2024年浙江省嘉兴市秀洲区实验中学数学九年级第一学期开学经典试题【含答案】

这是一份2024年浙江省嘉兴市秀洲区实验中学数学九年级第一学期开学经典试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）我校开展了主题为“青春·梦想”的艺术作品征集活动、从八年级某六个班中收集到的作品数量（单位：件）统计如图，则这组数据的众数、中位数、平均数依次是（ ）
A．48，48，48B．48，47.5，47.5
C．48，48，48.5D．48，47.5，48.5
2、（4分）如图，Rt△ABC中，，，，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为（ ）
A．2或3.5B．2或3.2C．2或3.4D．3.2或3.4
3、（4分）要说明命题“若 > ，则 >”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A．B．
C．D．
4、（4分）方程中二次项系数一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，-3，1B．-1，-3，1C．-3，3，-1D．1，3，-1
5、（4分）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的2015倍，则变化后分式的值（ ）
A．扩大为原来的2015倍B．缩小为原来的
C．保持不变D．以上都不正确
6、（4分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（ ）
A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α
7、（4分）若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的整数a的值之积为（ ）
A．28B．﹣4C．4D．﹣2
8、（4分）下列交通标志图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）关于x的方程有解，则k的范围是______．
10、（4分）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a=________．
11、（4分）已知，，则的值为___________．
12、（4分）如图,在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE,AC、BC分别平分∠BAD和∠ABE．点C在线段DE上．若AD=5，BE=2，则AB的长是_____．
13、（4分）如图，已知：在▱ABCD中，AB=AD=2，∠DAB=60°，F为AC上一点，E为AB中点，则EF+BF的最小值为 ．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∠MDN的两边分别与AB，AC相交于M，N两点，且∠MDN+∠BAC＝180°．
（1）求证AE＝AF；
（2）若AD＝6，DF＝2，求四边形AMDN的面积．
15、（8分） “2019宁波国际山地马拉松赛”于2019年3月31日在江北区举行，小林参加了环绕湖8km的迷你马拉松项目（如图1），上午8：00起跑，赛道上距离起点5km处会设置饮水补给站，在比赛中，小林匀速前行，他距离终点的路程s（km）与跑步的时间t（h）的函数图象的一部分如图2所示
（1）求小林从起点跑向饮水补给站的过程中与t的函数表达式
（2）求小林跑步的速度，以及图2中a的值
（3）当跑到饮水补给站时，小林觉得自己跑得太悠闲了，他想挑战自己在上午8：55之前跑到终点，那么接下来一段路程他的速度至少应为多少？
16、（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交C于F，EG⊥AB于G，请判断四边形GECF的形状，并证明你的结论．
17、（10分）已知：四边形ABCD，E，F，G，H是各边的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）假如四边形ABCD是一个矩形，猜想四边形EFGH是什么图形？并证明你的猜想．
18、（10分）（1）因式分解
（2）解不等式组
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）▱ABCD中，已知点A(﹣1，0)，B(2，0)，D(0，1)，则点C的坐标为________.
20、（4分）以1，1，为边长的三角形是___________三角形．
21、（4分）如图，在△ABC中，AB=6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME=DM．当AM⊥BM时，则BC的长为____．
22、（4分）等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为_____．
23、（4分）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为_______________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）解方程：．
25、（10分）如图所示，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．
26、（12分）如图，点E，F在矩形的边AD，BC上，点B与点D关于直线EF对称．设点A关于直线EF的对称点为G．
（1）画出四边形ABFE关于直线EF对称的图形；
（2）若∠FDC＝16°，直接写出∠GEF的度数为 ；
（3）若BC＝4，CD＝3，写出求线段EF长的思路．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据众数、中位数的定义和加权平均数公式分别进行解答即可．
【详解】
解：这组数据48出现的次数最多，出现了3次，则这组数据的众数是48；
把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是（48+48）÷2=48，则中位数是48；
这组数据的平均数是：（47×2+48×3+50）÷6=48，
故选：A．
本题考查了众数、中位数和平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．
2、A
【解析】
求出AB=2BC=4cm，分两种情况：①当∠EDB=∠ACB=90°时，DE∥AC，△EBD∽△ABC，得出AE=BE= AB=2cm，即可得出t=2s；②当∠DEB=∠ACB=90°时，证出△DBE∽△ABC，得出∠BDE=∠A=30°，因此BE=BD=cm，得出AE=3.5cm，t=3.5s；即可得出结果．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
∴AB=2BC=4cm，
分两种情况：
①当∠EDB=∠ACB=90°时，
DE∥AC，所以△EBD∽△ABC，
E为AB的中点，AE=BE=AB=2cm，
∴t=2s；
②当∠DEB=∠ACB=90°时，
∵∠B=∠B，
∴△DBE∽△ABC，
∴∠BDE=∠A=30°，
∵D为BC的中点，
∴BD=BC=1cm，
∴BE=BD=0.5cm，
∴AE=3.5cm，
∴t=3.5s；
综上所述，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为2或3.5，
故选：A.
