北京市清华大学附属中学2023-2024学年高二下学期期末数学试题（原卷版）

这是一份北京市清华大学附属中学2023-2024学年高二下学期期末数学试题（原卷版），共4页。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 设集合，，则集合（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数的共轭复数是，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（ ）
A. B. 6C. 8D. 10
5. 设，若，则（ ）
A. 80B. 40C. D.
6. “一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完（一尺约等于33.33厘米）.若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
7. 已知直线与交于、两点，则“”是“的面积取得最大值”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（ ）
A. B. 3C. 8D. 9
9. 将的图象向左平移个单位后得到的图象，当时，，则（）
A. B. C. D.
10. 边长为2的正方形的中心为，将其沿对角线折成直二面角.设为的中点，为的中点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为2：3，其中甲班的女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为____________.
12. 设函数，若最小值为，则的值为______.
13. 已知数列满足，，设，则____________；的最小值为____________.
14. 已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则____________.
15. 平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大，圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，给出下列四个结论：
①函数在无数个点处的曲率为1；
②函数的曲率恒为；
③函数的曲率半径随着变大而变大；
④若函数在与（）处的曲率半径相同，则.
其中，所有正确结论的序号是_____________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在五面体中，平面，平面.
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角正弦值.
17. 已知函数，其中，，若在上单调递减，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
（1）求，的值；
（2）当时，函数恰有一个零点，求的取值范围.
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18. 为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
（1）从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人概率；
（2）已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望；
（3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明）
19. 已知椭圆的右焦点坐标为，两个焦点与短轴一个端点构成等边三角形.
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）若过点与点的直线交椭圆于，两点，过点且与直线平行的直线交轴于点，直线与直线于点，求的值.
20. 已知函数，其中.
（1）若在处取得极值，求单调区间；
（2）若对于任意，都有，求的值.
21. 已知为有穷实数数列.对于实数，若中存在，使得，则称为连续可表数，将所有连续可表数构成的集合记作.
（1）设数列，写出，并写出一个与不同的数列使得；
（2）求所有的整数，使得存在数列满足；
（3）设数列与数列满足，，，.证明：.