黑龙江省绥化市2024届中考数学试卷(含答案)

这是一份黑龙江省绥化市2024届中考数学试卷(含答案)，共26页。试卷主要包含了考试时间120分钟，若式子有意义，则的取值范围是，下列计算中，结果正确的是，下列叙述正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．考试时间120分钟
2．本试题共三道大题，28个小题，总分120分
3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内
一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）
请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的方框涂黑
1．实数的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A．圆B．菱形C．平行四边形D．等腰三角形
3．某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
4．若式子有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．下列计算中，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是( )
A．B．
C．D．
7．某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表：
如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
8．一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
10．下列叙述正确的是（ ）
A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
B．平分弦的直径垂直于弦
C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等
11．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（ ）
A．B．C．D．
12．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：
① ②（m为任意实数） ③
④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内
13．中国的领水面积约为370 000 km2，将数370 000用科学记数法表示为： ．
14．分解因式： ．
15．如图，，，．则 ．
16．如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为 m（结果保留根号）．
17．计算： ．
18．用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
19．如图，已知点，，，在平行四边形中，它的对角线与反比例函数的图象相交于点，且，则 ．
20．如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ．
21．如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ．
22．在矩形中，，，点在直线上，且，则点到矩形对角线所在直线的距离是 ．
三、解答题（本题共6个小题，共54分）
请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内
23．已知：．
(1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______．
24．为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图．

请根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)参加本次问卷调查的学生共有______人．
(2)在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图．
(3)端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率．
25．为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买、两种电动车．若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元；若购买种电动车辆、种电动车辆，需投入资金万元．已知这两种电动车的单价不变．
(1)求、两种电动车的单价分别是多少元？
(2)为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半．当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？
(3)该公司将购买的、两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用元与骑行时间之间的对应关系如图．其中种电动车支付费用对应的函数为；种电动车支付费用是之内，起步价元，对应的函数为．请根据函数图象信息解决下列问题．

①小刘每天早上需要骑行种电动车或种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为3（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为，那么小刘选择______种电动车更省钱（填写或）．
②直接写出两种电动车支付费用相差元时，的值______．
26．如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点．
(1)求证：与相切．
(2)若正方形的边长为，求的半径．
(3)如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长．
27．综合与实践
问题情境
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象．
纸片和满足，．
下面是创新小组的探究过程．
操作发现
（1）如图1，取的中点，将两张纸片放置在同一平面内，使点与点重合．当旋转纸片交边于点、交边于点时，设，，请你探究出与的函数关系式，并写出解答过程．
问题解决
（2）如图2，在（1）的条件下连接，发现的周长是一个定值．请你写出这个定值，并说明理由．
拓展延伸
（3）如图3，当点在边上运动（不包括端点、），且始终保持．请你直接写出纸片的斜边与纸片的直角边所夹锐角的正切值______（结果保留根号）．

28．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中点，．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)过点作轴交抛物线于点，连接，在抛物线上是否存在点使．若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
(3)将该抛物线向左平移个单位长度得到，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，是平面直角坐标系内的一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
参考答案
1．D
2．D
3．A
4．C
5．A
6．B
7．C
8．D
9．D
10．C
11．A
12．B
13．3.7×105
14．
15．66
16．##
17．
18．
19．
20．##度
21．
22．或或
23．(1)见解析
(2)
解析：（1）解：如图所示
作法：①作的垂直平分线交 于点
②作的垂直平分线交于点
③连接、相交于点
④标出点 ，点 即为所求
（2）解：∵是的重心，
∴
∴
∵的面积等于，
∴
又∵是的中点，
∴
故答案为：．
24．(1)
(2)，作图见解析
(3)
解析：（1）解：参加本次问卷调查的学生共有（人）；
（2）解：A组人数为人
A组所占的百分比为：
补全统计图如图所示，

