安徽省淮北市杜集区2024年数学九年级第一学期开学质量检测试题【含答案】

这是一份安徽省淮北市杜集区2024年数学九年级第一学期开学质量检测试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若a+c=b，那么方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
2、（4分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是( )
A．∠ABC＝90°B．∠BCD＝90°C．AB＝CDD．AB∥CD
3、（4分）下列命题的逆命题正确的是（ ）
A．如果两个角都是45°，那么它们相等B．全等三角形的周长相等
C．同位角相等，两直线平行D．若a=b，则
4、（4分）下列各组数是勾股数的是( )
A．6，7，8B．1，，2
C．5，4，3D．0.3，0.4，0.5
5、（4分）一组数据3、7、2、5、8的中位数是( ) ．
A．2 B．5 C．7 D．8
6、（4分）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A．且B．且 C． 且 D．
7、（4分）若点A(-3，)，B(1，)都在直线上，则与的大小关系是（ ）
A．D．无法比较大小
8、（4分）函数中自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，将绕点旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上．若，，则________．
10、（4分）已知反比例函数在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为轴正半轴上一点，连接AO、AB，且AO=AB，则S△AOB= .
11、（4分）在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是________．
12、（4分）将直线向上平移3个单位长度与直线重合，则直线的解析式为__________．
13、（4分）已知正n边形的一个外角是45°，则n＝____________
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作对角线BD的垂线，垂足为E，点F为AD的中点，连接FE并延长交BC于点G．
（1）求证：；
（2）若，，，求BG的长.
15、（8分）如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点(不与点A重合)，EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P.
(1)求证：CE=EP.
(2)若点E的坐标为(3，0)，在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
16、（8分）国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区．现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
（1）求这两种货车各用多少辆？
（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，前往甲、乙两地的总运费为w元，求出w与a的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费．
17、（10分）计算下列各式的值：
（1）；
（2）（1﹣）2﹣|﹣2|．
18、（10分）在数学拓展课上，老师让同学们探讨特殊四边形的做法：
如图，先作线段，作射线（为锐角），过作射线平行于，再作和的平分线分别交和于点和，连接，则四边形为菱形；
（1）你认为该作法正确吗？请说明理由.
（2）若，并且四边形的面积为，在上取一点，使得.请问图中存在这样的点吗？若存在，则求出的长；若不存在，请说明理由.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图所示,在ΔABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE＝DF,给出下列条件:①BE⊥EC;②BF∥EC;③AB＝AC．从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是____(只填写序号).
20、（4分）如图，以A点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM，AN交于B，C两点，连接BC，再分别以B，C为圆心，以相同长（大于BC）为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，CD．若∠MBD=40°，则∠NCD的度数为_____．
21、（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为.将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点，那么点的坐标为______.
22、（4分）已知a2-2ab+b2=6，则a-b＝_________.
23、（4分）一组数据5，7，2，5，6的中位数是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）计算：
(1)
(2)
25、（10分）如图，平面直角坐标系中，直线AB:y= -+b交y轴于点A(0,1),交x轴于点B,直线x=1交AB于点D,交x轴于点E,P是直线x=1上的一动点，且在点D的上方，设P(1,n).
(1)求直线ABd解析式和点B的坐标；
(2)求△ABP的面积(用含n的代数式表示)；
(3) 当 =2时,
①求出点P的坐标；②在①的条件下，以PB为边在第一象限作等腰直角△BPC，直接写出点C的坐标．
26、（12分）计算
（1）
（2）
（3）
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】解：根据题意：当x=﹣1时，方程左边=a﹣b+c，而a+c=b，即a﹣b+c=0，所以当x=﹣1时，方程ax2+bx+c=0成立．故x=﹣1是方程的一个根．故选B．
2、C
【解析】
根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可．
【详解】
A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∵∠ABC＝90°，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，正确；
B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，∵∠BCD＝90°，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，正确；
C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝CD，
无法得出△ABO≌△DCO，
故无法得出四边形ABCD是平行四边形，
进而无法得出四边形ABCD是矩形，错误；
D、∵AB||CD，∠BAD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠BAO＝∠ODC，
∵∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB≌△DOC，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAD＝90°，
∴▱ABCD是矩形，正确；
故选：C．
此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理．
3、C
【解析】
交换原命题的题设与结论得到四个命题的逆命题，然后分别根据三角形的概念、全等三角形的判定、平行线的性质和平方根的定义判定四个逆命题的真假．
【详解】
A. 逆命题为：如果两个角相等，那么它们都是45°，此逆命题为假命题；
B. 逆命题为：周长相等的两三角形全等，此逆命题为假命题；
C. 逆命题为：两直线平行，同位角相等，此逆命题为真命题；
D. 逆命题为：若a2=b2，则a=b，此逆命题为假命题.
故选C.
