2019-2020学年天津市南开区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2019-2020学年天津市南开区九年级上学期数学期末试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
故选C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
2. 以下说法合理的是（ ）
A. 小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B. 某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C. 某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D. 小明做了3次掷均匀硬币实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
【答案】D
【解析】
【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是是错误的，3次试验不能总结出概率，故选项A错误，
某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，故选项B错误，
某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，故选项C错误，
小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是，故选项D正确，
故选D．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．
3. 如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（ ）．
A 60°B. 50°C. 40°D. 20°
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的的大小.
【详解】解：连接，
∵为的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握．
4. 抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（ ）
A. 有两个交点B. 只有一个交点
C. 没有交点D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目中的函数解析式，可以求得该抛物线与x轴的交点坐标，从而可以解答本题．
【详解】∵y＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），
∴当y＝0时，x＝2或x＝3，
即抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），
故抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴有两个交点，
故选A．
【点睛】此题主要考查了二次函数性质，解答此题要明白函数y＝x2﹣5x+6与x轴的交点的坐标为y=0时方程x2﹣5x+6＝0的两个根．
5. 已知两个相似三角形的相似比为2∶3，较小三角形面积为12平方厘米，那么较大三角形面积为（ ）
A. 18平方厘米B. 8平方厘米C. 27平方厘米D. 平方厘米
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可解题
【详解】∵相似三角形面积比等于相似比的平方

故选C
【点睛】本题考查相似三角形的性质，根据根据相似三角形面积比等于相似比的平方列出式子即可
6. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：连接BO，CO，如图所示：
因为⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，
所以可得圆心角∠BOC=90°，
所以的长==，
故选B．
7. 若点A（x1，2），B（x2，5）都是反比例函数y=﹣图象上的点，则下列结论中正确的是（ ）
A. x1＜x2＜0B. x1＜0＜x2C. x2＜x1＜0D. x2＜0＜x1
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的解析式得出反比例函数y=﹣的图象在第二、四象限，求出点A（x1，2），B（x2，5）在第二象限的图象上，再根据反比例函数的性质判断即可．
【详解】∵反比例函数y=﹣中，k=﹣6＜0，
∴函数的图象在二、四象限，且y随x的增大而增大，
∵0＜2＜5
∴x1＜x2＜0，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
8. 正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，C两点，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D（如图），则四边形ABCD的面积为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】由正比例函数解析式与反比例函数解析式组成的方程组可得到A点和C点的坐标，然后根据题意即可求解．
【详解】解：解方程组 得
即：正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于两点的坐标分别为A（1，1）C（﹣1，﹣1）
所以D点的坐标为（﹣1，0），B点的坐标为（1，0）
因为，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D
所以，△ABD与△BCD均是直角三角形
则：S四边形ABCD＝BD•AD+BD•CD＝×2×1+×2×1＝2，
即：四边形ABCD的面积是2．
【点睛】此题主要考查函数解析式与方程之间的关系，正确理解他们的关系是解题关键．
9. 已知当x＞0时，反比例函数y＝的函数值随自变量的增大而减小，此时关于x的方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣1＝0的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】由反比例函数的增减性得到k＞0，表示出方程根的判别式，判断根的判别式的正负即可得到方程解的情况．
【详解】∵反比例函数y，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴k＞0，∴方程中，△＝=8k+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式，以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
10. 如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，下列说法中正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【详解】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′，
AO：OA′=1：2，
∴
故选C．
【点睛】本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
11. 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（ ）
cmB. 5cm
C. 3cmD. 10cm
【答案】B
【解析】
【分析】根据正六边形的性质和等腰三角形的性质以及解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB角AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝OA＝（cm），
∴AC＝2AN＝15（cm），
∴GH＝AC＝5（cm），
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题关键．
12. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣ ，结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③当x＜0时，y随x的增大而增大；
④＜0；
⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2．
其中正确的结论有（ ）
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及过特殊点时相应a、b、c之间的关系，进行综合判断即可．
【详解】解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣可得，
9a﹣3b+c＝0，﹣＝﹣，即a＝b，与x轴的另一个交点为（2，0），4a+2b+c＝0，
抛物线开口向下，a＜0，b＜0，
抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0，
所以，abc＞0，因此①正确；
由9a﹣3b+c＝0，而a＝b，
所以6a+c＝0，又a＜0，
因此3a+c＞0，所以②正确；
抛物线的对称轴为x＝﹣，a＜0，因此当x＜﹣时，y随x的增大而增大，
所以③不正确；
由于抛物线的顶点在第二象限，所以＞0，因此＜0，故④正确；
抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）（2，0），
因此当y＝﹣3时，相应的x的值应在（﹣3，0）的左侧和（2，0）的右侧，
因此m＜﹣3，n＞2，所以⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②④⑤，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系，从图象中获取有效信息是解答的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分．共18分）
13. 把二次函数y＝x2﹣4x+3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式是_____．
【答案】y＝（x﹣2）2﹣1．
【解析】
【分析】根据题意利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式即可．
【详解】解：y＝x2﹣4x+3＝（x2﹣4x+4）﹣4+3＝（x﹣2）2﹣1
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣1．
【点睛】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，注意掌握二次函数的解析式有三种形式：一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；顶点式：y=a（x-h）2+k；交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．
14. 从点，，，中任取一点，所取的点恰好在反比例函数的图象上的概率为_____．
【答案】．
【解析】
【分析】先依次判断M、N、E、F的坐标是否满足反比例函数的解析式，再根据概率公式求解即可.
