江苏省苏州市相城区陆慕高级中学2024-2025学年高三上学期阶段测试（一）数学试题（解析版）

这是一份江苏省苏州市相城区陆慕高级中学2024-2025学年高三上学期阶段测试（一）数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意：请在答题卡上作答
一、单选题 (本大题共8小题，共40分)
1. 已知命题p：有些实数的相反数是正数，则是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可直接写出答案.
【详解】已知命题：有些实数的相反数是正数，即，
则，
故选：B.
2. 若复数的实部与虚部相等，则实数m的值为（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法运算，求得的实部和虚部，解方程即可求得答案.
【详解】由题意可得，
故，解得 ，
故选：D
3. 已知某地区中学生的身高X近似服从正态分布，若，则（ ）
A. 0.2B. 0.4C. 0.6D. 0.8
【答案】B
【解析】
【分析】由正态分布曲线的对称性即可求解.
详解】.
故选：B.
4. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】运用全概率和条件概率公式，结合对立事件概率求解即可.
【详解】，则.
由于，则.
则，
则.
故选：C．
5. 设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.
故选：B.
6. 已知实数a，b满足，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合和运算求解.
【详解】因为，即，
且，
即，解得，
当且仅当，时，，
当且仅当时，，
所以的取值范围是.
故选：C.
7. 已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0，若一过焦点F的斜率的直线与双曲线交于A、B两点（A、B在同一支上），且满足，则双曲线的离心率（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设直线方程为，联立双曲线方程得，由韦达定理得，再根据条件得，联立方程即可得出结果.
【详解】假设F为右焦点，
根据题意，设直线方程为，，
由，消得到，
易知，由韦达定理得，
又因为，所以，得到，
将代入，得到，
将代入，得到，
又，所以，得到，
故选：A.
8. 设、、满足，，，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，结合，可得出与的大小关系，再结合基本不等式以及不等式的基本性质可得出与的大小关系.
【详解】、、且，，，则，
先比较与的大小关系，
构造函数，其中，
则，所以，，
则，
令，其中，则，
令，其中，所以，，
所以，函数在上单调递增，故，
所以，函数在上单调递增，则，即，
因为，则，
所以，，
所以，，
因为，所以，
，
所以，对任意的，，
故函数在上单调递减，
因为，则，故，
由基本不等式可得（，故取不了等号），所以，，
故选：A.
【点睛】方法点睛：
在解决比较两个数大小的问题时，常常有三种解决方法：
（1）作差法，即两个数作差，若，则，若，则；
（2）作商法，即两个数坐商，若，则，若，则；
（3）单调性法，即借助函数的单调性比较两个数的大小.
二、多选题 (本大题共3小题，共18分)(部分选对的得部分分)
9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的值域为
B. 的对称中心为，
C. 在上的单减区间为
D. 在上的极值点个数为1
【答案】AD
【解析】
【分析】借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后，借助正弦型函数的值域、对称性、单调性与极值点逐项计算并判断即可得.
【详解】，
对A：由，则，故A正确；
对B：令，，解得，，
故的对称中心为，，故B错误；
对C：令，，解得，，
则在上的单减区间为，故C错误；
对D：令，，即，，
则在上的极值点有一个，故D正确.
故选：AD.
10. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，若一点P在底面内（包括边界）移动，且满足，则（ ）
A. 与平面的夹角的正弦值为B. 点到的距离为
C. 线段的长度的最大值为D. 与的数量积的范围是
【答案】ABD
【解析】
【分析】建系，标点，设，根据向量垂直可得.对于A：利用空间向量求线面夹角；对于B：利用空间向量求点到线的距离；对于C：根据空间向量的模长公式分析求解；对于D：根据空间向量的数量积分析求解.
【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，设，
可得，，
若，则，可得，
则，解得，即.
对于选项A：可知平面的法向量，
则，
所以与平面的夹角的正弦值为，故A正确；
对于选项B：因为，
所以点到的距离为，故B正确；
对于选项C：因为，
则，
且，可得当且仅当时，取到最大值，
所以线段的长度的最大值为3，故C错误；
对于选项D：因为，，
则，
且，可知当时，取到最小值；
当时，取到最大值；
所以与的数量积的范围是，故D正确；
故选：ABD.
11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则值域为