本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论．
3、D
【解析】
作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可．
【详解】
解：A、a=3，b=2，满足a＞b，且满足|a|＞|b|，不能作为反例，故错误；
B、a=4，b=-1，满足a＞b，且满足|a|＞|b|，不能作为反例，故错误；
C、a=1，b=0；满足a＞b，且满足|a|＞|b|，不能作为反例，故错误；
D、a=-1，b=-2，满足a＞b，但不满足|a|＞|b|，∴a=-1，b=-2能作为证明原命题是假命题的反例，
故选：D．
本题考查了命题与定理；熟记：要判断一个命题是假命题，举出一个反例就可以．
4、A
【解析】
先把方程化为一般形式，然后可得二次项系数，一次项系数及常数项.
【详解】
解：把方程转化为一般形式得：x2−3x＋1＝0，
∴二次项系数，一次项系数和常数项分别是1，−3，1．
故选：A．
一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
5、B
【解析】
将原式中的x、y分别用2015x、2015y代替，化简，再与原分式进行比较．
【详解】
解：∵分式中的x，y的值同时扩大为原来的2015倍，
∴原式变为：=
=
∴缩小为原来的
故选B．
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
6、C
【解析】
分析：根据旋转的性质和四边形的内角和是360°，可以求得∠CAD的度数，本题得以解决．
详解：由题意可得，
∠CBD＝α，∠ACB＝∠EDB，
∵∠EDB＋∠ADB＝180°，
∴∠ADB＋∠ACB＝180°，
∵∠ADB＋∠DBC＋∠BCA＋∠CAD＝360°，∠CBD＝α，
∴∠CAD＝180°−α，
故选C．
点睛：本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7、B
【解析】
解：不等式组整理得：，由不等式组无解，得到3a﹣2≤a+2，解得：a≤2，分式方程去分母得：ax+5=﹣3x+15，即（a+3）x=10，由分式方程有正整数解，得到x=且x≠5，即a+3=1，5，10，解得：a=﹣2，2，1．综上，满足条件a的为﹣2，2，之积为﹣4，
故选B．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8、C
【解析】
根据中心对称图形的概念，分别判断即可.
【详解】
解：A、B、D不是中心对称图形，C是中心对称图形.
故选C.
点睛：本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、k≤5
【解析】
根据关于x的方程有解，当时是一次方程，方程必有解，时是二元一次函数，则可知△≥0，列出关于k的不等式，求得k的取值范围即可．
【详解】
解：∵方程有解
①当时是一次方程，方程必有解，
此时
②当时是二元一次函数，此时方程有解
∴△=16-4（k-1）≥0
解得：k≤5.
综上所述k的范围是k≤5.
故答案为：k≤5.
