福建省宁德市蕉城区联考2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)

这是一份福建省宁德市蕉城区联考2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（答卷时间：120分钟；满分：100分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；
B．是轴对称图形，也是中心对称图形；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形；
故选：B．
2. 若，且c是任意实数，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：A、∵a＞b，c是任意实数，∴一定成立，故本选项符合题意；
B、∵a＞b，c是任意实数，∴一定成立，故原不等式错误，故本选项不符合题意；
C、当a＞b，c＞0时，一定成立，而此题c是任意实数，故本选项不符合题意；
D、∵a＞b，当c≤0时，ac＜bc，故本选项不符合题意；
故选：A．
3. 如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：该数轴表示的不等式的解集为．
故答案为：．
4. 用反证法证明命题“在直角三角形中，必有一个锐角不小于45°”时，首先应假设这个直角三角形中（ ）
A. 两个锐角都大于45° B. 两个锐角都小于45°
C. 两个锐角都不大于45° D. 两个锐角都等于45°
【答案】B
解析：解：∵一个直角三角形有两个锐角，
∴用反证法证明命题"直角三角形中的两个锐角中至少有一个角不小于45°“时，应该假设每一个锐角都小于45°，即两个锐角都小于45°．
故答案为：B．
5. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知，点，表示的刻度分别为，，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：∵直尺的两边平行，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∵点，表示的刻度分别为，，
∴，
∴，
∴线段长为，
故选：B．
6. 下列因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解析：解：A、，原式分解错误，不符合题意；
B、，原式分解错误，不符合题意；
C、，原式分解错误，不符合题意；
D、，原式分解正确，符合题意；
故选：D．
7. 如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E．若的周长为24，，则的周长为（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 18
【答案】B
解析：解：∵是的垂直平分线，
∴，，
又∵的周长为24，
∴，
∴，
∴的周长为：，故B正确．
故选：B．
8. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边BC上，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：∵绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边BC上，
∴，
∴，
∴在中，,
∵，
∴
故选：B．
9. 如图，直线与直线（为常数，）相交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：把代入得，
解得，
当时，，
故选A．
10. 如图，在中，，点M在的延长线上于点N，交于点O，若，，则的长度为（ ）

A. 12B. 9C. 10D. 11
【答案】C
解析：解：∵于点N，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
11. 分解因式：______．
【答案】
解析：解：，
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，把点先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点．若点的横坐标和纵坐标相等，则______．
【答案】
解析：解：点先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点得坐标为，
∵点的横坐标和纵坐标相等，
∴，
解得：，
故答案为：．
13. 若点在平面直角坐标系的第二象限内，则x的取值范围是__________．
【答案】
解析：∵点在第二象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
14. 如果，，那么代数式的值是______．
【答案】
解析：解：∵，，
∴，
故答案为：．
15. 如图，中，，平分，，若，则点到的距离为________．

【答案】
解析：解：∵，平分，，
∴，，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
∵在的角平分线上，
∴到的距离，
故答案为：．
16. 在平面直角坐标系中，，，是等边三角形．若在的内部（不含边界），则的取值范围是__________．
【答案】a＞2
解析：解：如图，过点作轴于点，
∵是等边三角形，，，
∴，，
∴，
∴，．
设直线的表达式，由题意得：
，
解得，
∴．
当时，．
∵在的内部（不含边界），
∴，
∴.
三、解答题（本大题共9小题，共58分）
17. 分解因式
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
小问1解析】
解：
【小问2解析】
解：
18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】
解析：解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
19. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
求证：AD=BC．
【答案】证明见解析．
解析：由等腰三角形性质及三角形内角和定理，可求出∠ABD=∠C=BDC. 再据等角对等边，及等量代换即可求解.
试题解析：∵AB=AC， ∠A=36°∴∠ABC=∠C= (180°-∠A)= ×(180°-36°)=72°，又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=×72°=36°， ∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°， ∴∠C=∠BDC， ∠A=AB，
∴AD=BD=BC.
20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，2）．
（1）以点C为旋转中心，将△ABC旋转180°后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2的坐标为（0，－1），请画出△A2B2C2．
（3）若将△A1B1C1绕点P旋转可得到△A2B2C2，则点P的坐标为 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）（－1，0）
【小问1解析】
解：如图，△A1B1C1为所求；
【小问2解析】
∵点A（2，3）的对应点A2的坐标为（0，－1），
∴点B的坐标为（3，0）的对应点B2的坐标为（1，-4），点C的坐标为（0，2）的对应点C2的坐标为（-2，-2）
如图，△A2B2C2为所求．
【小问3解析】
如图，连接A1A2、C1C2、B1B2，它们都经过点（-1，0），△A1B1C1绕点P旋转可得到△A2B2C2，则点P点坐标为（－1，0）．
21. 如图，已知△ABC，∠C=90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A、B两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，若∠B=32°，求∠CAD度数．