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握三角形的概念、全等三角形的判定、平行线的性质和平方根的定义.
4、C
【解析】
欲求证是否为勾股数，这里给出三边的长，只要验证即可．
【详解】
解：、，故此选项错误；
、不是整数，故此选项错误；
、，故此选项正确；
、0.3，0.4，0.5，勾股数为正整数，故此选项错误．
故选：．
本题考查了勾股数的概念，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断．
5、B
【解析】分析：先从小到大排列，然后找出中间的数即可.
详解：从小到大排列：2,3,5,7,8，
∴中位数是5.
故选B.
点睛：本题考查了中位数，如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数.
6、B
【解析】
先求得方程的解，再根据x＞0，得到关a的不等式并求出a的取值范围．
【详解】
解：去分母得，2x+a=-x+2
解得
∵分母x-2≠0即x≠2
解得，a≠-1
又∵x＞0
解得，a＜2
则a的取值范围是a＜2且a≠-1．
故选：B
此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此类问题的关键是“转化思想”的应用，并要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
7、A
【解析】
先根据直线y=x+1判断出函数图象的增减性，再根据各点横坐标的大小进行判断即可．
【详解】
∵直线y=x+1，k=＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵-3＜1，
∴y1＜y1．
故选A．
本题考查的是一次函数的增减性，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小．
8、B
【解析】
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围.
【详解】
根据题意得：
解得：x≤2
故选B
本题考查求函数的自变量的取值范围函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0
(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=1AB=4，再根据旋转的性质得AD=AB，则可判断△ABD为等边三角形，所以BD=AB=1，然后计算BC-BD即可．
【详解】
解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，
∴BC=1AB=4，
∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，
∴AD=AB，
而∠B=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=1，
∴CD=BC-BD=4-1=1．
故答案为：1．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
10、6.
【解析】
根据等腰三角形的性质得出CO=BC，再利用反比例函数系数k的几何意义得出S△AOB即可．
【详解】
过点A作AC⊥OB于点C，
∵AO=AB，
∴CO=BC，
∵点A在其图象上，
∴AC×CO=3，
∴AC×BC=3，
∴S△AOB=6.
故答案为6.
11、PA=PB=PC
【解析】
解：∵边AB的垂直平分线相交于P，
∴PA=PB，
∵边BC的垂直平分线相交于P，
∴PB=PC，
∴PA=PB=PC．
故答案为：PA=PB=PC．
12、
【解析】
根据一次函数的平移规律：左加右减，上加下减，即可求出原直线的解析式．
【详解】
解：∵直线向上平移3个单位长度与直线重合，
∴直线向下平移3个单位长度与直线重合
∴直线的解析式为：
故答案为：．
此题考查的是根据平移后的一次函数解析式，求原直线的解析式，掌握一次函数的平移规律：左加右减，上加下减，是解决此题的关键．
13、8
【解析】
解：∵多边形的外角和为360°，正多边形的一个外角45°，
∴多边形得到边数360÷45=8，所以是八边形．
故答案为8
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）由直角三角形斜边中线定理，得到EF=DF，然后得到∠FED=∠FDE，利用平行线的性质和对顶角相等，得到∠EBG=∠BEG，从而得到BG=GE.
（2）由平行四边形和平行线的性质，可以得到△ABE为等腰直角三角形，根据计算得AE=BE=3，又AF=EF=3，可得△AEF为等边三角形，则∠EAD=60°，从而得到∠EBG=∠ADE=30°，进而得到BG的长度.
【详解】
解：（1）证明：∵
∴
∵点F是AD的中点
∴
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∵
∴
∴
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
由（1）可得，
∴是等边三角形
∴
∴
∴
；
本题考查了等腰三角形判定和性质，直角三角形斜边中线定理，以及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握含30°角的直角三角形的角度和边长的计算问题.
15、（1）证明见解析；（2）存在点M的坐标为(0，2).