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
10、1
【解析】
根据同类二次根式可知，两个二次根式内的式子相等，从而得出a的值．
【详解】
∵最简二次根式与是同类二次根式
∴1+a=4a-2
解得：a=1
故答案为：1．
本题考查同类二次根式的应用，解题关键是得出1+a=4a-2．
11、1
【解析】
将写成(x+y)(x-y)，然后利用整体代入求值即可．
【详解】
解：∵，，
∴，
故答案为：1．
本题考查了平方差公式的应用，将写成(x+y)(x-y)形式是代入求值在关键．
12、1
【解析】
过点C作CF⊥AB于F，由角平分线的性质得CD=CF，CE=CF，于是可证△ADC≌△AFC，△CBE≌△CBF，可得AD=AF，BE=BF，即可得结论．
【详解】
解：如图，过点C作CF⊥AB于F，
∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，
∴CD=CF，CE=CF，
∵AC=AC，BC=BC，
∴△ADC≌△AFC，△CBE≌△CBF，
∴AF=AD=5，BF=BE=2，
∴AB=AF+BF=1．
故答案是：1．
本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
13、．
【解析】
试题分析：首先菱形的性质可知点B与点D关于AC对称，从而可知BF=DF，则EF+BF=EF+DF，当点D、F、E共线时，EF+BF有最小值．
解：∵▱ABCD中，AB=AD，
∴四边形ABCD为菱形．
∴点D与点B关于AC对称．
∴BF=DF．
连接DE．
∵E是AB的中点，
∴AE=1．
∴=
又∵∠DAB=60°，
∴cs∠DAE=．
∴△ADE为直角三角形．
∴DE===，
故答案为：．
【点评】本题主要考查的是最短路径、平行四边形的性质以及菱形的性质和判定，由轴对称图形的性质将EF+FB的最小值转化为DF+EF的最小值是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）详见解析；（2）
【解析】
（1）依据HL判定Rt△ADE≌Rt△ADF，即可得出AE=AF；
（2）判定△DEM≌△DFN，可得S△DEM=S△DFN，进而得到S四边形AMDN=S四边形AEDF，求得S△ADF=AF×DF=2，即可得出结论．
【详解】
（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
又∵AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF；
（2）∵∠MDN+∠BAC＝180°，
∴∠AMD+∠AND＝180°，
又∵∠DNF+∠AND＝180°
∴∠EMD＝∠FND，
又∵∠DEM＝∠DFN，DE＝DF，
∴△DEM≌△DFN，
∴S△DEM＝S△DFN，
∴S四边形AMDN＝S四边形AEDF，
∵AD＝6，DF＝2 ，
∴Rt△ADF中，AF＝
∴
∴
本题主要考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的性质定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
15、（1）；（2）速度为：km/h，a＝；（3）接下来一段路程他的速度至少为13.5km/h．
【解析】
（1）根据图象可知，点（0，8）和点（，5）在函数图象上，利用待定系数法求解析式即可；
（2）由题意，可知点（a，3）在（1）中的图象上，将其代入求解即可；
（3）设接下来一段路程他的速度为xkm/h，利用
【详解】
解：（1）设小林从起点跑向饮水补给站的过程中s与t的函数关系式为：s＝kt+b，
（0，8）和（，5）在函数s＝kt+b的图象上，
∴，解得：，
∴s与t的函数关系式为：；
（2）速度为：（km/h），
点（a，3）在上，
∴，解得：；
（3）设接下来一段路程他的速度为xkm/h，
根据题意，得：x≥3，
解得：x≥13.5
答：接下来一段路程他的速度至少为13.5km/h．
本题主要考查一次函数的应用，解决第（3）题的关键是明确，要在8点55之前到达，需满足在接下来的路程中，速度×时间≥路程．
16、四边形GECF是菱形，理由详见解析．
【解析】
试题分析：根据全等三角形的判定定理HL进行证明Rt△AEG≌Rt△AEC（HL），得到GE=EC；根据平行线EG∥CD的性质、∠BAC平分线的性质以及等量代换推知∠FEC=∠CFE，易证CF=CE；从而根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判断．
试题解析：四边形GECF是菱形，理由如下：
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥EC．
又∵EG⊥AB，AE是∠BAC的平分线，
∴GE=CE．
在Rt△AEG与Rt△AEC中，
，
∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL），
∴GE=EC，
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥AB，
又∵EG⊥AB，
∴EG∥CD，
∴∠CFE=∠GEA，
∵Rt△AEG≌Rt△AEC，
∴∠GEA=∠CEA，
∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
∴GE=EC=FC，
又∵EG∥CD，即GE∥FC，
∴四边形GECF是菱形．
考点：菱形的判定．
17、（1）见解析；（2）四边形EFGH是菱形，理由见解析
【解析】
（1）根据三角形中位线定理可EF∥AC∥HG，HE∥BD∥GF，即可解答.