（3）画树状图法如下图

列表法如下图
由树状图法或列表法可以看出共有12种结果，它们出现的可能性相等，选中的2个社团恰好是B和C的情况有两种．
∴P（选中的2个社团恰好是B和C）．
25．(1)、两种电动车的单价分别为元、元
(2)当购买种电动车辆时所需的总费用最少，最少费用为元
(3)① ②或
解析：（1）解：设、两种电动车的单价分别为元、元
由题意得，
解得
答：、两种电动车的单价分别为元、元
（2）设购买种电动车辆，则购买种电动车辆，
由题意得
解得：
设所需购买总费用为元，则
，随着 的增大而减小，
取正整数
时，最少
元
答：当购买种电动车辆时所需的总费用最少，最少费用为元
（3）解：①∵两种电动车的平均行驶速度均为3，小刘家到公司的距离为，
∴所用时间为分钟，
根据函数图象可得当时，更省钱，
∴小刘选择种电动车更省钱，
故答案为：．
②设，将代入得，
解得：
∴；
当时，，
当时，设，将，代入得，
解得：
∴
依题意，当时，
即
解得：
当时，
即
解得：（舍去）或
故答案为：或．
26．(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：（1）方法一：证明：连接，过点作于点，
与相切于点，
．
四边形是正方形，是正方形的对角线，
，
，
为的半径，
为的半径，
，
与相切．
方法二：
证明：连接，过点作于点，
与相切于点，，
，
四边形是正方形，
，
又，
，
，
为的半径，
为的半径，
，
与相切．
方法三：
证明：过点作于点，连接．
与相切，为半径，
，
，
，
，
又四边形为正方形，
，
四边形为矩形，
又为正方形的对角线，
，
，
矩形为正方形，
．
又为的半径，
为的半径，
又，
与相切．
（2）解：为正方形的对角线，
，
与相切于点，
，
由（1）可知，设，
在中，
，
，
，，
又正方形的边长为．
在中，
，
，
，
．
∴的半径为．
（3）方法一：
解：连接，设，
，
，
，
．
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
又，
．
．
方法二：
解：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
方法三：
解：连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
．
又，
，
．
27．（1），见解析；（2）2，见解析；（3）或
解析：操作发现
解：（1）∵，且．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∵是的中点，点与点重合，
∴，
∴，
∴．

问题解决
（2）方法一：
解：的周长定值为2．
理由如下：∵，，，
∴，，
在中，∴
．
将（1）中代入得：
∴．
∵，又∵，
∴，
∴．
∵的周长，
∴的周长．
方法二：
解：的周长定值为2．
理由如下：∵和是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∵O为AB的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
，，
∴过作交于点，作交于点，作交于点．
∴．
又∵，，
∴，，
∴，，
∴．
∵的周长．
又∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵是的中点，
点是的中点，同理点是的中点．
∴，
∴的周长．

方法三：
解：的周长定值为2．
理由如下：过作交于点，作交于点，在上截取一点，使，连接．
∵是等腰直角三角形，为的中点，
∴平分，
∴，
∴，
∴，．
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的周长．
又∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵是的中点，点是的中点，同理点是的中点．
∴，
∴的周长．

拓展延伸
（3）或
①解：∵，，
∴，
过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，设，
∴，由勾股定理得，
，
∴，
∴在中，．

②解：∵，，
∴，
过点作于点，作的垂直平分线交于点，连接．
∵，
∴，
∴，
在中，设，
∴，由勾股定理得，，
∴，
∴在中，．
∴或．

28．(1)
(2)存在，点坐标为，，补图见解析
(3)、、、
解析：（1）解：∵把点，代入得
，
解得，
∴．
（2）存在．
理由：∵轴且，
∴，
∴（舍去），，
∴．
过点作于点，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴．
设直线交轴于点，
，，
∴，．
连接交抛物线于，连接交抛物线于，
∴，的解析式为，，
∴，解得，
或，解得．
∴把，代入得，，
∴，．
综上所述，满足条件的点坐标为，．
（3）、、、．
方法一：
①以为对角线，如图作的垂直平分线交于点交直线于
∵，，
∴．
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
．
②以为边
如图以为圆心，为半径画圆交直线于点，；连接，，
过点作，过点作，和相交于点，同理可得
，，
，
．
过点作直线于点，则；
在和中，由勾股定理得，
，
，．
点是由点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，
，，
③以为边
如图以点为圆心，长为半径画圆交直线于点和，
连接，，则，
过点作于点，则，在和中，由勾股定理得，
，
、，
，
，
、、三点共线，
过点作，过作，
和相交于点，
∵、，
的中点．
，点为的中点，
．
综上所述：、、、．
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