2024-2025学年四川省绵阳市安州区九年级（上）入学数学试卷(含解析）

这是一份2024-2025学年四川省绵阳市安州区九年级（上）入学数学试卷(含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列式子是最简二次根式的是( )
A. 12xB. 2C. a2D. 8
2.已知函数y=(2m+1)x+m−3，若函数图象经过原点，则m的值是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.已知一组数据2，3，5，6，则这组数据的平均数为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
4.某蓄水池的横断面示意图如图，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出．下面的图象能大致表示水的深度h和放水时间t之间的关系的是( )
A. B. C. D.
5.若式子 k−1+(k−1)0有意义，则一次函数y=(k−1)x+1−k的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6.周长为38cm的三角形纸片ABC(如图甲)，AB=AC，将纸片按图中方式折叠，使点A与点B重合，折痕为DE(如图乙).若△DBC的周长为25cm，则BC的长为( )
A. 10cmB. 12cmC. 15cmD. 13cm
7.已知a，b，c是△ABC的三边，如果满足a2c2−b2c2=a4−b4，则三角形的形状是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形
8.如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，下列结论：①bcm+d；④a+b=c+d；⑤c>d.所有正确结论的序号为( )
A. ①②③B. ①②④C. ②③⑤D. ②④⑤
9.如图，在菱形ABCD中，过点C作AD的垂线与∠ABD的平分线交于点E，若BC=CE，则∠A的度数为( )
A. 135°
B. 115°
C. 150°
D. 120°
10.在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形(直角边长分别为a，b，斜边长为c)构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为a，b的两个正方形和长为b，宽为a的两个长方形构成如图所示的正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是( )
A. 甲B. 乙C. 甲，乙都可以D. 甲，乙都不可以
11.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，将直线y=3x+6的图象向右平移5个单位长度得到的新的直线分别交x轴、y轴于A、B两点，若点P(m,n)(m,n都是整数)在△AOB内部(不包括边界)，则点P的个数是( )个．
A. 7B. 8C. 9D. 10
12.如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点，连接AF、DE交于点P，过B作BG/​/DE交AD于G，BG与AF交于点M.对于下列结论：①AF⊥DE；②G是AD的中点；③∠GBP=∠BPE；④S△AGM：S△DEC=1：4.正确的个数是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13. x+2y与|x+y−2|互为相反数，则xy= ______．
14.若2，3，6，a，b这五个数据的方差是3，则4，5，8，a+2，b+2这五个数据的方差是______．
15.如图，一次函数y=−2x+2的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C在第一象限，AC与AB垂直，且AC=AB，则点C的坐标为______．
16.小明带了40元钱去超市买大米，大米售价为8元/千克，若小明买了x千克大米，还剩下y元，写出y与x的函数解析式y= ______，其中自变量x的取值范围是______．
17.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在A′处，则A′B的最小值为______．
18.如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AB、BC的中点，连接EC、FD，点G、H分别是EC、FD的中点，连接GH，若AB=6 2，BC=10，∠BAD=135°，则GH的长度为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.端午节期间，小刚一家乘车去离家380km的某地游玩，他们离家的距离y(km)与汽车行驶时间x(h)之间的三段函数图象如图所示：
(1)汽车在OA段与BC段哪段行驶的速度较快？
(2)求线段AB对应的函数解析式；
(3)小刚一家出发1.5小时时离目的地多远？
四、解答题：本题共5小题，共38分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
计算：
(1)(π−3)0−38+(−13)−2；
(2) 48− 12+12 16；
(3) 5×35 20÷(− 7)；
(4)(2 24+ 27)÷ 3− 12× 8．
21.(本小题6分)
为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”(以下简称“限塑令”).某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：

“限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表：
请你根据以上信息解答下列问题：
(1)补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2 000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？
(2)补全图2，并根据统计图和统计表说明，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积极的影响．
22.(本小题6分)