（2）根据菱形是邻边相等的平行四边形，证明EF＝AC＝BD＝EH，即可解答.
【详解】
（1）∵E，F，G，H是各边的中点，
∴EF∥AC∥HG，HE∥BD∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形；
（2）四边形ABCD是一个矩形，四边形EFGH是菱形；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴EF＝AC＝BD＝EH，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
此题考查平行四边形的判定，菱形的判定，解题关键在于利用三角形中位线定理进行求证，掌握各判定定理.
18、（1）；（2）.
【解析】
（1）对原式进行整理再利用平方差公式分解因式得出即可.
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】
（1）解：原式
（2）解1式得：
解2式得：
∴
此题主要考查了公式法分解因式及解不等式组,熟练应用平方差公式与掌握解不等式的口诀是解题关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（3，1）．
【解析】
∵四边形ABCD为平行四边形．
∴AB∥CD，又A，B两点的纵坐标相同，∴C、D两点的纵坐标相同，是1，又AB＝CD＝3，
∴C(3，1)．
20、等腰直角
【解析】
根据等腰三角形和直角三角形的性质以及判定定理进行判断即可．
【详解】
∵
∴是等腰三角形
∵
∴是直角三角形
∴该三角形是等腰直角三角形
故答案为：等腰直角．
本题考查了等腰三角形和直角三角形的证明问题，掌握等腰三角形和直角三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
21、1
【解析】
根据直角三角形的性质（斜边上的中线等于斜边的一半），求出DM=AB=3，即可得到ME=1，根据题意求出DE=DM+ME=4，根据三角形中位线定理可得BC=2DE=1．
【详解】
解：∵AM⊥BM，点D是AB的中点，
∴DM=AB=3，
∵ME=DM，
∴ME=1，
∴DE=DM+ME=4，
∵D是AB的中点，DE∥BC，
∴BC=2DE=1，
故答案为：1．
点睛：本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
22、60°
【解析】
如图，等边三角形ABC中，根据等边三角形的性质知，底边上的高与底边上的中线，顶角的平分线重合，所以∠1=∠2=∠ABC=30°，再根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
如图，
∵等边三角形ABC，AD、BE分别是中线，
∴AD、BE分别是角平分线，
∴∠1=∠2=∠ABC=30°，
∴∠3=∠1+∠2=60°．
本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
23、x1＋61＝(10－x)1
【解析】
根据题意画出图形，由题意则有AC=x，AB=10﹣x，BC=6，根据勾股定理即可列出关于x的方程.
【详解】
根据题意画出图形，折断处离地面的高度为x尺，则AB=10﹣x，BC=6，
在Rt△ABC中，AC1+BC1=AB1，即x1+61=(10﹣x)1，
故答案为x1+61=(10﹣x)1．
本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、
【解析】
分析：观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，最后检验．
解：方程两边同乘以，得：
化简得：，
解得．
经检验，是原方程的根．
∴原方程的解为．
25、△ABC和△DEF相似，理由详见解析
【解析】
首先根据小正方形的边长，求出△ABC和△DEF的三边长，然后判断它们是否对应成比例即可．
【详解】
△ABC和△DEF相似，理由如下：
由勾股定理，得：AC＝，AB＝2，BC＝5，
DF＝2，DE＝4， EF＝2，
，
所以，△ABC∽△DEF.
本题考查相似三角形的判定，找准对应边成比例即可.
26、（1）见解析；（2）127°；（3）见解析.
【解析】
（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用翻折变换的性质结合平行线的性质得出∠1度数进而得出答案；
（3）利用翻折变换的性质结合勾股定理得出答案．
【详解】
（1）如图所示：
（2）∵∠FDC=16°，
∴∠DFC=74°，
由对称性得，∠1=∠2=
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠GEF=180°-53°=127°；
故答案为：127°．
（3）思路：
a．连接BD交EF于点O．
b．在Rt△DFC中，设FC=x，则FD=4-x，由勾股定理，求得FD长；
c．Rt△BDC中，勾股可得BD=5，由点B与点D的对称性可得OD的长；
d．在Rt△DFO中，同理可求OF的长，可证EF=2OF，求得EF的长．
此题主要考查了翻折变换以及矩形的性质，正确掌握翻折变换的性质是解题关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人