高考数学科学创新复习方案提升版第35讲等差数列学案（Word版附解析）

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1．等差数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从eq \x(\s\up1(01))第2项起，每一项与它的前一项的eq \x(\s\up1(02))差都等于eq \x(\s\up1(03))同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的eq \x(\s\up1(04))公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为eq \x(\s\up1(05))an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．
(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时eq \x(\s\up1(06))A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝eq \x(\s\up1(07))a＋b．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝eq \x(\s\up1(08))a1＋(n－1)d．
(2)前n项和公式：Sn＝eq \x(\s\up1(09))na1＋eq \f(n（n－1）,2)d＝eq \x(\s\up1(10))eq \f(n（a1＋an）,2)．
等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差数列，其公差为n2d.
(7)若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1).
(8)若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S奇－S偶＝an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1)(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．
(9)若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则eq \f(an,bn)＝eq \f(S2n－1,T2n－1).
(10)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．
(11)由公式Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）d,2)得eq \f(Sn,n)＝a1＋eq \f(n－1,2)d＝eq \f(d,2)n＋a1－eq \f(d,2)，因此数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))是等差数列，首项为a1，公差为等差数列{an}公差的一半．
(12)等差数列与函数的关系
①an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数．当d>0时，数列为递增数列；当d0)，
所以eq \r(Sn＋1)－eq \r(Sn)＝(n＋1)eq \r(a1)－neq \r(a1)＝eq \r(a1)(常数)．
所以数列{eq \r(Sn)}是等差数列．
选择条件①②⇒③.
已知数列{an}是等差数列，数列{eq \r(Sn)}是等差数列，
设数列{an}的公差为d，
则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S3＝3a1＋3d，
因为数列{eq \r(Sn)}是等差数列，
所以eq \r(S1)＋eq \r(S3)＝2eq \r(S2)，
即eq \r(a1)＋eq \r(3a1＋3d)＝2eq \r(2a1＋d)，
化简整理得d＝2a1.
所以a2＝a1＋d＝3a1.
选择条件②③⇒①.
已知数列{eq \r(Sn)}是等差数列，a2＝3a1，
设数列{eq \r(Sn)}的公差为d，
则eq \r(S2)－eq \r(S1)＝d，即eq \r(4a1)－eq \r(a1)＝d.
所以a1＝d2，eq \r(Sn)＝eq \r(S1)＋(n－1)d＝nd，
所以Sn＝n2d2，
所以an＝Sn－Sn－1＝2d2n－d2(n≥2)．
又a1＝d2也适合上式，
所以an＝2d2n－d2(n∈N*)．
an＋1－an＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，
所以数列{an}是等差数列．
多角度探究突破
角度 等差数列项的性质
例3 (1)等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－eq \f(1,3)a11的值是( )
A．14 B．15
C．16 D．17
答案 C
解析 因为{an}是等差数列，所以a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，所以a8＝24.所以a9－eq \f(1,3)a11＝a8＋d－eq \f(1,3)(a8＋3d)＝eq \f(2,3)a8＝16.故选C.
(2)(多选)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的是( )
A．a7 B．a8
C．S15 D．S16
答案 BC
解析 由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，则a8为定值，S15＝eq \f(15（a1＋a15）,2)＝15a8为定值，但S16＝eq \f(16（a1＋a16）,2)＝8(a8＋a9)不是定值．
等差数列项的性质
利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将an＋am＝2ak(n＋m＝2k，n，m，k∈N*)与am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)相结合，可减少运算量．
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝3，Sn－4＝12，Sn＝17，则n的值为( )
A．17 B．15
C．13 D．11
答案 A
解析 ∵Sn－Sn－4＝an－3＋an－2＋an－1＋an＝5，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝3，∴(an－3＋a4)＋(an－2＋a3)＋(an－1＋a2)＋(an＋a1)＝4(a1＋an)＝8，∴a1＋an＝2，∴Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝17，解得n＝17.故选A.
2．(2023·九江湖口中学5月考试)等差数列{an}中，若S9＝18，Sn＝240，an－4＝30，则n的值为( )
A．14 B．15
C．16 D．17
答案 B
解析 由等差数列的性质知，a1＋a9＝2a5，a1＋an＝a5＋an－4，因为S9＝eq \f(9（a1＋a9）,2)＝9a5＝18，故a5＝2，又Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝eq \f(n（a5＋an－4）,2)＝240，故eq \f(n（2＋30）,2)＝240，所以n＝15.故选B.
角度 等差数列前n项和的性质
例4 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40＝( )
A．7 B．8
C．9 D．10
答案 B
解析 由等差数列的性质知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差数列，设其公差为d，∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，∴S20＝S10＋eq \f(S30,3)＝1＋eq \f(5,3)＝eq \f(8,3).∴d＝(S20－S10)－S10＝eq \f(2,3)，∴S40－S30＝1＋3×eq \f(2,3)＝3，∴S40＝8.故选B.
(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d＝________．
答案 5
解析 设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由
已知条件，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S奇＋S偶＝354，,S偶∶S奇＝32∶27，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S偶＝192，,S奇＝162.))
又因为S偶－S奇＝6d，所以d＝eq \f(192－162,6)＝5.
等差数列前n项和的性质
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
(1)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…是等差数列；
(2)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列；
(3)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(4)S2n－1＝(2n－1)an；
(5)若n为偶数，则S偶－S奇＝eq \f(nd,2)；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若m>1，且am－1＋am＋1－aeq \\al(2,m)－1＝0，S2m－1＝39，则m＝( )
A．39 B．20
C．19 D．10
答案 B
解析 数列{an}为等差数列，则am－1＋am＋1＝2am，则am－1＋am＋1－aeq \\al(2,m)－1＝0可化为2am－aeq \\al(2,m)－1＝0，解得am＝1.又S2m－1＝(2m－1)am＝39，则m＝20.故选B.
2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2022，eq \f(S2020,2020)－eq \f(S2014,2014)＝6，则S2022＝________．
答案 －2022
解析 由等差数列的性质可得eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也为等差数列，设其公差为d，则eq \f(S2020,2020)－eq \f(S2014,2014)＝6d＝6，∴d＝1，∴eq \f(S2022,2022)＝eq \f(S1,1)＋2021d＝－2022＋2021＝－1，∴S2022＝－2022.
角度 等差数列前n项和的最值问题
例5 等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a10，故当x＝7时，f(x)最小，即当n＝7时，Sn最小．
解法三：由解法一可知d＝－eq \f(2,13)a1.要使Sn最小，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤0，,an＋1≥0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋（n－1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,13)a1))≤0，,a1＋n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,13)a1))≥0，))
解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最小．
解法四：由S3＝S11，可得a4＋a5＋…＋a10＋a11＝0，即4(a7＋a8)＝0，故a7＋a8＝0，又由a10，所以a70，所以当n＝7时，Sn最小．
求等差数列前n项和最值的常用方法
(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.
(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．
(3)邻项变号法：当a1>0，d0，Sn为其前n项和，则数列{Sn}的最大项为( )
A．S23 B．S24
C．S25 D．S26
答案 C
解析 设等差数列的公差为d，∵3a8＝5a15，∴3a1＋21d＝5a1＋70d，∴a1＋eq \f(49,2)d＝0.解法一：a1>0，∴d0，a1＋25d＝a26