如图，在平行四边形ABCD中，BD平分∠ABC．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)连接AC交BD于点O，延长BC到点E，在∠DCE的内部作射线CM，使得∠ECM=15°，过点D作DF⊥CM于点F.若∠ABC=70°，DF= 5，求∠ACD的度数及BD的长．
23.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A(−a,0)、点B(0,b)，且a、b满足a2+b2−4a−8b+20=0，点P在直线AB的右侧，且∠APB=45°．
(1)a=______；b=______．
(2)若点P在x轴上，请在图中画出图形(BP为虚线)，并写出点P的坐标；
(3)若点P不在x轴上，是否存在点P，使△ABP为直角三角形？若存在，请求出此时P的坐标；若不存在，请说明理由．
24.(本小题8分)
定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．
(1)如图1，准矩形ABCD中，∠ABC=90°，若AB=2，BC=4，则BD= ______；
(2)如图2，正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；
(3)如图3，准矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，AC=DC，求这个准矩形的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 12x=2 3x，故A不符合题意；
B、 2是最简二次根式，故B符合题意；
C、 a2=|a|，故C不符合题意；
D、 8=2 2，故D不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵函数图象经过原点，
∴0=m−3，
∴m=3．
故选：C．
要求m，首先应该明白经过原点的意义，图象经过原点，即原点(0,0)在该图象上，所以将原点代入函数；原点代入函数后即可得到关于m的代数式，由此即可求得m．
本题考查一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．
3.【答案】B
【解析】解：(2+3+5+6)÷4=4
答：这组数据的平均数是4．
故选：B．
把给出的这4个数据加起来，再除以数据个数4，就是此组数据的平均数．
此题主要考查了平均数的意义与求解方法，关键是把给出的这4个数据加起来，再除以数据个数4．
4.【答案】A
【解析】解：由图知蓄水池上宽下窄，深度h和放水时间t的比不一样，前者慢后者快，即前者的斜率小，后者斜率大，分析各选项知只有A正确．B斜率一样，C前者斜率大，后者小，D也是前者斜率大，后者小，因此B、C、D排除．
故选：A．
由于蓄水池不规则，上面宽，下面窄，因此在相同时间内上半部分下降缓慢，图象比较平稳．下半部分下降快，图象比较陡，据此即可解答．
本题重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，在做题时要明确蓄水池上宽下窄，因此函数的图象也不相同，本题是一道较为简单的题目．
5.【答案】B
【解析】解：∵式子 k−1+(k−1)0有意义，
∴k−1≥0，且k−1≠0，
解得k>1，
∴k−1>0，1−k0时，(0,b)在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b0，d>0，
∴ac1时，am+b−1，c>0，
∴c>d，故⑤正确，
故选：D．
根据函数的图象以及一次函数的性质判断即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键．难度适中．
9.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD，AD//BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∵CE⊥AD，
∴CE⊥BC，
∴∠BCE=90°，
∵BC=CE，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴∠CBE=45°，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠DBE=12∠ABD=12∠CBD，
∴12∠CBD+∠CBD=45°，
∴∠CBD=30°，
∴∠ABC=2∠CBD=60°，
∴∠A=180°−∠ABC=180°−60°=120°，
故选：D．
由菱形的性质得∠ABD=∠CBD，AD//BC，再证△BCE是等腰直角三角形，得∠CBE=45°，然后求出∠CBD=30°，则∠ABC=2∠CBD=60°，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：甲同学的的方案：
∵大正方形的面积=小正方形的面积+直角三角形的面积×4，
∴(a+b)2=c2+12ab×4，
∴a2+b2+2ab=c2+2ab，
∴a2+b2=c2，
因此甲同学的的方案可以证明勾股定理；
乙同学的的方案：
∵大正方形的面积=矩形的面积×2+两个小正方形的面积，
∴(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴得不到a2+b2=c2，
因此乙同学的的方案不可以证明勾股定理．
故选：A．
由图形中的面积关系，应用完全平方公式即可解决问题．
本题考查勾股定理的证明，关键是应用面积法，完全平方公式．
11.【答案】A
【解析】解：根据题意知，平移后直线方程为y=3(x−5)+6=3x−9．
所以A(3,0)，B(0,−9)．
当x=1时，y=−6；x=2时，y=−3，
若点P(m,n)(m,n都是整数)在△AOB内部(不包括边界)，
则有(1,−1)，(1,−2)，(1,−3)，(1,−4)，(1,−5)，(2,−1)，(2,−2)共7个，
故选：A．
根据平移规律得到新直线方程是y=3(x−5)+6，由此求得点A、B的坐标，即可求得结论．
本题主要考查了一次函数图象与几何变换，函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”．
12.【答案】C
【解析】解：∵正方形ABCD，E，F均为中点
∴AD=BC=DC，EC=DF=12BC，
∵在△ADF和△DCE中，
AD=DC∠ADF=∠DCEDF=CE，
∴△ADF≌△DCE(SAS)，
∴∠AFD=∠DEC，
∵∠DEC+∠CDE=90°，
∴∠AFD+∠CDE=90°=∠DGF，
