【高考数学】专题：数列（学案）

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【高考数学】
专题：数列
一、数列的通项公式与前n项的和的关系
① （注：该公式对任意数列都适用）
② （注：该公式对任意数列都适用）
③ （注：该公式对任意数列都适用）
= 4 \* GB3 ④sn+1-sn-1=an+1+an （注：该公式对任意数列都适用）
二、等差与等比数列的基本知识
1、等差数列
通项公式与公差：
定义式：
一般式：
推广形式： ；
；
= 2 \* GB2 ⑵ 前项和与通项的关系：
前n项和公式：.
前n项和公式的一般式：
应用：若已知，即可判断为某个等差数列的前n项和，并可求出首项及公差的值。
与的关系：（注：该公式对任意数列都适用）
例：等差数列， （直接利用通项公式作差求解）
⑶ 常用性质：
①若m+n=p+q ，则有 ；特别地：若的等差中项，则有2n、m、p成等差数列；
②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如，）仍是等差数列；
③为公差为d等差数列，为其前n项和，则，，．．．也成等差数列,
构成的新数列公差为D=m2d，即m2d=(S2m-Sm)- Sm；
对于任意已知Sm，Sn，等差数列 公差，即也构成一个公差为等差数列。
= 6 \* GB3 ⑥若项数为偶数，设共有项，则①偶奇； ② ；
= 7 \* GB3 ⑦若项数为奇数，设共有项，则①奇偶；②。
例：已知等差数列，其中
解析：法一，用等差数列求和公式 求出
法二，，成等差数列，设公差为D，则：
法三,
63. 等比数列的通项公式：
⑴ ①一般形式：；
②推广形式：，
③其前n项的和公式为：，或.
⑵数列为等比数列
⑶ 常用性质：
若m+n=p+q ，则有 ；特别地：若的等比中项，则有 n、m、p成等比数列;
等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如，）仍是等比数列；
③为等比数列，为其前n项和，则，，．．．也成等比数列（仅当当或者且不是偶数时候成立）；
设等比数列的前项积为，则，，成等比数列．
= 4 \* GB3 ④ 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.
= 5 \* GB3 ⑤ 既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.
判断或证明一个数列是等差数列的方法：
= 1 \* GB3 ①定义法：
是等差数列
= 2 \* GB3 ②中项法：
是等差数列
= 3 \* GB3 ③一般通项公式法：
是等差数列
= 4 \* GB3 ④一般前项和公式法：
是等差数列
判断或证明一个数列是等比数列的方法：
（1）定义法：为等比数列；
（2）中项法：为等比数列；
（3）通项公式法：为等比数列；
（4）前项和法：为等比数列。
为等比数列。
数列最值的求解
（1），时，有最大值；，时，有最小值；
（2）最值的求法：①若已知，的最值可求二次函数的最值；
可用二次函数最值的求法（）；②或者求出中的正、负分界项，即：
若已知，则最值时的值（）可如下确定或。
例1：等差数列中，，则前 项的和最大。
【解析】：
例2．设等差数列的前项和为，已知
= 1 \* GB3 ①求出公差的范围，
= 2 \* GB3 ②指出中哪一个值最大，并说明理由。
【解析】：
= 1 \* GB3 ①
= 2 \* GB3 ② 由，可知，n=12是前n项和正负分界项，
故所以，最大
变式：若等差数列的首项为为31，从第16项开始小于1 ，则此数列公差d的取值范围是
解析：，但要注意此时还要一个隐含条件，联立不等式组求解。
3、若数列的前n项和，则 ，数值最小项是第 项。
【解析】：法一（导数法）：
根据等差数列前n项和的标准形式，可知该数列为等差数列，
令,取得最小值，
其中，可见当n=3时取得最小。
法二（列举法）：对于可用列举法，分别求出n=1、2…时的的值，再进行比较发现。
4、已知数列，
【解析】：法一（均值不等式）：由累加法：，令
法二（列举法）：实在没招时使用该法。
5、 已知等差数列的前n项和 。
【解析】：
6、
数列通项公式的求法：
类型1：等差数列型
思路：把原递推式转化为，再使用累加法（逐差相加法）求解。
例，已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则
所以数列的通项公式为
变式： 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解： 两边除以，得，则，此时，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为
评注：本题前的系数不一致，不能直接使用前述方法，解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。
类型2：等比数列型
把原递推式转化为，再使用累乘法（逐商相乘法）求解。
例 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。
解：因为①
所以②
用②式－①式得则；故
所以③
由，，则，又知，则，代入③得。所以，的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。
类型4：待定系数法处理 或型数列
把原递推式转化为转化思路：
例，数列
解：令，所以即是公比为2的等比数列， =（），或令，是公比为2的等比数列，所以，
变式1：已知数列满足，求数列的通项公式。
思路：等式两边同时除于；原递推式变成令，
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，最后再求出数列的通项公式。
变式2：已知数列满足，求数列的通项公式。
思路：将原递推式两边倒数后换元，再转化为
变式3：已知数列满足，，求数列的通项公式。
思路：将原递推式两边求对数后换元，再转化为
变式4：已知数列满足，求数列的通项公式。
思路：：换元，则，再代入原递推式，再转化为
类型5 已知递推式 求
这种类型一般利用导出，消去，得到与的递推式，再利用前面的方法求解出（知识迁移：）
例，已知数列前n项和，求：（1），（2）通项。
解：（1）
（2）由上式：，
令，即有，而，，
所以，2，公差为2,的等差数列，
类型6：求
用作商法：
数列求和的常用方法
然数和公式：
；
；
一、利用等差等比数列的求和公式求和
1、 等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
[例1] 已知，求的前n项和.
解：由，由等比数列求和公式得 ＝＝＝1－（利用等比数列求和公式）
[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.
解：由等差数列求和公式得 ，
∴ ＝＝＝
∴ 当 ，即n＝8时，
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：………………………①
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积
设………………………. ②
①－②得 （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
[例4] 求数列前n项的和.
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
………………………………②
-②
∴
三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.
[例5] 求的值
解：设…………. ①
将①式右边反序得
…………..②
又因为 ，①+②得
＝89
∴ S＝44.5
题1 已知函数
（1）证明：；
（2）求的值.
解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边
（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，
两式相加得：
所以.
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
[例5] 求数列的前n项和：，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得

当a＝1时，＝
时，＝
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1） （2）
（3）
（4）
= 5 \* GB2 ⑸
[例6] 求数列的前n项和.
解：设
则
＝
＝
[例7] 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
解： ∵
∴
∴ 数列{bn}的前n项和

＝ ＝
六、分段求和法（合并法求和）
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例8] 求cs1°+ cs2°+ cs3°+···+ cs178°+ cs179°的值.
解：设Sn＝ cs1°+ cs2°+ cs3°+···+ cs178°+ cs179°
∵
∴Sn＝ （cs1°+ cs179°）+（ cs2°+ cs178°）+ （cs3°+ cs177°）+···
+（cs89°+ cs91°）+ cs90°＝ 0
[例9] 在各项均为正数的等比数列中，若的值.
解：设
由等比数列的性质 （找特殊性质项）
和对数的运算性质 得
（合并求和）
＝
＝
＝10