内蒙古呼和浩特市玉泉区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份内蒙古呼和浩特市玉泉区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（时间：100分钟满分：100分）
一、选择题（本大题共8小题，1-6题每小题2分：7、8题每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：∵，
∴不是最简二次根式，故B正确．
故选：B．
2. 下列运算，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
C．，此选项错误；
D．，此选项计算正确；
故选：D．
3. 某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（ ）
A. 3300mB. 2200mC. 1100mD. 550m
答案：B
解析：解：∵D，E为AC和BC的中点，
∴DE是的中位线，
∴AB=2DE=2200m，
故选B.
4. 如图，已知是的对角线交点，且，，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∴的周长为：．
故选：C．
5. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直平分四边形是菱形B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 有一个角是直角的平行四边形是正方形D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
答案：A
解析：解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题，故本选项正确；
B、对角线相等且平分的平行四边形是矩形，原命题是假命题，故本选项错误；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题，故本选项错误；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题，故本选项错误；
故选：A．
6. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 12
答案：C
解析：解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故选：C．
7. 宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A. 矩形ABFEB. 矩形EFCDC. 矩形EFGHD. 矩形DCGH
答案：D
解析：解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF中，
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
8. 如图，已知正方形的边长为4，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③；④的最小值为，其中正确结论有几个（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：C
解析：解：∵四边形是正方形，且边长为4，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，△PEB、△PFD都为等腰直角三角形，
∴，
∴，故①正确；
∴，故②正确；
连接PC、AF，如图所示：
∴PC=EF，
∵∠ABP=∠CBP=45°，AB=BC，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=PC=EF，
∵AF＞AP，
∴AP≠EF，故③不正确；
要使EF为最小，则PC为最小，则需满足PC⊥BD，
∴△BPC为等腰直角三角形，
∵BC=4，
∴，即，
∴，
∴的最小值为，故④正确；
故选C．
二、填空题(本大题共8小题，9-14题每小题2分；15、16题每小题3分，共18分，本题要求把正确的结果填在规定的横线上，不需要解答过程)
9. 使有意义的x的取值范围是______．
答案：
解析：解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须
．
故答案为：．
10. 如图，已知，数轴上点对应的数是______
答案：
解析：由勾股定理得，
∵，
∴，
∴数轴上点对应的数是，
故答案为：．
11. 若点、、、分别为四边形 各边的中点，分别连接，，、，则四边形的形状是________________．
答案：平行四边形
解析：解：四边形是平行四边形．
理由：连接，如图，
∵点、分别是、的中点，
∴，，
∵点、分别是、的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
12. 如图(1)，在某居民小区内有一块近似长方形的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，如图(2)，经过测量，，计算仅仅少走了____________步．(假设米为步)
答案：
解析：解：根据题意知：，，，
∴，
∴少走的距离是：，
∵米为步，
∴米为步，
∴仅仅少走了步．
故答案为：．
13. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，若，，则菱形的边长为_______，菱形的高为______．
答案： ①. 5 ②.
解析：解：四边形是菱形，且，，
，，，
．
菱形的面积，，
．
故答案为：；．
14. 如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为_____秒时，四边形是矩形．
答案：
解析：解：∵点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，设运动时间为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
当时，四边形是矩形，
∴，
∴，
故答案为：．
15. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____．
答案：3
解析：解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
∴大正方形的面积为：，
∴小正方形的面积为：，
．
故答案为：3．
16. 在平面直角坐标系中，有四个点，，，，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则________．
答案：或4
解析：解：∵，，
∴轴，
∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，，
∴，
当点在点左侧，如图1，则，
当点在点右侧，如图2，则，
故答案为：或4．
三、解答题(本大题共7小题，共64分解答题应写文字说明、计算过程或演算步骤)
17. 计算
（1）
（2）
（3）
（4）
答案：（1）
（2）
（3）
（4）
小问1解析：
解：原式
；
小问2解析：
解：原式
；
小问3解析：
解：原式
；
小问4解析：
解：原式
．
18. 先化简再求值∶ ，其中．
答案：，
解析：解：
，
当时，原式．
19. 如图，在四边形中，与交于点，，，、，垂足分别为，．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
小问1解析：
证明：∵、，
∴，
在和中，
，
∴；
小问2解析：
由（1）知：，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
20. 如图，某火车站内部墙面上有破损处（看作点A），现维修师傅需借助梯子完成维修工作．梯子的长度为，将其斜靠在这面墙上，测得梯子底部E离墙角N处，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量，此时梯子顶部D距离墙面破损处．
（1）该火车站墙面破损处A距离地面有多高？
（2）如果维修师傅要使梯子顶部到地面距离为4.8m．那么梯子底部需要向墙角方向移动多少米？
答案：（1）该火车站墙面破损处距离地面的高度为
（2）梯子底部需要向墙角方向移动
小问1解析：
解：根据题意，得在中，，，
由勾股定理，得．
∵，
∴．
答：该火车站墙面破损处距离地面的高度为．
小问2解析：
解：如图，此时是梯子移动后的位置．
∵在中，，．
∴由勾股定理，得．
∴．
答：梯子底部需要向墙角方向移动．
21. 如图，矩形的对角线相交于点O，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
答案：（1）见解析 （2）
小问1解析：
证明：
四边形是平行四边形
四边形是矩形
四边形是菱形；
小问2解析：
如图：连接OE，于CD相交于点M，
为等边三角形
平行四边形菱形
平分和
平行四边形为菱形
由勾股定理得
．
22. 已知：如图，在平行四边形中，，，，将沿所在直线翻折，使点落在点上，如果交于．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）求的长．
答案：（1）证明见解析
（2）
小问1解析：
证明：∵四边形是平行四边形，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴四边形是矩形；
小问2解析：
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵将沿所在直线翻折，使点落在点上，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴的长为．
23. 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．

（1）求证：；
（2）如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？ ；（填“成立”或“不成立”）；
（3）如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论是否成立呢？若成立请证明，若不成立说明理由．
答案：（1）见解析 （2）成立，理由见解析
（3）成立，证明见解析
小问1解析：
证明：如图1，取中点，连接，

∵，是边的中点，为中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
小问2解析：
成立，理由如下：
如图2，上截取，连接，

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
小问3解析：
成立．
证明：如图3，在的延长线上取一点，使，连接．

∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．