福建省宁德市柘荣县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份福建省宁德市柘荣县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在等差数列中，已知，，则（ ）
A.9B.12C.15D.18
2.已知数列为等比数列，，且，则的值为（ ）
A.1或B.1C.2或D.2
3.已知数列的前项和，，则（ ）
A.20B.17C.18D.19
4.在等差数列中，若为其前项和，，则的值是（ ）
A.60B.55C.50D.11
5.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺
A.B.C.D.
6.各项不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（ ）
A.2B.4C.8D.16
7.在数列中，若，，则（ ）
A.B.1C.D.2.
8.高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法.已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ）
A.2023B.4046C.2022D.4044
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（5分）已知等差数列满足，前3项和，等比数列满足，，的前项和为.则下列命题错误的是（ ）
A.的通项公式为B.等差数列的前项和为
C.等比数列的公比为D.
10.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（ ）
图（1） 图（2）
A.B.C.D.
11.已知数列满足，，则（ ）
A.B.数列是等差数列
C.D.数列的前99项和小于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在等差数列中，，则___________.
13.已知等比数列满足，且，，成等差数列，则___________.
14.若数列满足（为常数），则称数列为等比和数列，为公比和.已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则___________.
四、解答题：（本题共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题13分）已知等差数列公差，且，，成等比数列，
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.
16.（本题15分）设是公比为正数的等比数列，，.
（1）求的通项公式；
（2）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.
17.（本题15分）设是等差数列的前项和，已知，.
（I）求；
（II）若数列，求数列的前项和.
18.（本题17分）已知数列的首项，且满足.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若，求满足条件的最大正整数.
19.（本题17分）已知数列的前项和为，，数列满足，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，求数列的前项和；
（3）若，求对所有的正整数都有成立的的取值范围.
柘荣一中20242025学年第一学期第一次月考
（高二数学）参考答案
1. A
在等差数列中，，，所以，所以，
2.C
设等比数列的公比为，
因为，且，所以，解得，所以.
故选：C.
3.C
因为数列的前项和，，
所以.
4.B
因为在等差数列中，若为其前项和，，所以.
故选：B.
5.D
设该妇子织布每天增加尺，由题意知，解得.故该女子织布每天增加尺.
故选：D
6.D
等差数列中，，故原式等价于解得或，
各项不为0的等差数列，故得到，数列是等比数列，故.
故选：D.
7.A
解：因为，，
所以，，
，，
所以数列是以3为周期的周期数列，所以.
8.B
解：选B根据等比数列的下标性质由，
函数，，
令，则，
，.
9.AC
【解答】解：设等差数列的公差为，
因为，，所以，，解得，，
所以，故A错误；
，故B正确；
设等比数列的公比为，由，，可得，解得，故C错误；
，故D正确.
故选：AC.
10.ACD
【详解】依题意，，，AD正确；，，B错误；
，，C正确.
故选：ACD
11.ACD
解：A选项，中得，
，故，A正确；
B选项，变形得到，
故数列不是等差数列，B错误；
C选项，，……，，
上面个式子相加得，
设①，
则②，
式子①－②得，
则，故，所以，
故，C正确；
D选项，由C选项知，，则，所以为公比为2的等比数列，
的前99项和为，D正确.
12.【详解】在等差数列中，，解得，所以.
13.【解答】解：设等比数列的公比为，
由，可得，解得，
由，，成等差数列，可得，
即为，解得，所以，
故答案为：32.
14.【分析】令，先利用等比和数列的定义得到①，又②，两式相减得，然后由求得，求出，再利用累乘法求出.
【解答】解：令，则①，又②，
由②－①得，即，
，，
，
故答案为：.
【点评】本题主要考查数列新定义、数列通项公式的求法及累乘法在求数列通项公式中的应用，属于中档题.
15.【答案】（1）
（2）最小值为，.
【小问1详解】
由知为等差数列，设的公差为，则，
，，成等比数列，所以，即，
解得，又，所以的通项公式为；
【小问2详解】
由（1）得，
所以当时，取得最小值，最小值为.
16.【分析】（1）设为等比数列的公比，由已知可得关于的一元二次方程，求解可得值，则数列的通项可求；
（2）由已知可得，然后分组，再由等差数列与等比数列的前项和公式求解.
【解答】解：（1）设为等比数列的公比，
则由，得，
即，解得或（舍去），
因此，的通项为；
（2）由已知可得，
，，
【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列与等比数列前项和的求法，是中档题.
17.【解答】解：（I）设等差数列的公差为，
则由，，得，解得.
；
（II）由（I）知，，
，
.
【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了利用裂项相消法求数列的前n项和，是中档题.
18.（1）由已知递推公式得，由此可得证；
（2）由（1）得，根据等比数列的求和公式可求得，再令，得函数的单调性和，可得答案.
（1）解：，，
，，
又，，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）解：由（1）可知，，，
，
若，则，，
令，所以在上单调递增，
且，，
所以满足条件的最大正整数.
19.【解答】解：（1）数列的前项和为①，
当时，解得.
当时，②，
①－②得，整理得，
所以（常数），所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；
所以.
数列满足，点在直线上.
所以（常数），所以.
（2），所以①，
②，
①－②得，
整理得.
（3）由（1）得，
所以，
所以数列为单调递减数列，所以，所以的最大值为1，
对所有的正整数都有都成立，
故，可得，
所以恒成立，只需满足，故，故的取值范围为.
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，错位相减法在数列求和中的应用，数列的单调性，恒成立问题，基本不等式，主要考查学生的运算能力，属于中档题.