∴AF⊥DE，故①正确，
∵BG//DE，GD//BE，
∴四边形GBED为平行四边形，
∴GD=BE，
∵BE=12BC，
∴GD=12AD，
即G是AD的中点，
故②正确，
∵BG//DE，
∴∠GBP=∠BPE，
故③正确．
∵BG//DG，AF⊥DE，
∴AF⊥BG，
∴∠ANG=∠ADF=90°，
∵∠GAM=∠FAD，
∴△AGM∽△AFD，
设AG=a，则AD=2a，AF= 5a，
∴S△AGMS△AFD=(AGAF)2=15．
∵△ADF≌△DCE，
∴S△AGM：S△DEC=1：5．
故④错误．
故选：C．
根据正方形性质得出AD=BC=DC；EC=DF=12BC；∠ADF=∠DCE，证△ADF≌△DCE(SAS)，推出∠AFD=∠DEC，求出∠DGF=90°即可判断①；证明四边形GBED为平行四边形，则可知②正确；由平行线的性质可得③正确；证明△AGM∽△AFD，可得出S△AGM：S△DEC=1：5.则④不正确．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行线的性质，平行四边形的判定与和性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
13.【答案】−8
【解析】解：∵ x+2y与|x+y−2|互为相反数，
∴ x+2y+|x+y−2|=0，
∴x+2y=0x+y−2=0，
解得：x=4y=−2，
则xy=−8，
故答案为：−8．
由题意可得 x+2y+|x+y−2|=0，根据二次根式及绝对值的非负性列得二元一次方程组，解方程组求得x，y的值后代入xy中计算即可．
本题考查二次根式及绝对值的非负性，解二元一次方程组，结合已知条件列得关于x，y的二元一次方程组是解题的关键．
14.【答案】3
【解析】解：由题意知，数据4，5，8，a+2，b+2这五个数据是将原数据分别加2所得，
∴新数据的波动幅度与原数据一致，
∴这五个数据的方差是3，
故答案为：3．
根据每个数据都加上一个数(或减去一个数)时，平均数也加或减这个数，方差不变，即可得出答案．
本题主要考查方差的意义，如果数据x1、x2、……、xn的方差是S2，那么：①一组新数据x1+b、x2+b、……、xn+b的方差仍是S2(b是常数)；②一组新数据ax1、ax2、……、axn的方差是a2S2，标准差是|a|S(a是常数)；③一组新数据ax1+b、ax2+b、……、axn+b的方差是a2S2，标准差是|a|．
15.【答案】(3,1)
【解析】解：过C点作CD⊥x轴于D，如图．
∵y=−2x+2的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，
∴当x=0时，y=2，则B(0,2)，
当y=0时，−2x+2=0，解得x=1，则A(1,0)．
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAD．
在△ABO和△CAD中，
∠AOB=∠CDA∠ABO=∠CADAB=CA，
∴△ABO≌△CAD(AAS)，
∴AD=OB=2，CD=OA=1，
∴OD=OA+AD=1+2=3，
∴C点坐标为(3,1)．
故答案为：(3,1)．
过C点作CD⊥x轴于D，如图，先利用一次函数图象上点的坐标特征确定B(0,2)，A(1,0)，再证明△ABO≌△CAD，得到AD=OB=2，CD=OA=1，则C点坐标可求．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，证明△ABO≌△CAD是解答此题的关键．
16.【答案】40−8x 0≤x≤5
【解析】解：根据题意得：y=40−8x，
∵y≥0，
∴40−8x≥0，
解得x≤5，
∴y与x的函数解析式y=40−8x，自变量x的取值范围是0≤x≤5．
故答案为：40−8x，0≤x≤5．
根据剩余的钱=总钱数−花费的钱数列出函数解析式，再根据实际情况确定自变量x的取值范围．
本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
17.【答案】2
【解析】解：如图，连接A1B，BD，
∵四边形ABCD为矩形，AB=4，BC=3，
∴AD=BC=3，∠A=90°，
∴BD= AB2+AD2=5，
∵△ADE沿DE折叠，
∴A1D=AD=3，
在△A1BD中有A1B+A1D≥BD，
∴A1B≥BD−A1D，
即A1B≥2，
故答案为：2．
连接A1B，BD，在△A1BD中有A1B+A1D≥BD，由勾股定理可得BD，由折叠性质和矩形性质可得A1D=AD=BC，再利用三角形三边关系A1B≥BD−A1D即可求解．
本题考查矩形的性质，折叠的性质，解题的关键是找出三角形三边关系A1B≥BD−A1D.
18.【答案】 732
【解析】解：连接并延长CH交AD于点K，连接EK，作EL⊥DA交DA的延长线于点L，则∠L=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=10，AD//BC，
∴∠HDK=∠HFC，∠HKD=∠HCF，
∵点G、H分别是EC、FD的中点，
∴EG=CG，DH=FH，
在△HDK和△HFC中，
∠HDK=∠HFC∠HKD=∠HCFDH=FH，
∴△HDK≌△HFC(AAS)，
∴KH=CH，KD=CF，
∴GH=12EK，
∵AB=6 2，点E、F分别是边AB、BC的中点，
∴AE=BE=12AB=3 2，KD=CF=BF=12BC=5，
∵∠BAD=135°，
∴∠LAE=180°−∠BAD=45°，
∴∠LEA=∠LAE=45°，
∴EL=AL，
∵AE= EL2+AL2= 2AL=3 2，
∴EL=AL=3，
∴LK=AD+AL−KD=3+10−5=8，
∴EK= EL2+LK2= 32+82= 73，
∴GH=12× 73= 732，
故答案为： 732．
连接并延长CH交AD于点K，连接EK，作EL⊥DA交DA的延长线于点L，由平行四边形的性质得AD=BC=10，AD//BC，可证明△HDK≌△HFC，得KH=CH，KD=CF，则GH=12EK，求得AE=BE=3 2，KD=CF=BF=5，∠LEA=∠LAE=45°，所以EL=AL，由AE= 2AL=3 2，得EL=AL=3，则LK=8，求得EK= EL2+LK2= 73，则GH= 732，于是得到问题的答案．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(1)OA段汽车行驶的速度为：80÷1=80(km/h)，
BC段汽车行驶的速度为：(380−320)÷1=60(km/h)，
60km/h