【详解】解：∵，，，，，
∴N、F两个点在反比例函数的图象上，故所取的点在反比例函数的图象上的概率是．
故答案为．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点和简单概率事件的求解，属于基础题型，熟知反比例函数图象上点的坐标特点是解题的关键.
15. 下列y关于x的函数中，y随x的增大而增大的有_____．（填序号）
①y＝﹣2x+1，②y，③y＝（x+2）2+1（x＞0），④y＝﹣2（x﹣3）2﹣1（x＜0）
【答案】③④
【解析】
【分析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质即可一一判断.
【详解】解：y随x的增大而增大的函数有③④，
故答案为③④．
【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数、反比例函数的性质，解决本题的关键是熟练掌握一次函数,二次函数,反比例函数图像性质.
16. 如图，平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（﹣1，2），将△AOB绕点A顺时针旋转90°，点O的对应点D恰好落在双曲线y＝上，则k的值为_____．
【答案】-3．
【解析】
【分析】因为点D在双曲线y=上，求出点D的坐标即可，根据A（-1，2）和旋转，可以求出相应线段的长，根据相应线段的长转化为点的坐标，代入反比例函数的关系式即可．
【详解】解：过点D作DE⊥x轴，DF⊥AB，垂足为E、F，A（﹣1，2）
∵△AOB绕点A顺时针旋转90°
∴△AOB≌△ADC，∠BAC＝90°
又∵∠C＝∠ABO＝90°，
∴四边形ACEB是矩形，
∴AC＝DF＝EB＝AB＝2，CD＝BC＝AF＝1，
∴DE＝BF＝AB﹣AF＝2﹣1＝1，OE＝OB+BE＝2+1＝3，
∴D（﹣3，1）
∵点D恰好落在双曲线y＝上，
∴k＝（﹣3）×1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查了旋转的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征以及矩形的性质，合理地转化，将线段的长转化为点的坐标是关键所在．
17. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为 cm．
【答案】
【解析】
【分析】圆心为A，设半径为R，大正方形边长是2x，根据图形可得AE=BC=x，CE=2x，EF=DF=4，利用勾股定理列出方程求解，然后代入勾股定理计算即可得出结果．
【详解】解：如图所示，圆心为A，设半径为R，大正方形边长是2x
∵正方形的两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧，
∴AE=BC=x，CE=2x，
∵小正方形的面积为16cm2，
∴小正方形的边长为EF=DF=4，
由勾股定理得：
，
即，
解得：x=4，
，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查圆的基本性质及勾股定理解三角形，正方形的性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上．
（Ⅰ）线段AB的长为_____．
（Ⅱ）请利用网格，用无刻度的直尺在AB上作出点P，使AP=，并简要说明你的作图方法（不要求证明）．___________________________________．
【答案】 ①. 2 ②. 取格点M，N，连接MN交AB于P，则点P即为所求
【解析】
【详解】 (1)由勾股定理得AB=；
(2)∵AB，AP=，
∴,
∴ AP:BP=2:1.
取格点 M ， N ，连接 MN 交 AB 于 P ，则点 P 即为所求；
∵AM∥BN,
∴△AMP∽△BNP,
∴,
∵AM=2,BN=1,
∴,
∴P点符合题意.
故答案为取格点 M ， N ，连接 MN 交 AB 于 P ，则点 P 即为所求．
三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 在一个不透明的口袋里装有若干个除颜色外其余均相同的红、黄、蓝三种颜色的小球，其中红球2个，篮球1个，若从中任意摸出一个球，摸到球是红球的概率为．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合（不考虑红、黄球顺序）的概率．
【答案】（1）袋中黄球的个数1个；
（2）两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的概率为.