【答案】（1）答案见解析；（2）26°．
解析：（1）作线段AB的垂直平分线，交BC于一点，这点就是D点位置；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠BAC的度数，再根据等边对等角可得∠DAB的度数，进而可得答案．
试题解析：（1）如图所示：点D即为所求；

（2）∵△ABC，∠C=90°，∠B=32°， ∴∠BAC=58°，
∵AD=BD，∴∠B=∠DAB=32°，∴∠CAD=58°﹣32°=26°．
22. 如图，在中，，平分，于点，交于点，平分，交于点，交于点.
求证：线段垂直平分线段.
【答案】证明见解析.
解析：证明：
∵，∴，
∵，
∴，
∴.
∵平分，∴，
∵，，，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵，
∴垂直平分.
23. 某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理. 但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理. 已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元.根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元.
(1)求该车间的日废水处理量m；
(2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围.
【答案】(1) m＝20；(2) 15≤x≤25
解析：解：(1)∵处理废水35吨花费370，且＝>8，∴m<35,
∴30+8m +12(35－m)＝370，解得：m＝20；
(2)设一天生产废水x吨,则
当0< x≤20时，8x+30≤10 x，解得：15≤x≤20，
当x>20时，12(x－20)+160+30≤10x，解得：20综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围是15≤x≤25
24. 阅读材料：
我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：（是正整数，且），在的所有这种分解中，如果两因数之差的绝对值最小，我们就称是的最佳分解，并规定：．
例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以：．
（1）计算：______；
（2）一个两位正整数（为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值．
【答案】（1）
（2）17，28，39；的最大值为
【小问1解析】
解：∵，且，
∴是6的最佳分解，
∴；
故答案为：；
【小问2解析】
解：t交换其个位上的数字与十位上的数字后的两位整数为，
根据题意得：，
整理得：，
由，
当时，，则，；
当时，，则，；
当时，，则，；
∵，
∴最大；
综上，所有两位正整数分别为17，28，39；的最大值为．
25. 已知AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°．
（1）如图1：连AM，BN，求证：AOM≌BON；
（2）若将RtMON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH//BN，OH与AM交点为H，若OB＝4，ON＝3，求出线段AM的长；
（3）若将MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN与AO交点为P，求证：MP2+PN2＝2PO2．
【答案】（1）见解析；（2）或；（3）见解析
解析：（1）∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，
∴OM=ON，AO=BO，
∵∠AOB＝∠MON＝90°，
∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON，
∴∠AOM＝∠BON，
在△AOM和△BON中，
∴△AOM≌△BON（SAS）．
（2）如图，当MN在OA左侧时，设OA交BN于J，
∵△AOM≌△BON，
∴∠OAM＝∠OBN，
∵∠AJN＝∠BJO，
∴∠ANJ＝∠JOB＝90°，
∵OH//BN，
∴∠OHN=∠ANJ=90°，
∵OM＝ON＝3，∠MON＝90°，OH⊥MN，
∴MN＝=3，MH＝HN＝OH＝，
∵OA=OB=4，
∴AH＝＝＝，
∴AM＝MH+AH＝．
如图，当MN在OA右侧时，
同理可得：MN＝，MH＝HN＝OH＝，AH＝，
∴AM＝AH-MH＝．
综上所述，BN的长为或．
（3）如图，在OB上取一点T，使得OT＝OP，连接PT，NT．
∵∠MON＝∠POT＝90°，
∴∠MON-∠PON=∠POT-∠PON，
∴∠MOP＝∠NOT，
在△POM和△TON中
∴△POM≌△TON（SAS），
∴PM＝TN，∠M＝∠ONT＝45°，
∵∠M=∠ONM=45°，
∴∠ONM＝∠ONT＝45°，
∴∠PNT＝∠ONM+∠ONT＝90°，
∴PT2＝PN2+NT2＝PN2+PM2
∵△POT是等腰直角三角形，
∴PT2＝2OP2，
∴PM2+NP2＝2OP2．