原阳县实验高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份原阳县实验高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．对于任意的平面向量，，，下列说法中正确的是( )
A.若且，则B.
C.若，且，则＝D.
2．在平行四边形中，为一条对角线，若，，则( )
A.B.C.D.
3．若，为复数，则“是实数”是“，互为共轭复数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4．已知，，，则与夹角的余弦值为( )
A.-1B.C.0D.1
5．已知与共线，且向量与向量垂直，则( )
A.B.C.D.
6．已知非零向量，满足，则( )
A.B.C.D.
7．如图，矩形中，，，与相交于点O，过点A作，垂足为E，则( )
A.B.3C.6D.9
二、多项选择题
8．在中，D，E，F分别是边，，的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是( )
A.B.
C.D.
9．已知点O是的重心，则下列说法中正确的有( )
A.B.
C.D.
10．下列说法中，错误的是( )
A.若，则或
B.向量与是共线向量，则四点A，B，C，D必在同一条直线上
C.向量与是平行向量
D.任何两个单位向量都是相等向量
11．下列说法中，正确的有( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则A，B，C三点共线
12．已知向量，，则( )
A.B.
C.在上的投影向量是D.在上的投影向量是
三、填空题
13．已知向量与的夹角为60°，，，则______.
14．如果平面向量，，则向量在上的投影向量为_____.
15．已知，且，为虚数单位，则的最大值是________.
四、双空题
16．在中，，点D在线段上，且，，则______；面积的最大值为______.
五、解答题
17．已知向量，，，.
（1）求的最小值及相应的t值；
（2）若与共线，求实数t.
18．已知向量，，设函数.
（1）求在上的单调增区间；
（2）若对任意，恒成立，求m的取值范围.
19．信阳南湾湖以源远流长的历史遗产，浓郁丰厚的民俗风情而著称；以幽、朴、秀、奇的独特风格，山、水、林、岛的完美和谐而闻名，是融自然景观、人文景观、森林生态环境、森林保健功能于一体，是河南省著名的省级风景区.如图，为迎接第九届开渔节，某渔船在湖面上A处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气，在小岛C的正北方向有一航标灯D距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达B处，测得，海里.
（1）求A处距离航标灯D的距离AD；
（2）求的值；
（3）为保护南湾湖水源自然环境，请写出两条建议（言之有物即可）.
20．如图，平行四边形ABCD中，，，H，M分别是，的中点，F为上一点，且.
（1）以，为基底表示向量与；
（2）若，，与的夹角为，求.
21．已知向量，，.
（1）若与向量垂直，求实数k的值；
（2）若向量，且与向量平行，求实数k的值.
22．的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求B；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：且，当为零向量时，则与不一定共线，即A错误；
由向量数量积的分配律可得：，即B正确；
因为，则，又，则或，即C错误；
取，，为非零向量，且，垂直，，不垂直，则，，即D错误.
故选：B.
2．答案：B
解析：在平行四边形中，，，
所以，
所以.
故选：B.
3．答案：B
解析：由题意，不妨设，，
若是实数，则
故，即，由于a，c不一定相等，故，不一定互为共轭复数，故充分性不成立；
若，互为共轭复数，则，故，故必要性成立.
因此“是实数”是“，互为共轭复数”的必要不充分条件.
故选：B.
4．答案：A
解析：因为，，，
所以，则，
所以.
故选：A.
5．答案：B
解析：因为，
所以，解得，
又因，
所以，解得，
所以，
故选：B.
6．答案：C
解析：因为，
所以.
因为，所以，
又因为，所以.
故选：C.
7．答案：B
解析：，
.
故选：B.
8．答案：C
解析：因为D，E，F分别是边，，的中点，点G为的重心，
所以B，D，C三点共线，A，F，B三点共线，A，E，C三点共线，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确
对于D，，故D错误.
故选：C.
9．答案：AB
解析：记D为BC中点，则O为AD靠近点D的三等分点
因为，，所以，A正确；
又，所以，B正确，C错误；
又，，所以，故D错误.
故选：AB.
10．答案：ABD
解析：向量是既有大小又有方向的量，若，则和大小相同，方向不一定相同，故选项A说法错误；
向量与是共线向量，则与方向相同或反向，点A，B，C，D可能在一条直线上，也可能组成平行四边形，故选项B说法错误；
向量与方向相反，是平行向量，故选项C说法正确；
单位向量模长相同，方向不一定相同，故选项D说法错误；
故选：ABD.
11．答案：BD
解析：A选项中也成立，故错误；
B选项中当时，，与任一向量平行，当时，，故正确；
C选项中时不平行，故错误；
D选项依据共线定理可知正确.
故选：BD.
12．答案：BC
解析：由已知可得，，.
对于A项，因为，故A项错误；
对于B项，因为，，所以，故B项正确；
对于C项，因为，，，
所以在上的投影向量是，故C项正确；
对于D项，，，
所以在上的投影向量是，故D项错误.
故选：BC.
13．答案：
解析：平面向量与的夹角为，，，
.
.
故答案为.
14．答案：
解析：由已知可得，，，
所以，，
所以，向量在上的投影向量为.
故答案为：.
15．答案：6
解析：因为，且，
表示以为圆心，以1为半径的圆上的点，
而表示圆上的点的距离，
其最大值为，
故答案为：6.
16．答案：；
解析：由正弦定理：，则
又，所以，即；
法一：，则，
所以
则，
即，
由基本不等式知：，即，
得，当且仅当时取等号，
所以；
法二：设，，
则，，，
在和中，由正弦定理：
，，
又，则，所以，
，
即
，
又，即
所以，得，则，
所以，
，则，
所以
因此，即面积的最大值为.
17．答案：（1）最小值为，
（2）
解析：（1）因为，，
所以，
所以.
当且仅当时取等号，即的最小值为，此时.
（2）因为，
又与共线，，
所以，
解得.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1），
当时，则.
由，可得，
故函数在上的单调增区间为.
（2）当时，则，
故当，即时，函数的最大值为，
当，即时，函数的最小值为0，
所以在上的最大值为1，
由于对任意，恒成立，故，
故m的取值范围为.
19．答案：（1）（海里）
（2）
（3）答案见解析
解析：（1），，，
在中由余弦定理得，
（海里）.
（2），由正弦定理得，
.
（3）不要向南湾湖里投扔垃圾；建立各种保护机制；防止水污染物直接排入水体；限制保护区内从事餐饮、住宿等经营活动；禁止垂钓、游泳等娱乐活动.
20．答案：（1），
（2）
解析：（1）平行四边形中，，，H，M是，的中点，，
，
（2），，与的夹角为，，
.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1），，
因为与向量垂直，所以，
所以，解得.
（2），
因为与向量平行，所以，解得.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题设及正弦定理得，
因为，所以,由，可得，
故，因为，
故，因为，则，因此；
（2）由题设及（1）知的面积，
由正弦定理得，
由于为锐角三角形，故，，
由（1）知，所以，故，从而
因此面积的取值范围是.