【解析】
【分析】（1）首先设袋中的黄球个数为x个，然后根据古典概率的知识列方程，求解即可求得答案；
（2）首先画树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，求其二者的比值即可．
【详解】（1）设袋中的黄球个数为x个，
∴，
解得：x=1，
经检验，x=1是原方程的解，
∴袋中黄球的个数1个；
（2）画树状图得：
，
∴一共有12种情况，两次摸到球颜色是红色与黄色这种组合的有4种，
∴两次摸到球的颜色是红色与黄色这种组合的概率为：=
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意方程思想的应用．
20. 若反比例函数y＝的图象经过点A(﹣2，3)和点B(4，m)．
（1）m的值为 ；
（2）直接写出当﹣3＜x＜﹣2时，y的取值范围： ；
（3）直接写出当﹣3＜x＜1时，y的取值范围： ；
（4）若直线y＝mx经过点A，直接写出不等式＞mx的解集： ．
【答案】（1）；（2） 2＜y＜3；（3） y＞2或y＜﹣6；（4）﹣2＜x＜0或x＞4
【解析】
【分析】（Ⅰ）由题意直接利用待定系数法将点A、B的坐标代入反比例函数表达式即可求解；
（Ⅱ）根据题意可得当x＝﹣3时，y＝=2，x=-2，y=3，由此进行分析即可求解；
（Ⅲ）根据题意可得当x=1时，y=-6，由此进行分析即可求解；
（Ⅳ）由题意根据直线y=mx经过点A、B，观察函数图象即可求解．
【详解】解：（Ⅰ）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：3＝，解得：k＝﹣6，
故反比例函数表达式为：y＝，
将点B坐标代入反比例函数表达式并解得：m＝，
故答案为：；
（Ⅱ）当x＝﹣3时，y＝＝2，x＝﹣2，y＝3，故y的取值范围为：2＜y＜3，
故答案为：2＜y＜3；
（Ⅲ）同理当x＝1时，y＝﹣6，故y的取值范围为：y＞2或y＜﹣6，
故答案为：y＞2或y＜﹣6；
（Ⅳ）直线y＝mx经过点A，3＝﹣2m，解得：m＝，
则直线y＝x，则直线过点B，
函数图象如下：
从图象看，故不等式＞mx的解集为：﹣2＜x＜0或x＞4，
故答案为：﹣2＜x＜0或x＞4．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，注意掌握当有两个函数的时候结合一次函数与方程思想进行分析．
21. 如图，在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝3，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D．求CD的长．
【答案】
【解析】
【分析】根据直角三角形性质，求出三角形斜边BC上的高；再根据AD平分∠BAC的性质，设 D到AB、AC上的距为h，结合，经计算从而得到答案．
【详解】∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4
∴
∴BC边上的高
∵AD平分∠BAC
∴点D到AB、AC上的距离相等，设为h
则
∴
∴
∵
∴
∴．
【点睛】本题考察了直角三角形、角平分线的知识；求解的关键是熟练掌握直角三角形、勾股定理、角平分线的性质，从而完成求解．
22. 已知点A、B在半径为1的⊙O上，直线AC与⊙O相切，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．
（Ⅰ）如图①，若∠OCA=60°，求OD的长；
（Ⅱ）如图②，OC与⊙O交于点E，若BE∥OA，求OD的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）如图①，先由切线得∠OAB+∠BAC=90°，再利用OC⊥OB的∠BOC=90°，然后根据对顶角相等和等腰三角形的形式可求解；
（2）先判断△OEB为等腰直角三角形，得到∠OBE=∠OEB=45°，然后根据平行线的性质可得∠DAC=∠ADC，可得AC=CD=1，OC=OA=，由此得解.
【详解】解：（1）∵AC与⊙O相切，∴∠OAC=90°．
∵∠OCA=60°，∴∠AOC=30°．
∵OC⊥OB，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°．
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴OD=AD，∠DAC=60°∴AD=CD=AC．
∵OA=1，∴OD=AC=OA•tan∠AOC=．
（2）∵OC⊥OB，∴∠OBE=∠OEB=45°．
∵BE∥OA，∴∠AOC=45°，∠ABE=∠OAB，
∴OA=AC，∠OAB=∠OBA=22.5°，
∴∠ADC=∠AOC+∠OAB=67.5°．
∵∠DAC=90°﹣∠OAB=67.5°=∠ADC，
∴AC=CD．∵OC==，
∴OD=OC﹣CD=﹣1．
23. 某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，如果该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元(x为整数)时，月销售利润为y元.
