2024-2025学年江西省抚州市高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江西省抚州市高三（上）第一次月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={x|y=lg(2x−3)}，N={y|y>1}，则M∩N=( )
A. (−1,32)B. (1,32)C. (1,+∞)D. (32,+∞)
2.某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查7名同学在某周周日校园跑的时长(单位：分钟)，得到统计数据如下：35，30，50，90，70，85，60.则该组数据的中位数和平均数分别为( )
A. 60，58B. 60，60C. 55，58D. 55，60
3.已知z=a+i1+i(a∈R)为实数，则|2z+zi|=( )
A. 3B. 2C. 1D. 5
4.曲线y=ex+sin2x在点(0,1)处的切线方程为( )
A. 3x+2y−2=0B. 2x−2y+1=0C. 3x−y+1=0D. 3x−2y+2=0
5.已知锐角α，β满足sinα+sinαsinβ=csαcsβ，则2α+β=( )
A. π2B. π3C. π4D. π
6.过点P(1,−3)的直线l与曲线M：(x−2)2+y2=1(2≤x≤3)有两个交点，则直线l斜率的取值范围为( )
A. (23,1]B. (43,2]C. (23,2]D. (23,4]
7.已知椭圆T：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，过F且斜率为1的直线l与T交于A，B两点，若线段AB的中点M在直线x+2y=0上，则T的离心率为( )
A. 24B. 53C. 35D. 22
8.如图，在平行四边形ABCD中，tan∠BAD=7,AB=5 2,AD=5,E为边BC上异于端点的一点，且AE⋅DE=45，则sin∠CDE=( )
A. 210
B. 725
C. 513
D. 14
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线C：x23−m−y2m+6=1，则( )
A. m的取值范围是(−6,3)
B. m=1时，C的渐近线方程为y=± 72x
C. C的焦点坐标为(−3,0)，(3,0)
D. C可以是等轴双曲线
10.下列函数中，存在数列{an}使得a1，a2，a3和f(a1)，f(a2)，f(a3)都是公差不为0的等差数列的是( )
A. f(x)=tanxB. f(x)=lg2xC. f(x)=x2024D. f(x)=lg1+x1−x
11.已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(2+x)+g(−x)=1，则( )
A. f(x)的图象关于点(2,1)对称B. f(x)是以8为周期的周期函数
C. g(x+8)=g(x)D. k=12024f(4k−2)=2025
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式(x−y)6的展开式中x4y2的系数为______．
13.已知函数f(x)=2024sin(2x−π6)在区间(π6,m)内恰有两个极值点，则实数m的取值范围为______．
14.已知三个正整数的和为8，用X表示这三个数中最小的数，则X的期望EX= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2024年全国田径冠军赛暨全国田径大奖赛总决赛于6月30日在山东省日照市落幕.四川田径队的吴艳妮以12秒74分的成绩打破了100米女子跨栏的亚洲纪录，并夺得了2024年全国田径冠军赛女子100米跨栏决赛的冠军，通过跑道侧面的高清轨道摄像机记录了该运动员时间x(单位：s)与位移y(单位：m)之间的关系，得到如下表数据：
画出散点图观察可得x与y之间近似为线性相关关系．
(1)求出y关于x的线性回归方程；
(2)记e i=yi−y i=yi−b xi−a ，其中yi为观测值，y i为预测值，e i为对应(xi,yi)的残差，求前3项残差的和．
参考数据：i=15xi2=45.1,i=15xiyi=434.7，参考公式：b =i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx2−,a =y−−b x−．
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=4ccsA4−a．
(1)证明：b=4csC；
(2)若C=π6,c= 3，求△ABC的周长．
17.(本小题15分)
已知直线l：x=my+n交抛物线C：y2=4x于M，N两点，F为C的焦点，且FM⊥FN．
(1)证明：m2+n>0；
(2)求n的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，在棱长为4的正方体ABCD−EFGH中，将侧面CDHG沿CG逆时针旋转角度θ至平面CD1H1G，其中θ∈(0,π2)，点P是线段EF的中点．
(1)当tan∠D1PH1=23时，求四棱锥P−CD1H1G的体积；
(2)当直线DH1与平面CD1H1G所成的角为π6时，求csθ的值．
19.(本小题17分)