【解析】
分析：（1）在OC上截取OK=OE．连接EK，求出∠KCE=∠CEA，根据ASA推出△CKE≌△EAP，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）过点B作BM∥PE交y轴于点M，根据ASA推出△BCM≌△COE，根据全等三角形的性质得出BM=CE，求出BM=EP．根据平行四边形的判定得出四边形BMEP是平行四边形，即可求出答案．
详解：（1）在OC上截取OK=OE．连接EK，如图1．
∵OC=OA，∠COA=∠BA0=90°，∠OEK=∠OKE=45°．
∵AP为正方形OCBA的外角平分线，∴∠BAP=45°，∴∠EKC=∠PAE=135°，∴CK=EA．
∵EC⊥EP，∴∠CEF=∠COE=90°，
∴∠CEO+∠KCE=90°，∠CEO+∠PEA=90°，∴∠KCE=∠CEA．
在△CKE和△EAP中，∵ ，
∴△CKE≌△EAP，∴EC=EP；
（2）y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形．
如图，过点B作BM∥PE交y轴于点M，连接BP，EM，如图2，
则∠CQB=∠CEP=90°，所以∠OCE=∠CBQ．
在△BCM和△COE中，∵，
∴△BCM≌△COE，∴BM=CE．
∵CE=EP，∴BM=EP．
∵BM∥EP，∴四边形BMEP是平行四边形．
∵△BCM≌△COE，∴CM=OE=3，∴OM=CO﹣CM=2．
故点M的坐标为（0，2）．

点睛：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定的应用，能灵活运用知识点进行推理是解答此题的关键，综合性比较强，难度偏大．
16、（1）大货车用8辆，小货车用1辆（2）w=70a＋11220（0≤a≤8且为整数）（3）使总运费最少的调配方案是：2辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地．最少运费为3元
【解析】
（1）设大货车用x辆，则小货车用18－x辆，根据运输228吨物资，列方程求解．
（2）设前往甲地的大货车为a辆，则前往乙地的大货车为（8－a）辆，前往甲地的小货车为（9－a）辆，前往乙地的小货车为辆，根据表格所给运费，求出w与a的函数关系式．
（3）结合已知条件，求a的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．
【详解】
解：（1）设大货车用x辆，则小货车用（18－x）辆，根据题意得
16x＋1（18－x）=228 ，解得x=8，
∴18－x=18－8=1．
答：大货车用8辆，小货车用1辆．
（2）w=720a＋800（8－a）+200（9－a）+620=70a＋11220，
∴w=70a＋11220（0≤a≤8且为整数）．
（3）由16a＋1（9－a）≥120，解得a≥2．
又∵0≤a≤8，∴2≤a≤8且为整数．
∵w=70a+11220，k=70＞0，w随a的增大而增大，
∴当a=2时，w最小，最小值为W=70×2+11220=3．
答：使总运费最少的调配方案是：2辆大货车、4辆小货车前往甲地；3辆大货车、6辆小货车前往乙地．最少运费为3元．
17、（1）（2）2-
【解析】
（1）根据二次根式的乘除法进行计算即可得到答案；
（2）先根据平方差公式和绝对值分别化简，再进行计算即可得到答案．
【详解】
（1）；
（2）（1﹣）2﹣|﹣2|=1﹣2+3﹣（2-）=4﹣2﹣2+=2-．
本题考查二次根式的乘除法、平方差公式和绝对值，解题的关键是掌握二次根式的乘除法、平方差公式和绝对值.
18、（1）作法正确（2）或
【解析】
（1）根据作法可以推出，又因为，所以四边形是平行四边形，又，所以四边形是菱形，因此作法正确；
（2）作，由面积公式可求出,由菱形的性质可得AD=AB=4，用勾股定理可得，由锐角三角函数得，所以是正三角形.再根据菱形对角线互相垂直的性质，利用勾股定理解得或.
【详解】
（1）作法正确.理由如下：
∵
∴
∵平分，平分
∴
∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形.
故作法正确.
（2）存在.
如图，作
∵，
∴ 且
∴由勾股定理得
∴由锐角三角函数得
∴是正三角形
∴
∵ ∴
∴或
本题考查了菱形的性质和判定，勾股定理和锐角三角函数，是一个四边形的综合题.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、③
【解析】
分析: 根据点D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，即可证明四边形BECF是平行四边形，然后根据菱形的判定定理即可作出判断．
详解：∵BD=CD，DE=DF，
∴四边形BECF是平行四边形，
①BE⊥EC时，四边形BECF是矩形，不一定是菱形；
②AB=AC时，∵D是BC的中点，
∴AF是BC的中垂线，
∴BE=CE，
∴平行四边形BECF是菱形．
③四边形BECF是平行四边形，则BF∥EC一定成立，故不一定是菱形；
故答案是：②．
点睛:本题考查了菱形的判定方法，菱形的判别常用三种方法：
①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．
20、40°
【解析】
先根据作法证明△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质可得∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，然后根据三角形外角的性质可证∠NCD=∠MBD=40°.
