2024-2025学年广东省汕头市潮南区陈店宏福外语学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）(含解析）

这是一份2024-2025学年广东省汕头市潮南区陈店宏福外语学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）(含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.关于x的方程是(a+2)x2−x+2=0是一元二次方程，则( )
A. a≠−2B. a>1C. a=−2D. a≠0
2.一元二次方程2x2−5=4x的一次项系数是( )
A. 2B. −4C. 5D. 4
3.若x=−1是方程x2+x+m=0的一个根，则此方程的另一个根是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
4.若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则实数m的取值范围为( )
A. m1D. m≥1
5.把方程x2+6x−5=0化成(x+m)2=n的形式，则m+n=( )
A. 17B. 14C. 11D. 7
6.若实数x，y满足(x2+y2+2)(x2+y2−1)=0，则x2+y2的值为( )
A. 1B. −2C. −2或1D. 2或−1
7.若a是关于x的方程3x2−x−1=0的一个根，则2024−6a2+2a的值是( )
A. 2023B. 2022C. 2020D. 2019
8.受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从某月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程( )
A. 300(1+x)2=260B. 300(1−x2)=260
C. 300(1−2x)=260D. 300(1−x)2=260
9.四边形ABCD中，AB/​/CD，且AB、CD长是关于x的方程x2−3mx+2m2+m−2=0的两个实数根，则四边形ABCD是( )
A. 矩形B. 平行四边形C. 梯形D. 平行四边形或梯形
10.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2−16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是
( )
A. 24B. 24或8 5C. 48D. 8 5
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程x2−16=0的解为______．
12.已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2−2)x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ．
13.若m是方程x2−2x−1=0的根，则m2+1m2= ______．
14.对于任意实数a、b，定义一种运算：a⊗b=a2+b2−ab，若x⊗(x−1)=3，则x的值为 ．
15.下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第______个图形共有210个小球．
三、解答题：本题共8小题，共65分。
16.解方程：(2x+3)2=(3x+2)2．
17.用公式法解方程：3x2+2x−1=0
18.关于x的方程3x2+mx−8=0有一个根是23，求另一个根及m的值．
19.已知x2+2x−2=0，求代数式x(x+2)+(x+1)2的值．
20.已知关于x的一元二次方程kx2−(2k+4)x+k−6=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k=1时，用配方法解方程．
21.随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
22.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a−c)=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x=−1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
23.【阅读材料】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca.这就是一元二次方程根与系数的关系.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)【材料理解】
一元二次方程2x2−5x−1=0的两根为x1、x2，则x1+x2= ______，x1x2= ______；
(2)【类比运用】已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+12k2−2=0．
①求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②若方程的两个实数根为x1、x2，满足x1+x2=2x1x2+5，求k的值；
(3)【思维拓展】已知实数m，n，满足3m2+6m−5=0，3n2+6n−5=0，且m≠n，求nm+mn的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵关于x的方程是(a+2)x2−x+2=0是一元二次方程，
∴a+2≠0，
解得：a≠−2，
故选：A．
根据二次项系数不为0列式求解即可得到答案．
本题考查一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：方程整理为2x2−4x−5=0，
所以，一次项系数为−4，
故选：B．
在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出一次项系数即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3.【答案】B
【解析】解：设x2+x+m=0另一个根是α，
∴−1+α=−1，
∴α=0，
故选：B．
根据根与系数的关系即可求出答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系，本题属于基础题型．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意得Δ=22−4m≥0，
解得m≤1，
故选：B．
根据判别式的意义得到Δ=22−4m≥0，然后解关于m的不等式即可．
本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0
∴方程有两个不相等的实数根．
∴AB≠CD，
∵AB/​/CD，
∴四边形ABCD是梯形．
故选：C．
AB、CD长是关于x的方程x2−3mx+2m2+m−2=0的两个实数根，即判别式Δ=b2−4ac≥0，可得到AB与CD的关系，再判定四边形的形状．
本题利用了一元二次方程的根的判别式与根的关系，梯形的判定求解．
10.【答案】B
【解析】解：x2−16x+60=0⇒(x−6)(x−10)=0，
∴x=6或x=10．
当x=6时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形．
∴高ℎ= 62−42=2 5，
∴S△=12×8×2 5=8 5；
当x=10时，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形．
∴S△=12×6×8=24．
∴S=24或8 5．
故选：B．
本题应先解出x的值，然后讨论是何种三角形，接着对图形进行分析，最后运用三角形的面积公式S=12×底×高求出面积．
本题考查了三角形的三边关系．
看到此类题目时，学生常常会产生害怕心理，不知如何下手答题，因此我们会在解题时一步一步地计算，让学生能更好地解出此类题目．
11.【答案】x=±4
【解析】解：方程x2−16=0，
移项，得x2=16，
开平方，得x=±4，
故答案为：x=±4．
移项，再直接开平方求解．
本题考查了直接开方法解一元二次方程．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a(a≥0)；ax2=b(a,b同号且a≠0)；(x+a)2=b(b≥0)；a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
12.【答案】−3
