广东省深圳外国语学校高中园2025届高三第二次调研考试数学试卷

这是一份广东省深圳外国语学校高中园2025届高三第二次调研考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了已知函数，下列各结论中正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损；考生务必用规定笔将自己的姓名和考号填写在答题卡指定位置。同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区。请保持条形码整洁、不污损。
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．不按以上要求作答的答案无效。
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
5．请保持答题卡的整洁，不折叠、不破损。考试结束后，将答题卡交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共60分）。
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．已知或，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（ ）
A．16 B．25 C．36 D．49
5．函数在定义域上的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．已知曲线与在点处的切线与抛物线也相切，则实数a的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
7．已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的函数的图象关于点对称，，且当时，．若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．不等式的解集是
C． D．不等式的解集为
10．下列各结论中正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．函数在定义域内是增函数；
C．命题“”的否定是“”；
D．函数的值域为．
11．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是
B．若函数有3个零点，则实数a的取值范围是
C．设函数的3个零点分别是，则的取值范围是
D．任意实数a，函数在内无最小值
第II卷（非选择题）
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）。
12．设且，函数的图像恒过定点P，则点P的坐标是__________．
13．己知，则__________．
14．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点成中心对称，则__________．
四、解答题：（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
15．（本小题满分13分）
已知等差数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前n项和．
16．（本小题满分15分）
如图，三棱柱中，平面．
（1）求证：；
（2）若，直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
17．（本小题满分15分）
中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示：
规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高．
（1）从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率；
（2）将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记X为对中医药文化了解程度高的人数，求X的分布列和期望．
18．（本小题满分17分）
已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上、下顶点分别为A、B，过点斜率为k的直线与椭圆C交于M、N两点．求证：直线BM与AN的交点G在定直线上．
19．（本小题满分17分）
已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）当时，有两个不同的零点，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
深圳外国语学校高中园2025届高三年级第二次调研考试
数学答案
1．D 2．B 3．D 4．B 5．C 6．C 7．B
【详解】当时，则，
且，所以，
若函数的值域为，可知当时，则的值域包含，
若，则在内单调递减，
可得，不合题意；
若，则在内单调递增，
可得，则，解得；
综上所述：实数a的取值范围是
故选：B
8．A
【详解】由的图象关于点对称可得．
由，可得，
故函数的图象关于直线对称，
且，得的周期为2．
当时，
，
单调递增，且，则，，
画出在一个周期内的大致图象如图所示：
当时，结合图象可得，即．
故实数m的取值范围为．
故选：A
9．ABD 10．AD 11．BCD
【详解】对于A，若函数在上单调递增，则，解得，故A错误；
对于B，若函数有3个零点，则当时，有2个零点，
所以，解得，
当时，有1个零点，则，
所以，故B正确；
对于C，设函数的3个零点分别是，
由B知，，
令，解得，即，
设，得在上单调递减，
所以，故C正确；
对于D，当时，单调递增，，
当时，，对称轴为直线，
①当，即时，，无最小值；
②当，即时，，
若有最小值，则，解得，与矛盾，故无最小值；
综上任意实数a，函数在内无最小值，故D正确；
故选：BCD．
12．
13．
14．
【详解】由题意为奇函数，
所以，则，
所以，
所以恒成立，
故或，所以．
故答案为：
15．（本小题满分13分）
【详解】（1）解：设等差数列公差为d，首项为，
由题意，有，解得，
所以；
（2）解：，所以．
16．（本小题满分15分）
解：（1）证明：平面，
，
四边形是菱形
，
平面
（2）与平面所成角为，
与平面所成角为平面，
令，则，以O为原点，分别以为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，
设平面的一个法向量为，，令，解得，
设平面的一个法向量为，，即，令，解得，．二面角的余弦值为．
17．（本小题满分15分）
【详解】（1）由表格中的数据可知，成绩在的人数为，
所以，抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为．
（2）根据表格可知，41岁~50岁年龄段中，成绩在内的人数为，
成绩在内的人数为，
则随机抽取1人，这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率，
了解程度低的概率．
由题意可知，则X的可能取值为0，1，2，3，
则，
，
所以随机变量X的分布列为
所以X的数学期望．
18．（本小题满分17分）
【解析】（1）由题意，，解得：，
故椭圆C的方程为
（2）由题意，直线MN的方程为，设，
联立消去y整理得：，
判别式，所以或，
由韦达定理，
直线BM的方程为，直线AN的方程为，
联立消去x可得：
从而③
接下来给出以下两种计算非对称结构的方法：
法1：由①②知，
代入式③得：
从而，解得：，所以点G在定直线上．
法2：由①知，
代入式③得：
从而，解得：，所以点G在定直线上
19．（本小题满分17分）
【详解】（1）由，得，
当时，在上恒成立，得在上为增函数，无最大值．
当时，由得，由得，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在时取最大值为．
综上，当时，函数无最大值；当时，函数的最大值为．
（2）有两个不同零点，
则，
构造函数，
所以为增函数，且，
即有两个不等实根，
则，令，则，
所以，则，故，
而两边取对数，可转化为，即．
由可得，，即，
设，则，
因为，根据对勾函数在上单调递减知，，所以，
①当，即时，，故当时，，符合题意；
②当，即时，显然存在，使得，
即当时，，当时，，
故，不符合题意，
综上，m的取值范围为．年龄段人数成绩
31岁-40岁
4
8
13
9
6
41岁-50岁
2
8
10
22
18
X
0
1
2
3
P