专题11.3 三角形三条重要线段（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

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专题11.3 三角形三条重要线段（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】三角形的高（1）定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作的垂线段叫做三角形边的高.（2）三角形高的画法：一靠：使三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；二移：移动三角尺使另一条直角边通过 这条边所对的顶点；三画：画垂线段。（3）三角形三条高的位置：①三角形三条高交于一个点，这个点称作三角形的垂心；②锐角三角形垂心在三角形内部；直角三角形垂心是直角顶点；③钝角三角形垂心在三角形外部.【例1】（23-24七年级下·广东深圳·期中）下列四个图形中，线段是的高是（  ）A． B． C． D．【知识点二】三角形的中线定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形这边上的中线；三角形的重心：三角形三边上的中线交点叫做三角形的重心。【例2】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（    ）A．5 B．3 C．4 D．2【知识点三】三角形的角平分线（1）定义：在三角形中；一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与对边交点之间的线段叫做三角形的角平分线。（2）三角形的内心：三角形角平分线的交点叫做三角形的内心。【例3】（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，，下列结论中错误的是（    ）A．是的角平分线 B．是的角平分线C． D．是的角平分线第二部分【典例展示与方法归纳】【题型1】三角形高线（等面积求高模型）【例1】（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，是的中线，是的高，，，，．（1）求高的长；（2）求的面积．【举一反三】【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，点D是中点，点P是线段上一个动点，若 则的最小值是（    ）A．1 B． C．2 D．【变式2】 （22-23七年级下·福建福州·期末）如图，直线经过原点，若、、，为线段上一动点．当取最小值时， ．  【题型2】三角形中线（中线等分面积模型+周长差问题）【例2】（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，已知、分别是的中线和高，的周长比的周长大，且． （1）求的长；（2）求与的面积关系．【举一反三】【变式1】（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）如图，已知是的中线，，则和的周长的差是 ．  【变式2】（23-24七年级下·陕西·期中）如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为 ． 【题型3】三角形角平分线（角平分线+平行线模型）【例3】（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在中，平分平分，且，，，求的周长． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，则的周长为（    ）A．9 B．11 C．12 D．13【变式2】（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点．若，则 ．  第三部分【中考链接与拓展延伸】一、直通中考【例1】（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，时， ．   【例2】（2021·山东聊城·中考真题）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF值为 ． 二、拓展延伸【例1】（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知平分，，且． （1）求证：；（2）若，求的度数；（3）当，，时，求点到直线的距离．【例2】（23-24七年级下·江苏镇江·期中）【探究】如图1，是中边上的中线，与的面积相等吗？请说明理由， 【应用】如图2，点A、B、C分别是、、的中点，且，则图2中阴影部分的面积为 ；【拓展】（1）如图3，中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，如果，那么为 ．（2）如图4，中，，，点D、E是、边上的中点，、交于点F．若的面积为S，则四边形面积为 （用含S的代数式表示）；四边形的面积存在最大值，这个值为 ．