高考数学一轮复习第十章第五节条件概率与全概率公式学案

这是一份高考数学一轮复习第十章第五节条件概率与全概率公式学案，共15页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

自查自测
知识点 条件概率与全概率公式
1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.( × )
(2)P(A)＝P(A)PBA+PAPBA.( )
× 解析：P(B)＝P(A)PBA+PAPBA.
(3)P(A)＝P(BA)＋PBA.( )
× 解析：P(B)＝P(BA)＋PBA.
2．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )
A．18B．14
C．25D．12
B 解析：由题意可知，n(A)＝C32＋C22＝4，n(AB)＝C22＝1，P(B|A)＝nABnA＝14.
3．质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次击打，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次击打后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次再实施击打也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为( )
A．0.4B．0.16
C．0.68D．0.17
C 解析：设Ai表示“第i次击打后该构件没有受损”，i＝1，2，则由已知可得P(A1)＝0.85，P(A2|A1)＝0.80，因此由乘法公式可得P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.85×0.80＝0.68，即该构件通过质检的概率为0.68.
4．(教材改编题)设A⊆B，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，则P(B|A)＝________，P(A|B)＝________．
1 0.5 解析：(方法一)因为A⊆B，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，
则A发生B一定发生，所以P(B|A)＝1，P(A|B)＝0.30.6＝0.5.
(方法二)由题可得P(AB)＝P(A)＝0.3，
由条件概率公式得P(B|A)＝PABPA＝PAPA＝1，P(A|B)＝PABPB＝PAPB＝0.30.6＝0.5.
5．智能化的社区食堂悄然出现，某社区有智能食堂A和人工食堂B，居民甲第一天随机地选择一食堂用餐，如果第一天去A食堂，那么第二天去A食堂的概率为0.6；如果第一天去B食堂，那么第二天去A食堂的概率为0.5，则居民甲第二天去A食堂用餐的概率为________．
0.55 解析：由题意得，居民甲第二天去A食堂用餐的概率p＝0.5×0.6＋0.5×0.5＝0.55.
核心回扣
1．条件概率
注意点：
P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率．
2.条件概率的性质
设P(A)>0，则
(1)P(Ω|A)＝1；
(2)任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1；
(3)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
(4)设B和B互为对立事件，则PBA＝1－P(B|A)．
3.概率的乘法公式
由条件概率的定义知，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)，我们称该式为概率的乘法公式．
4.全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝∑ni=1P(Ai)P(B|Ai)，我们称该公式为全概率公式．
【常用结论】
1．已知P(A)＞0，P(B)＞0，P(B|A)＝P(B)，则P(A|B)＝P(A)．
2．记P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率，P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，则P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)．
应用1 已知P(B|A)＝P(B)且PA＝23，则PAB＝________．
13 解析：因为PBA＝P(B)，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以A，B相互独立．故P(A|B)＝P(A)＝1－PA＝1－23＝13.
应用2 冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，将会大大地方便人们的出行．某科研人员制作石墨烯发热膜的过程分为三步，且第一步成功的概率为12，若第一步成功，第二步失败的概率为710，若前两步成功，第三步失败的概率为910，则这位科研人员在一次工作中成功制作出石墨烯发热膜的概率为________．
3200 解析：记事件Ai 表示“制作石墨烯发热膜第i 步时失败”，i＝1，2，3，事件B 表示“成功制作出石墨烯发热膜”．因为B＝A1A2A3 ，所以P(B)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3)P(A2A3)＝12×1－710×1－910＝3200.
条件概率
【例1】(1)(2023·全国甲卷)有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部．若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为( )
A．0.8B．0.4
C．0.2D．0.1
A 解析：同时报名两个俱乐部的人数为50＋60－70＝40，
记“报足球俱乐部”为事件A，“报乒乓球俱乐部”为事件B，
则n(A)＝50，n(B)＝60，n(AB)＝40，所以P(B|A)＝nABnA＝45＝0.8.故选A．
(2)(2024·许昌模拟)2022年卡塔尔世界杯上，32支球队分成8个小组，每个小组的前两名才能出线，晋级到1/8决赛．某参赛队在开赛前预测：本队获得小组第一的概率为0.6，获得小组第二的概率为0.3；若获得小组第一，则1/8决赛获胜的概率为0.9，若获得小组第二，则1/8决赛获胜的概率为0.3.那么在已知该队小组出线的条件下，其1/8决赛获胜的概率为( )
A．0.54B．0.63
C．0.7D．0.9
C 解析：设该队小组出线为事件A，该队1/8决赛获胜为事件B，
则P(A)＝0.3＋0.6＝0.9，P(AB)＝0.6×0.9＋0.3×0.3＝0.63，
所以P(B|A)＝PABPA＝0.630.9＝0.7.故选C．
(3)已知随机事件A，B，P(A)＝13，P(B)＝14，PAB＝34，则PBA＝________．
716 解析：依题意得PAB＝PABPB＝34，所以P(AB)＝34P(B)＝34×14＝316，
故P(B|A)＝PABPA＝31613＝916，所以PBA＝1－P(B|A)＝716.