B. 若，则过原点有且仅有一条直线与曲线相切
C. 存在，使得有三个零点
D. 若，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，根据趋近于0时，函数值趋近于负无穷，当趋近于正无穷时，函数值趋近于正无穷得到A正确；B选项，求导，设出切点，得到切线方程，把点代入切线方程得，此方程只有一个根，故B正确；C选项，分与两种情况，推导出至多两个零点；D选项，先得到不合要求，满足要求，考虑，时，满足要求，故只需时，恒成立，若，，故不合要求，若，结合导函数得到函数单调性和最值，得到满足要求，得到答案.
【详解】A选项，若，则，
故，
当趋近于0时，趋近于负无穷，此时趋近于负无穷，
当趋近于正无穷时，和都趋近于正无穷，函数值趋近于正无穷，
因此函数的值域为R，A正确；
B选项，函数定义域为，时，，
因为时，，故，
则，设切点坐标为，故，
则在处，的切线方程为，
把点代入切线方程得，，
化简得，
当时，，此方程无解，
当时，，此方程无解，
当时，，且函数此时为增函数，
故方程只有这1个解，
即过原点有且仅有一条切线和相切，B正确；
C选项，，当时，，，
则，故单调递减，故在此区间上函数最多一个零点，
要想这个零点存在，需，
当时，，，
则，显然这是一个增函数，
要想函数零点尽可能多，则需存在一个使得成立，
此时在上单调递减，在上单调递增，
若在上存在一个零点，则，
故此时在上只存在一个零点，此时函数一共有两个零点，不合要求，
若在上不存在零点，则，
又在上单调递减，在上单调递增，
故此时函数最多有两个零点，不合要求，
综上，不存在，使得函数存在三个零点，C错误；
D选项，由A知，当时，函数的值域为R，不满足，
当时，，满足要求，
当时，时，，满足要求，
故只需时，恒成立，
若，，故不合要求，
若，，
则，显然这是一个增函数，
，
函数单调递增，则，
故满足题意，又也满足要求，
因此，D正确；
故选：ABD
【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件.
三、填空题 (本大题共3小题，共15分)
12. 的展开式中项的系数是________.
【答案】112
【解析】
【分析】由二项式展开式的通项公式得，令确定的值，然后计算项的系数即可.
【详解】展开式的通项公式，
令可得，，
则项的系数为.
故答案为：112.
13. 在数列中，已知，，则数列的前2024项和__________．
【答案】
【解析】
【分析】由，得到，利用累乘法得到数列通项公式，再用裂项相消，即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
因此，
故答案为：.
14. 已知集合A，B，C均是集合的非空真子集，则以集合A，B，C为元素所构成的集合的个数为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据集合子集个数结论，得到集合A，B，C的总数，再用组合知识计算即可.
【详解】集合A，B，C均是集合的非空真子集,则集合A，B，C的总数为.
然后从30个中任选3个组成集合即可.则组合数为：.
故答案为：.
四、解答题 (本大题共5小题，共77分)
15. 已知分别为三个内角的对边，且
（1）求；
（2）若的面积为，为边上一点，满足，求的长．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）正弦定理边化角，利用内角和定理消去，由和差公式和辅助角公式化简可得；
（2）根据余弦定理和三角形面积公式列方程组求出，然后在中利用余弦定理可得.
【小问1详解】
由正弦定理有，
因为，
所以，
化简得，
由有，可得，
因为，
所以，则．
【小问2详解】
由有
又可得，
联立解得，所以为正三角形，
所以，
在中，由余弦定理得．
故的长为.
16. 已知函数.
（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值.
（2）若在只有一个零点，求.
【答案】（1）极小值，无极大值；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，结合几何意义求出，再分析单调性求出极值.
（2）由函数零点的意义，等价变形得在只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求解.
【小问1详解】
函数的定义域为R，求导得，，
依题意，，则，，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
【小问2详解】
函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点，
设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解，
即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点，
令，求导得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在取得极小值同时也是最小值，
当时，；当时，，
画山大致的图象，如图，
在只有一个零点时，，
所以在只有一个零点吋，.
17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，.

