湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题（原卷及解析版）

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（时量：120分钟 分值：150分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.命题“”的否定是（ ）
A.B.
C.D.
2.设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满足，且，则中所有元素之积为（ ）
A.B.C.8D.16
3.若函数的定义域为，则的定义域是（ ）
A.B.C.D.
4.下列命题正确的是（ ）
A.“”是“”的充分条件B.“”是“”的必要条件
C.“”是“”的充分条件D.“”是“”的必要条件
5.用C(A)表示非空集合A中元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ）
A.1B.3C.5D.7
6.函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如．那么不等式成立的充分不必要条件是（ ）
A.B.C.D.
7.已知，则的最小值为（ ）
A.B.0C.1D.
8.黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，，，则（ ）注：，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数.
A.的值域为B.
C.D.以上选项都不对
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.若不等式的解集是，则下列选项正确的是（ ）
A.且B.
C.D.不等式的解集是
10.命题，为假命题，则实数m的取值可以是（ ）
A.B.0C.1D.2
11.设，为两个正数，定义，的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家D．H．Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数．如：．下列关系正确的是（ ）
A. B. C.D.
12.已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ）
A. B.
C.若不等式的解集为，则
D.若不等式的解集为，且，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知，那么f(x)的解析式为________.
14.设集合，，若，则实数t的取值范围为____________．
15.已知函数，，若对任意，存在，使得，则的取值范围______．
16.若，且，则的最小值为_______.
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（其中第17题10分，18~22题每题12分，共70分）
17.已知全集，集合，.
（1）当时，求；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
18.已知，，均为正实数，且．
（1）求证：；
（2）求的最小值．
19.已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：
（1）xy最小值；
（2）x+y的最小值..
20.济南市地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为.
（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；
（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
21.已知二次函数（，为实数）
（1）若时，且对，恒成立，求实数取值范围；
（2）若时，且对，恒成立，求实数的取值范围．
22.已知函数，．
（1）求函数的定义域和值域；
（2）已知为非零实数，记函数的最大值为，求．