江西省上饶市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用直线斜截式方程及斜率的定义即可求解.
【详解】由直线，得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
所以，
所以直线的倾斜角为.
故选：A.
2. 直线的一个方向向量为（ ）
A. B. -3,2C. 2,3D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可.
【详解】由得，，
所以直线的一个方向向量为，
而，所以也是直线的一个方向向量.
故选：B.
3. 已知三点共线，则的值为（ ）
A. B. 5C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据得到方程，求出答案.
【详解】，
因为三点共线，故，
即，解得.
故选：D
4. 已知，经过两点的直线方程都可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对参数是否为0进行分类讨论，将直线方程的不同形式进行比较即可得出结果.
【详解】当都不为0时，所有经过两点的直线方程均可以用表示，
即，
当中有一个为0时，比如时，则直线为,符合上式；
比如时，则直线为x=0，也符合上式，
故选项符合题意，
故选：.
5. 经过两点的直线方程可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线两点式方程可得答案.
【详解】当经过的直线不与轴、轴平行时，
所有直线均可以用表示，
由于可能相等，也可能相等，
所以只有选项C满足包括与轴、轴平行的直线．
故选：C．
6. 已知两直线和的交点是，则过两点、的直线方程是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将点的坐标代入两直线的方程，可得出，可得出点、的坐标满足直线方程，再利用两点确定一条直线可得出直线的方程.
【详解】将点的坐标代入两直线的方程，得，
所以，点、的坐标满足直线方程，
由于两点确定一条直线，所以，直线的方程为.
故选：C.
【点睛】本题考查直线方程的求解，推导出点、的坐标满足直线方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
7. 已知直线的方程是，的方程是（，），则下列各图形中，正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】有条件知，两直线的斜率均存在且不为0，写出它们的斜截式方程后再进行判断．
【详解】解：，直线与直线的斜率均存在
直线的斜截式方程为；直线的斜截式方程为
对于A选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应小于0，直线的纵截距应小于0，故A图象不符合；
对于B选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应小于0，故B图象不符合；
对于C选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应大于0，故C图象不符合；
对于D选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应大于0，故D图象符合．
故选：D．
8. 已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线、的斜率后可求直线的斜率的范围.
【详解】
，而，
故直线的取值范围为，
故选：A.
二．多选题（共3小题，每小题6分）
9. 如果，，那么直线经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据直线斜率与截距判断即可.
【详解】因为，故，故直线的斜截式方程为：，
因为，，故，，
故直线经过第一象限、第三象限、第四象限．
故选：ACD．
10. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 过点且在x轴，轴截距相等的直线方程为
B. 直线在轴的截距是2
C. 直线的倾斜角为30°
D. 过点且倾斜角为90°的直线方程为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据直线的截距、倾斜角、直线方程等知识确定正确答案.
【详解】A选项，直线过点且在x轴，轴截距相等，所以A选项错误.
B选项，直线在轴上的截距是，B选项错误.
C选项，直线的斜率为，倾斜角为，C选项正确.
D选项，过点且倾斜角为90°的直线方程为，D选项正确.
故选：CD
11. 已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由正方形的特征可知，直线与直线夹角为，由直线斜率利用两角差的正切公式求出直线的斜率，对照选项即可判断.
【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
直线斜率为2，有，则.
依题意有或，
当时，，即，
解得，即直线的斜率为-3，C选项中的直线斜率符合；
当时，，即，
解得，即直线的斜率为，B选项中的直线斜率符合.
故选：BC
三、填空题（共3小题，每小题5分）
12. 直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由斜率的定义及正切函数的性质，即可求得结果.
【详解】设直线的倾斜角为，斜率为，因为，
又因为，所以，
故答案为：.
13. 经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得且斜率，计算即可得解.
【详解】根据题意，即，
且斜率，
即，
解得或.
实数的范围是.
故答案为：
14. 直线分别交轴､轴的正半轴于､两点，当面积最小时，直线的方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题可得直线恒过定点，可设方程为，则，利用基本不等式可得，即求.
【详解】∵直线，
∴，
由，得，
∴直线恒过定点，
可设直线方程为，则，，
又，即，当且仅当时取等号，
∴，
当面积最小时，直线的方程为，即.
故答案为：.
四、解答题（共4小题，第15题10分，第16、17题各12分，第18题13分）
15. （1）求经过点，倾斜角为的直线的一般式方程．
（2）的三个顶点是，求边BC上的中线所在的直线方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）由倾斜角求得直线斜率，代入直线的点斜式方程即得；
（2）求出线段的中点，借助于点，利用直线的两点式方程即得.
【详解】（1）由倾斜角为可得直线斜率为，由于经过点，
代入点斜式方程得，即：；
（2）设边的中点为，根据中点坐标公式得，
从而可得中线所在直线方程为，即：．
16. 求符合下列条件的直线的方程：
（1）过点，且斜率为；
（2）过点，；
（3）过点且在两坐标轴上的截距相等．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或.
【解析】
【分析】（1）利用点斜式写直线方程即可；
（2）利用斜率公式求出斜率，再用点斜式写直线方程；
（3）利用斜截式和截距式待定系数求直线方程
【小问1详解】
∵所求直线过点，且斜率为，∴，即；
【小问2详解】
∵所求直线过，，∴，
∴，即；
【小问3详解】
当直线过原点时，设直线方程为，
∵直线过点，∴，直线方程为，即；
当直线不过原点时，设直线方程为，
将点代入上式，得，解得，
故直线的方程为，综上，直线方程为或．
17. 的内角所对的边分别为，已知.
（1）求；
（2）若角平分线与交于点，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解；
（2）利用等面积法以及余弦定理即可求解.
【小问1详解】
依题意，由正弦定理可得
所以，
又
所以，
因为B∈0,π，所以，所以，
又，所以.
【小问2详解】
解法一：如图，由题意得，，
所以，即，
又，所以，
所以，即，
所以.
解法二：如图，中，因为，
由余弦定理得，，
所以，所以，
所以，
所以，
所以.
18. 如图，已知长方体中，，，连接，过点作的垂线交于，交于

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；
（2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角．
【小问1详解】
如图，分别以，，为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，

则，，
因为在上，可设，则，
又，则，解得，即，
可得
则，
可得，即
且，平面．
所以平面．
【小问2详解】
由（1）可得：，
设平面的一个法向量为， 则，
令，则，可得，
设直线与平面所成角，
因为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．