求条件概率的两种方法
1．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0.8B．0.75
C．0.6D．0.45
A 解析：设“第一天空气质量为优良”为事件A，“第二天空气质量为优良”为事件B，则P(A)＝0.75，P(AB)＝0.6，由题知P(B|A)＝PABPA＝＝0.8.故选A．
2．将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个6点”，则条件概率P(B|A)，P(A|B)分别等于( )
A．6091，12B．12，6091
C．2091，12D．12，2091
B 解析：由题意知，事件AB＝“三个点数都不同且至少出现一个6点”，
因为P(A)＝A6363＝120216＝59，P(B)＝63－5363＝91216，P(AB)＝C31·A5263＝60216＝518，
所以P(B|A)＝PABPA＝51859＝12，P(A|B)＝PABPB＝51891216＝6091.故选B．
全概率公式
【例2】现有编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的三个口袋，其中Ⅰ号口袋内装有两个1号球，一个2号球与一个3号球；Ⅱ号口袋内装有两个1号球与一个3号球；Ⅲ号口袋内装有三个1号球与两个2号球．现在先从Ⅰ号口袋内随机取一个球，放入编号与球上号码数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么？
解：记事件Ai，Bi分别表示第一次、第二次取到i号球，i＝1，2，3，依题意A1，A2，A3两两互斥，其和为Ω，并且P(A1)＝12，P(A2)＝P(A3)＝14，
P(B1|A1)＝12，PB1A2＝12，PB1A3＝12，PB2A1＝14，PB2A2＝14，
P(B2|A3)＝13，PB3A1＝14，PB3A2＝14，PB3A3＝16.
由全概率公式，得P(B1)＝∑3i=1P(Ai)P(B1|Ai)＝12×12+14×12+14×12＝12.
类似可以求出P(B2)＝1348，PB3＝1148.
故第二次取到1号球的概率最大．
[变式] 在本例中，若第二次取到1号球，问：它取自哪一个口袋的概率最大？
解：依题设知，第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号码数相同，则
P(A1|B1)＝PA1PB1A1PB1＝12×12×2＝12，
P(A2|B1)＝PA2PB1A2PB1＝14×12×2＝14，
P(A3|B1)＝PA3PB1A3PB1＝14×12×2＝14.
故在第二次取到1号球的条件下，它取自Ⅰ号口袋的概率最大．
1．利用全概率公式求概率的一般步骤
(1)找出条件事件里的某一个完备事件，分别命名为Ai；
(2)命名目标的概率事件为事件B；
(3)代入全概率公式求解．
2．使用全概率公式的注意点
(1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发生．
(2)如何用全概率公式：将一个复杂事件表示为几个彼此互斥事件的和．
(3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合．
1．某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为0.3，0.3，0.4，乘火车迟到的概率为0.2，乘轮船迟到的概率为0.3，乘飞机迟到的概率为0.4，则这个人从甲地到乙地迟到的概率是( )
A．0.16B．0.31
C．0.4D．0.32
B 解析：设事件A表示“乘火车”，事件B表示“乘轮船”，事件C表示“乘飞机”，事件D表示“迟到”，则P(A)＝0.3，P(D|A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(D|B)＝0.3，P(C)＝0.4，P(D|C)＝0.4.因为D＝(D∩A)∪(D∩B)∪(D∩C)，所以由全概率公式，得P(D)＝P(A)P(D|A)＋ P(B)P(D|B)＋ P(C)P(D|C)＝0.3×0.2＋0.3×0.3＋0.4×0.4＝0.31.故选B．
2．(2024·安庆模拟)设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%，35%，20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为________．
5% 解析：设事件A表示“取到的是一件次品”，事件B1，B2，B3 分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，则P(B1)＝0.45，P(B2)＝0.35，P(B3)＝0.2.由于P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.03，设P(A|B3)＝m，则由全概率公式，得P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.45×0.02＋0.35×0.03＋0.2×m＝0.029 5，解得m＝0.05.故推测丙车间的次品率为5%.
课时质量评价(六十五)
1．已知盒中装有3只螺口灯泡与9只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要1只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取1只不放回，则在他第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为( )
A．14B．944
C．911D．79
C 解析：(方法一)因为电工师傅每次从中任取1只不放回，且第1次取到的是螺口灯泡，所以第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率等价于从2只螺口灯泡与9只卡口灯泡中抽取1只，恰为卡口灯泡的概率，即为92+9＝911.
(方法二)设事件A为第1次取到的是螺口灯泡，事件B为第2次取到的是卡口灯泡，则在第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为P(B|A)＝PABPA＝3×912×11312＝911.故选C．
2．若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分的面积表示( )
A．事件A发生的概率
B．事件B发生的概率
C．事件B不发生的条件下事件A发生的概率
D．事件A，B同时发生的概率
A 解析：由题意可得，题图所示的涂色部分的面积为PABPB+1－PBPAB＝P(AB)＋P(B)PAB＝P(AB)＋P(AB)＝P(A).故选A．
3．(2024·合肥模拟)某学校高三(1)班至(4)班举办研学游活动，有4个地方可供选择，且每班只能去1个地方．设事件M＝“4个班去的地方各不相同”，N＝“(1)班独自去1个地方”，则P(M|N)＝( )
A．29B．14
C．13D．49
A 解析：由题意得，n(N)＝C41×33＝108，n(MN)＝A44＝24，所以P(M|N)＝nMNnN＝24108＝29.
4．已知A，B为两个随机事件，0