定义：若对于任意n∈N∗，数列{xn}，{yn}满足：①xn≠yn；②f(xn)=f(yn)，其中f(x)的定义域为D，xn，yn∈D，则称{xn}，{yn}关于f(x)满足性质G．
(1)请写出一个定义域为R的函数f(x)，使得{n}，{−n}关于f(x)满足性质G；
(2)设g(x)=x+kx(x>0,k>0)，若{xn}，{yn}关于g(x)满足性质G，证明：xn+yn>2 k；
(3)设ℎ(x)=eπ2+x+e−π2−x−sinx(x∈R)，若{xn}，{yn}关于ℎ(x)满足性质G，求数列{xn+yn}的前n项和．
参考答案
1.D
2.B
3.D
4.C
5.A
6.B
7.D
8.B
9.ACD
10.AD
11.ABC
12.15
13.(5π6,4π3]
14.97
15.解：(1)依题意可得x−=15×(2.8+2.9+3+3.1+3.2)=3，
y−=15×(24+25+29+32+34)=28.8，
b =i=15xiyi−5x−y−i=1ixi2−5x−2=434.7−5×3×28.845.1−5×32=，
a =28.8−27×3=−52.2，
所以y关于x的线性回归方程为y =27x−52.2．
(2)根据(1)得到y 1=27×2.8−52.2=23.4,e 1=24−23.4=0.6；
y 2=27×2.9−52.2=26.1,e 2=25−26.1=−1.1；
y 3=27×3−52.2=28.8,e 3=29−28.8=0.2，
所以i=13e i=0.6−1.1+0.2=−0.3．
16.(1)证明：由b=4ccsA4−a，整理可得：ab=4b−4ccsA，
由正弦定理得bsinA=4sinB−4sinCcsA=4sin(A+C)−4sinCcsA=4sinAcsC，
因为sinA≠0，
所以b=4csC；
(2)因为C=π6，所以b=4csC=2 3，
而C=π6,c= 3，由余弦定理得c2=b2+a2−2abcsπ6，
即3=12+a2−6a，解得a=3，
所以△ABC的周长为3+3 3．
17.(1)证明：由题意联立y2=4xx=my+n，
得y2−4my−4n=0，
又直线l：x=my+n交抛物线C：y2=4x于M，N两点，
所以Δ=16m2+16n>0，
所以m2+n>0；
(2)解：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由(1)得y1+y2=4m，y1y2=−4n，
因为FM⊥FN，F(1,0)，
所以FM⋅FN=0，
即(x1−1)(x2−1)+y1y2=0，
即(my1+n−1)(my2+n−1)+y1y2=0，
整理得(m2+1)y1y2+m(n−1)(y1+y2)+(n−1)2=0，
将y1+y2=4m，y1y2=−4n代入并整理得，4m2=n2−6n+1，4(m2+n)=(n−1)2>0，
所以n≠1，且n2−6n+1≥0，
解得：n≥3+2 2或n≤3−2 2，
即n的取值范围为(−∞,3−2 2]∪[3+2 2,+∞)．
18.解：(1)由题意D1H1⊥平面EFGH，PH1⊂平面EFGH，
所以D1H1⊥PH1，又因为tan∠D1PH1=23，
得D1H1PH1=23，所以PH1=6，
因为PG=2 5,GH1=4,PH1=6，
所以PG2+GH12=PH12，
故PG⊥GH1，又D1H1⊥PG，GH1∩D1H1=H1，
故PG⊥平面CD1H1G，
所以V四棱锥P−CD1H1G=13×4×4⋅PG=32 53．
(2)如图，易知GH，FG，GC两两垂直，以G为原点，GH,FG,GC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

由题知∠HGH1=θ，则G(0,0,0)，C(0,0,4)，H1(4csθ,4sinθ,0)，D(4,0,4)，
故GC=(0,0,4),GH1=(4csθ,4sinθ,0)，
设平面CD1H1G的一个法向量为m=(x,y,z)，
由m⋅GC=0,m⋅GH1=0,得4z=0,4xcsθ+4ysinθ=0,
取y=1，得x=−tanθ，故m=(−tanθ,1,0)，
又DH1=(4csθ−4,4sinθ,−4)，
sinπ6=|csDH1,m|=|−4sinθ+4tanθ+4sinθ| 1+tan2θ⋅ 16(csθ−1)2+16sin2θ+16，
即tanθ 1+tan2θ⋅ (csθ−1)2+sin2θ+1=12，
化简可得4cs2θ−2csθ−1=0，
解得csθ=1+ 54或csθ=1− 54(舍去)．
19.解：(1)令f(x)=x2，定义域为R，
显然任意n∈N∗，−n≠n，且f(−n)=(−n)2=n2=f(n)，
故f(x)=x2满足要求，(注：所有的定义域为R的偶函数均符合题意)，
(2)证明：因为g(xn)=g(yn)，所以xn+kxn=yn+kyn，
移项得xn−yn=kyn−kxn=k(xn−yn)xnyn，
因为xn≠yn，所以xn−yn≠0，故kxnyn=1,xnyn=k，
由基本不等式xn+yn2≥ xnyn，当且仅当xn=yn时取到等号，
而xn≠yn，故xn+yn2> xnyn，即xn+yn>2 k．
(3)由题意，ℎ(x)=eπ2+x+e−π2−x−sinx，
故ℎ′(x)=eπ2+x−e−π2−x−csx，
设φ(x)=eπ2+x−e−π2−x−csx，
则φ′(x)=eπ2+x+e−π2−x+sinx≥2 eπ2+x⋅e−π2−x+sinx=2+sinx≥1>0，
故ℎ′(x)在R上单调递增，而ℎ′(−π2)=0，
故x>−π2时，ℎ′(x)>0,x