(1)分析数量关系填表：
(2)求y与x之间的函数解析式和x的取值范围
(3)当售价x(元/件)定为多少时，商场每月销售这种商品所获得的利润y(元)最大？最大利润是多少？
【答案】(1)180﹣10x；(2)y＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数)；(3)每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元.
【解析】
【分析】(1)由数量关系表可知当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10件，由此填空即可；
(2)由销售利润＝每件商品的利润×(180﹣10×上涨的钱数)可得函数解析式，根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值范围；
(3)根据二次函数的性质求出最值即可.
【详解】解：(1)由表格可得：当每件商品的售价每上涨1元时，则月销售量减少10件，
所以当每件商品的售价上涨x元(x为整数)时，月销售量为180﹣10x，
故答案为180﹣10x；
(2)由题意可知：y＝(30﹣20+x)(180﹣10x)＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数)；
(3)由(2)知，y＝﹣10x2+80x+1800(0≤x≤5，且x为整数).
∵﹣10＜0，
∴当x＝＝4时，y最大＝1960元；
∴当每件商品的售价为34元时，商场每月销售这种商品所获得的利润最大，为1960元.
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝时取得.
24. 在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，），点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图1，A'B'恰好经过点A时，求此时旋转角α的度数，并求出点B'的坐标；
（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，求证：AA'⊥BB'；
（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．
【答案】（Ⅰ）α＝60°，B'（3，）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为﹣2．
【解析】
【分析】（Ⅰ）作辅助线,先根据点A（2,0）,点B（0,）,确定∠ABO＝30°,证明△AOA'是等边三角形,得旋转角α＝60°,证明△COB'是30°的直角三角形,可得B'的坐标;
（Ⅱ）依据旋转的性质可得∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',即可得出∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α）,再根据∠BOA'＝90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,即可得到∠BPA'＝90°,即AA'⊥BB';
（Ⅲ）作AB的中点M（1,）,连接MP,依据点P的轨迹为以点M为圆心,以MP＝AB＝2为半径的圆,即可得到当PM∥y轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.
【详解】解：（Ⅰ）如图1，过B'作B'C⊥x轴于C,
∵OA＝2,OB＝2,∠AOB＝90°,
∴∠ABO＝30°,∠BAO＝60°,
由旋转得：OA＝OA',∠A'＝∠BAO＝60°,
∴△OAA'是等边三角形,
∴α＝∠AOA'＝60°,
∵OB＝OB'＝2,∠COB'＝90°﹣60°＝30°,
∴B'C＝OB’＝,
∴OC＝3,
∴B'（3,）,
（Ⅱ）证明：如图2,∵∠BOB'＝∠AOA'＝α,OB＝OB',OA＝OA',
∴∠OBB'＝∠OA'A＝（180°﹣α）,
∵∠BOA'＝90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,
∴∠BPA'＝360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）＝90°,
即AA'⊥BB';
（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为-2．理由是：
如图，作AB的中点M（1,）,连接MP,
∵∠APB＝90°,
∴点P的轨迹为以点M为圆心,以MP＝AB＝2为半径的圆,除去点（2,2）,
∴当PM⊥x轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2．
【点睛】本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,含30°角的直角三角形的性质,四边形内角和以及圆周角定理的综合运用,解决问题的关键是判断点P的轨迹为以点M为圆心,以MP为半径的圆．
25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知，P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值；
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），直线l的表达式为：；（2）最大值：18；（3）存在，M的坐标为：或或或．
【解析】
【分析】（1）将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；
（2），即可求解；
（3）分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．
【详解】解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，
故直线l的表达式为：，
将点A、D的坐标代入抛物线表达式，
同理可得抛物线的表达式为：；
（2）直线l的表达式为：，则直线l与x轴的夹角为，
即：则，
设点P坐标为、则点，
，故有最大值，
当时，其最大值为18；
（3）由题意得，，
①当NC是平行四边形的一条边时，
设点P坐标为、则点，
由题意得：，即：，
解得或0或4（舍去0，此时M和C重合），
则点M坐标为或或；
②当NC是平行四边形的对角线时，
则NC的中点坐标为，
设点P坐标为、则点，
N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，
即：，
解得：或（舍去0，此时M和C重合），
故点；
故点M的坐标为：或或或．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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