（1）若为的中点，证明：平面平面；
（2）若，，线段上的点满足，且平面与平面夹角的余弦值为，求实数的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点为，利用直角梯形中位线的性质，线面垂直的性质判定推理即可；
（2）通过正三角形证明，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用二面角得向量求法计算求解即可.
【小问1详解】
取中点为，由条件可得为梯形的中位线，则，
又，则，
且，平面，平面，
根据线面垂直的判定定理，得平面，
平面，.
由，则，又，为梯形的两腰，则与相交，
平面，
又平面，所以平面平面.
【小问2详解】
取的中点为Q，由，，
则，，
因此△为等边三角形，.
由（1）知平面，，，两两垂直，
如图，以，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，

由，，则，
，，，，
由，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
由
取，得，，得.
设平面的一个法向量为，
由
取，得，，
即平面的一个法向量为.
记平面与平面夹角的大小为，
所以，化简得，即，所以实数的值为.
18. 无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．
（1）消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关：
（2）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为 每次投弹是否击中目标相互独立．无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为 击中目标两次起火点被扑灭的概率为 击中目标三次起火点必定被扑灭．
（i）求起火点被无人机击中次数X的分布列及数学期望；
（ii） 求起火点被无人机击中且被扑灭的概率．
附： 其中
【答案】（1）答案见解析
（2）（i）分布列见解析，；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据已知数据得到列联表，求出，即可判断；
（2）（i）由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望公式可得；（ii）根据互斥事件的概率公式求解可得.
【小问1详解】
零假设消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候无关
因为，
根据小概率值独立性检验，零假设不成立，
所以消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关．
【小问2详解】
（i）起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为，且，
，
．
X的分布列如下：
所以．
（ii）击中一次被扑灭的概率为；
击中两次被火扑灭的概率为；
击中三次被火扑灭的概率为；
所以所求概率．
19. 已知椭圆：的离心率为，左､右焦点分别为，，上､下顶点分别为，，且四边形的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线：与椭圆交于P，Q两点，且P，Q关于原点的对称点分别为M，N，若是一个与无关的常数，则当四边形面积最大时，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由椭圆的性质及已知条件可得a，b，c的关系，从而可求出a，b，c的值，从而可得椭圆C的标准方程；
（2）直线l方程与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示出|OP|2+|OQ|2，由|OP|2+|OQ|2是一个与m无关的常数，可求出k的值，表示出四边形PQMN面积，求出当四边形PQMN面积最大时m的值，即可求解直线l的方程．
【小问1详解】
，
，所以，
因为a2＝b2+c2，所以a＝2，，c＝1，
所以椭圆方程为．
【小问2详解】
如图，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

，
联立，消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，
Δ＝（8km）2﹣4（4m2﹣12）（3+4k2）＞0，即m2＜3+4k2，
所以，. ，

，
因为|OP|2+|OQ|2是一个与m无关的常数，所以32k2﹣24＝0，，，
，，
点O到直线l的距离，
所以，
当且仅当，即m2＝3，
因为m＞0，所以时，取得最大值为，
因为S四边形MNPQ＝4S△POQ，所以S△POQ最大时，S四边形MNPQ最大，
所以或．
晴天
雨天
命中
45
30
不命中
5
20
α
0.15
0.10
0.05
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828
晴天
雨天
合计
命中
45
30
75
不命中
5
20
25
合计
50
50
100
X
0
1
2
3
P