可得到答案．
解：解方程得或，
∵三角形两边的长是2和4，
∴第三边长，
∵第三边的长是方程的根，
∴第三边长为4，
∴该三角形的周长是，
故答案为：10．
14. 若关于x的方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的两根互为倒数，则k＝____．
【答案】-1
【解析】
x1x2= k2=1,k=.k=1时，
舍去.所以k=-1.
15. 若，则_________．
【答案】3
【解析】
【分析】先由可得，再运用分式的减法计算，然后变形将代入即可解答．
解：∵
∴
∴．
故填：3．
【点睛】本题主要考查了代数式的求值、分式的减法等知识点，灵活对等式进行变形成为解答本题的关键．
三、解答题（一）：共三小题，每小题7分，共21分．
16. 用适当的方法解下列方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）运用配方法求解；
（2）运用因式分解法求解。
【小问1】
移项，得，
配方，得，
即，
开方，得，
∴，．
【小问2】
，
变形，得，
因式分解，得，
∴或，
解得，．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，根据方程的特点，找到适当的解法是解题的关键．
17. 已知是关于的一元二次方程的一个根.
（1）求.
（2）求此方程的另一个根.
【答案】（1）0或8（2）
【解析】
【分析】（1）把代入一元二次方程得出关于c的方程，解方程即可；
（2）根据根与系数的关系，求出方程的另外一个根即可．
【小问1】
解：∵是关于的一元二次方程的一个根，
∴，
即，
解得：，．
【小问2】
解：设关于的一元二次方程的两个根分别为，，
∴，
∵方程的一个根为，
∴此方程的另一个根为．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，设一元二次方程的两个根分别为，，则，．
18. 关于方程的一个实数根是，并且和恰好是等腰三角形的两边长，求的周长．
【答案】21或24
【解析】
【分析】利用一元二次方程的解先求解m的值，再按照两种情况分类讨论即可．
本题考查的是等腰三角形的定义，三角形的三边关系的应用，一元二次方程的解的含义，遇到等腰三角形要注意分类讨论是解本题的关键．
解：把代入中，
得，
解得．
因为m和6恰好是等腰三角形的两边长，
①当腰长为6，底为9 时，三边长为6、6、9，满足三角形三边之间的关系，此时的周长为；
②当腰长为9，底为6 时，三边长为6、9、9，满足三角形三边之间的关系，此时的周长为．
综上所述，的周长为21或24．
四、解答题（二）：共三小题，每小题9分，共27分．
19. 关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围：
（2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）且；（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义计算即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解方程即可．
解：（1）由题知，方程有两个不等实数根，所以，
，
解得且，
所以的取值范围是且；
（2）设方程的两个实数根为，，且倒数和等于1，
即，所以，
因为，，
所以，即，
解得：，
经检验是方程的根，
由（1）知的取值范围是：且，则不符合题意，
所以不存在这样的值使方程的两个实数根的倒数和等于1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
20. 近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
（1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
（2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
【答案】（1）这个短信要求收到短信的人必须转发给9人
（2）从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用：
（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求列式求解即可．
【小问1】
解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人；
【小问2】
解：人，
答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
21. 已知：如图，是边长为的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，两点停止运动，设点的运动时间，当为何值时，是直角三角形？
【答案】当秒或秒时，是直角三角形
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形判定、所对直角边等于斜边一半等知识点，考查学生数形结合的数学思想方法；
本题要分情况进行讨论：①；②．然后在直角三角形中根据的表达式和的度数进行求解即可．
解：根据题意得，
中，，
∴，
中，，
若是直角三角形，
则或，
①当时，，
即秒，
②当时，，
(秒)，
答：当秒或秒时，是直角三角形．
五、解答题（三）：共两小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分．
22. 小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．
（1）求返回时A、B两地间的路程；
（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟．
【答案】（1）1800米；（2）52分钟．
【解析】
【分析】（1）可设AB两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解；
（2）可设从A地到C地一共锻炼时间为y分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗900卡路里热量，列出方程即可求解．
解：（1）设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得：
，
解得x=1800．
答：A、B两地间的路程为1800米；
（2）设小明从A地到B地共锻炼了y分钟，由题意得：
25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904，
整理得y2﹣50y﹣104=0，
解得y1=52，y2=﹣2（舍去）．
答：小明从A地到C地共锻炼52分钟．
【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程．
23. 阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．
（1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2=，x3=；
（2）拓展：用“转化”思想求方程的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
【答案】(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.
【解析】
【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
解：（1），
，
所以x=0或或
，，；
故答案为-2，1；
（2），
方程的两边平方，得
即
或
，，
当x=-1时，，
所以不是原方程的解．
所以方程的解是；
（3）因为四边形是矩形，
所以，
设，则
因为，
，
两边平方，得
整理，得
两边平方并整理，得
即
所以．
经检验，是方程的解．
答：的长为．
【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程时注意验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．