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把x=2代入kx2+(k2−2)x+2k+4=0得4k+2k2−4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值即可．
【解答】
解：把x=2代入kx2+(k2−2)x+2k+4=0得4k+2k2−4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=−3，
因为k≠0，
所以k的值为−3．
故答案为−3．
13.【答案】6
【解析】解：∵m是方程x2−2x−1=0的根，
∴m2−2m−1=0，即m2−1=2m，
∴m2+1m2
=(m−1m)2+2
=(m2−1m)2+2
=22+2
=6．
故答案为：6．
把m代入x2−2x−1=0得到m2−2m−1=0，即m2−1=2m，把m2−1=2m代入变形后的式子计算即可．
本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式求值，本题代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式m2−1=2m的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
14.【答案】2或−1
【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次方程的解法−因式分解法．本题是新定义型题目，正确理解新定义并准确使用是解题的关键．依据新定义得到关于x的方程，解方程可得结论．
【解答】
解：由题意得：
x2+(x−1)2−x(x−1)=3．
整理得：
x2−x−2=0．
即(x−2)(x+1)=0．
解得：x1=2，x2=−1．
故答案为：2或−1．
15.【答案】20
【解析】解：第1个图中有1个小球，
第2个图中有3个小球，3=1+2，
第3个图中有6个小球，5=1+2+3，
第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，
……
照此规律，第n个图中有1+2+3+……+n= n×(n+1)2个小球，
当 n(n+1)2=210时，
解之得：n1=20，n2=−21(舍)，
故答案为：20．
观察图形，找出图形变化的规律即可．
本题考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到小球个数的规律．
16.【答案】解：方程：(2x+3)2=(3x+2)2，
开方得：2x+3=3x+2或2x+3=−3x−2，
解得：x1=1，x2=−1．
【解析】方程开方转化为一元一次方程，求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−直接开平方法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
17.【答案】解：3x2+2x−1=0，
∵a=3，b=2，c=−1，
∴b2−4ac=22−4×3×(−1)=16>0，
∴x=−2± 162×3=−2±46，
∴x1=13，x2=−1．
【解析】根据公式法解题即可．
本题考查了解一元二次方程−公式法：记住一元二次方程的求根公式是解决问题的关键．
18.【答案】解：∵关于x的方程3x2+mx−8=0有一个根是23，
∴23a=−83，即方程另一根a=−4，
则−4+23=−m3，即m=10．
【解析】利用根与系数的关系求出另一根，以及m的值即可．
此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
19.【答案】解：x(x+2)+(x+1)2
=x2+2x+x2+2x+1
=2x2+4x+1，
∵x2+2x−2=0，
∴x2+2x=2，
∴当x2+2x=2时，原式=2(x2+2x)+1
=2×2+1
=4+1
=5．
【解析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+2x=2代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程kx2−(2k+4)x+k−6=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(2k+4)2−4k(k−6)>0，且k≠0，
解得：k>−25且k≠0；
(2)当k=1时，
原方程为x2−(2×1+4)x+1−6=0，
即x2−6x−5=0，
移项得：x2−6x=5，
配方得：x2−6x+9=5+9，
即(x−3)2=14，
直接开平方得：x−3=± 14
解得：x1=3+ 14，x2=3− 14．
【解析】(1)结合已知条件，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得k的取值范围；
(2)将k=1代入方程，利用配方法解方程即可．
本题考查一元二次方程的定义，根的判别式及配方法解一元二次方程，(1)中需特别注意二次项的系数不为0．
21.【答案】解：(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，
由题意可得：1.6(1+x)2=2.5，
解得：x=25%，x=−94(不合题意舍去)，
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；
(2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，
由题意可得：2.125+10a≤2.5(1+25%)，
解得：a≤0.1，
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
【解析】(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，由2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人，列出方程可求解；
(2)设5月份后10天日均接待游客人数是a万人，由增长率不会超过前两个月的月平均增长率，列出不等式，即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
22.【答案】解：(1)△ABC为等腰三角形，理由如下：
把x=−1代入方程得a+c−2b+a−c=0，则a=b，所以△ABC为等腰三角形；
(2)△ABC为直角三角形，理由如下：
根据题意得Δ=(2b)2−4(a+c)(a−c)=0，即b2+c2=a2，所以△ABC为直角三角形；
(3)∵△ABC为等边三角形，
∴a=b=c≠0，
∴方程化为2ax2+2ax=0，即x2+x=0，解得x1=0，x2=−1．
【解析】(1)把x=−1代入方程得a+c−2b+a−c=0，整理得a=b，从而可判断三角形的形状；
(2)根据判别式的意义得Δ=(2b)2−4(a+c)(a−c)=0，即b2+c2=a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
(3)利用等边三角形的性质得a=b=c，方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0，
∵无论k为何实数，2(k+1)2≥0，
∴2(k+1)2+7>0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
②由根与系数的关系得出x1+x2=2k+1，x1x2=12k2−2，
∵x1+x2=2x1x2+5
∴2k+1=2×(12k2−2)+5，
化简得k2−2k=0
解得k=0或k=2．
(3)∵m≠n时，则m，n是3x2+6x−5=0的两个不相等的实数根，
∴m+n=−2，mn=−53，
∴nm+mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn=(−2)2−2×(−53)−53=−225．
(1)根据韦达定理公式进行计算即可；
(2)①证明b2−4ac>0即可；②通过韦达定理表示出两根和，以及两根乘积，然后代入解方程即可；
(3)由题意可知m，n是3x2+6x−5=0的两个不相等的实数根，nm+mn=m2+n2mn=(m+n)2−2mnmn，然后利用韦达定理，表示出m+n以及mn，从而求得答案．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式，完全平方公式的变形计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．