【详解】
在△ABD和△ACD中，
∵AB=AC,
BD=CD,
AD=AD,
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA.
∵∠MBD=∠BAD+∠BDA，∠NCD=∠CAD+∠CDA，
∴∠NCD=∠MBD=40°.
故答案为：40°.
本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解答本题的关键.
21、（0，）．
【解析】
先证明EA=EC（设为x）；根据勾股定理列出x2=12+（3-x）2，求得x=，即可解决问题．
【详解】
由题意知：∠BAC=∠DAC，AB∥OC，
∴∠ECA=∠BAC，
∴∠ECA=∠DAC，
∴EA=EC（设为x）；
由题意得：OA=1，OC=AB=3；
由勾股定理得：x2=12+（3-x）2，
解得：x=，
∴OE=3-=，
∴E点的坐标为（0，）．
故答案为：（0，）．
该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
22、
【解析】
由题意得（a-b）2="6," 则＝
23、1
【解析】
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】
解：将数据从小到大排列2，1，1，6，7，
因此中位数为1．
故答案为1
本题考查了中位数，正确理解中位数的意义是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）；（2）．
【解析】
（1）根据二次根式的乘法法则进行运算即可
（2）分母有理化即可
【详解】
（1）原式；
（2）原式
．
此题考查二次根式的乘法，解题关键在于掌握运算法则
25、 (1) y=－x+1, 点B（3，0）;(2) n－1;(3)①P(1，2)；②（3，4）或（5，2）或（3，2）.
【解析】
(1)将点A的坐标代入直线AB的解析式可求得b值，可得AB的解析式，继而令y=0，求得相应的x值即可得点为B的坐标；
(2)过点A作AM⊥PD，垂足为M，求得AM的长，再求得△BPD和△PAD的面积，二者的和即为△ABP的面积；
(3)①当S△ABP=2时，代入①中所得的代数式，求得n值，即可求得点P的坐标；
②分P是直角顶点且BP=PC、B是直角顶点且BP=BC 、C是直角顶点且CP=CB三种情况求点C的坐标即可．
【详解】
(1)∵y=－x+b经过A(0，1)，∴b=1，
∴直线AB的解析式是y=－x+1，
当y=0时，0=－x+1，解得x=3，∴点B(3，0)；
(2)过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM=1，

∵x=1时，y=－x+1=， P在点D的上方，∴PD=n－，
S△APD=PD•AM=×1×(n－)=n－，
由点B(3，0)，可知点B到直线x=1的距离为2，
即△BDP的边PD上的高长为2，
∴S△BPD=PD×2=n－，
∴S△PAB=S△APD+S△BPD=n－+n－=n－1；
(3)①当S△ABP=2时，n－1=2，解得n=2，∴点P(1，2)；
②∵E(1，0)，
∴PE=BE=2，
∴∠EPB=∠EBP=45°．
第1种情况，如图1，∠CPB=90°，BP=PC，
过点C作CN⊥直线x=1于点N．
∵∠CPB=90°，∠EPB=45°，
∴∠NPC=∠EPB=45°，
在△CNP与△BEP中，
，
∴△CNP≌△BEP，
∴PN=NC=EB=PE=2，
∴NE=NP+PE=2+2=4，
∴C(3，4)；
第2种情况，如图2，∠PBC=90°，BP=BC，
过点C作CF⊥x轴于点F．
∵∠PBC=90°，∠EBP=45°，
∴∠CBF=∠PBE=45°，
在△CBP与△PBE中，
，
∴△CBF≌△PBE．
∴BF=CF=PE=EB=2，
∴OF=OB+BF=3+2=5，
∴C(5，2)；
第3种情况，如图3，∠PCB=90°，CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP=45°，
∵∠EPB=∠EBP=45°，
∴∠PCB=∠CBE=∠EPC=90°，
∴四边形EBCP为矩形，
∵CP=CB，
∴四边形EBCP为正方形，
∴PC=CB=PE=EB=2，
∴C(3，2)；
∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是(3，4)或(5，2)或(3，2)．
本题考查了待定系数法求函数的解析式、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质的综合应用，正确求得n的值，判断∠OBP=45°是解决问题的关键．
26、（1）（2）（3）
【解析】
（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号后合并即可；
（2）利用二次根式的乘除法则运算，然后合并同类二次根式即可；
（3）根据平方差公式和完全平方公式进行计算．
【详解】
（1）
解：原式


（2）
解：原式

（3）
解：原式

本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
运往地
车 型
甲 地（元/辆）
乙 地（元/辆）
大货车
720
800
小货车
500
650