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第5章 投影与视图全章复习攻略与检测卷-2024年九年级数学上册讲义（北师大版）
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第5章 投影与视图全章复习攻略与检测卷【目录】倍速学习三种方法【3个概念】 1.平行投影2.中心投影 3.三种视图 【2个方法】 1.由三种视图还原几何体 2.分解图形法 【3种思想】 1.分类讨论思想2.方程思想3.建模思想 【检测卷】 【倍速学习三种方法】【3个概念】 1.平行投影【例1】（2023春•和平区期末）如图，已知太阳光线AC和DE是平行的，在同一时刻，如果将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，那么在太阳光照射下，其影子一样长．这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断△ABC≌△DFE的依据是（ ）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【答案】B【解答】解：依题意得：AC∥ED，AH⊥GT，DT⊥GT，AH＝DT，∴∠AGH＝∠DKT，∠AHG＝∠DTK＝90°，在△AGH和△DKT中，，∴△AGH≌△DKT（AAS）．故选：B．【变式】（2022秋•临渭区期末）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，已知AB＝5m，某一时刻AB在太阳光下的影子长BC＝3m．（1）在图中画出此时DE在太阳光下的影子EF；（2）在测量AB的影子长时，同时测量出EF＝6m，计算DE的长．【解答】解：（1）如图所示：EF即为所求；（2）由题意可得：＝，解得：DE＝10，答：DE的长为10m．2.中心投影 【例2】（2022秋•大东区期末）下列各种现象属于中心投影的是（ ）A．晚上人走在路灯下的影子 B．中午用来乘凉的树影 C．上午人走在路上的影子 D．阳光下旗杆的影子【答案】A【解答】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有A选项得到的投影为中心投影．故选：A．【变式】（2022秋•宝安区校级期中）如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，求小方行走的路程．【解答】解：∵AE⊥OD，GO⊥OD，∴EA∥GO，∴△AEB∽△OGB，∴＝，∴＝，解得AB＝2（m）；∵OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，∴DC＝5（m），同理可得△DFC∽△DGO，∴＝，即 ＝，解得AC＝7.5（m）．答：小方行走的路程AC为7.5m．3.三种视图 【例3】（2023•滕州市校级开学）一个由8个小立方块组成的立体图形如图所示，分别画出从它的正面、左面和上面看到的图形．【解答】解：如图：．【变式】．（2023秋·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）诚诚和同学们研究几何体的视图问题．(1)图1中的几何体是由若干个相同的小立方体搭成的，请画出该几何体的主视图；(2)图2是由若干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方体的个数，请画出这个几何体的左视图．【详解】（1）解：主视图如图所示：（2）解：左视图如图所示，【点睛】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．【2个方法】 1.由三种视图还原几何体 【例5】（2022春·九年级单元测试）如图所示的分别是从三个方向看某几何体得到的图形． (1)判断这个几何体的形状；(2)根据图中数据（单位：），求它的表面积（结果保留）．【答案】(1)圆柱体(2)【分析】（1）根据圆柱体三视图的特征直接判断即可；（2）从题中读出该圆柱体底面圆的直径为2，高为3，由此计算表面积即可．【详解】（1）解：由主视图和左视图可知，该图形只有一个面，且为柱状体，由俯视图可知该图形为圆柱体；（2）解：由题意，该圆柱体底面圆的直径为2，高为3，∴侧面积=，底面积=，∴表面积．【点睛】本题考查圆柱体的三视图识别，以及表面积计算，计算表面积时要注意上下两个底面，不要漏算是解题关键．【变式】（2021秋·福建漳州·九年级统考期中）如图所示为一几何体的三视图：(1)这个几何体是 ；(2)若长方形的高为10cm，正三角形的边长为4cm，求这个几何体的侧面积．【答案】(1)三棱柱(2)【分析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为三棱柱； （2）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为10cm，4cm，计算出一个长方形的面积，乘3即可．【详解】（1）解：这个几何体是三棱柱；（2）侧面积：．【点睛】此题考查从三视图判断几何体，掌握棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱是解决问题的关键．2.分解图形法 【例6】（2023•黄冈三模）如图的三视图对应的物体是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有D满足这两点，故选：D．【变式1】（2023•呼和浩特）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：根据主视图可知，这个组合体是上、下两个部分组成且上下两个部分的高度相当，上面是长方形，可能是圆柱体或长方体，由左视图可知，上下两个部分的宽度相等，且高度相当，由俯视图可知，上面是圆柱体，下面是长方体，综上所述，这个组合体上面是圆柱体，下面是长方体，且宽度相等，高度相当，所以选项C中的组合体符合题意，故选：C．【变式2】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图是某一几何体的俯视图与左视图，则这个几何体可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据俯视图是一个矩形，矩形中间是一个圆，可排除选项A、D；根据左视图是的上层是一个矩形，可排除选项B．【详解】解：如图是某一几何体的俯视图与左视图，则这个几何体可能为： ．故选：C．【点睛】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认识．【3种思想】 1.分类讨论思想【例7】（2023春·九年级单元测试）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，组成这个几何体的小正方体的个数可能是（ ）A．4个或5个 B．5个或6个 C．6个或7个 D．7个或8个【答案】B【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第二层小正方体的个数，相加即可．【详解】由俯视图易得最底层有4个小正方体，第二层左侧一列有1个或2个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体为4+1=5个或4+2=6个．故选：B．【点睛】考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．【变式】（2022春·九年级单元测试）已知一个由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则该几何体最多可以有 个小正方体． 【答案】7【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层正方体的可能的最多个数，相加即可．【详解】解：由俯视图可得最底层有4个正方体，由主视图第二层最多有3个正方体，那么最少有个立方体．故答案是：．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体．俯视图小正方形的个数即为最底层的小正方体的个数，主视图第二层小正方形的个数即为其余层数小正方体的最多个数．2.方程思想【例8】（2022秋·湖南株洲·九年级统考期中）某一时刻太阳光下身高的小明的影长为2m，同一时刻旗杆的影长为6m则旗杆的高度为（ ）A． B．8m C． D．7m【答案】A【分析】根据成比例关系可知，人身高比上人的影长等于旗杆长比上旗杆的影长，代入数据即可得出答案．【详解】解∶设旗杆高度为xm，有解得．故选∶ A．【点睛】本题考查了平行投影以及一元一次方程的应用，解题关键是理解在同一时刻物体的高与其影子长比值是相同的．【变式】（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，小明晚上由路A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是米，那么路灯的高度等于 米．【答案】【分析】根据题意可知：，当小明在处时，，即，当小明在处时，，即，由，可得，设，，可得，可得，再根据，可得：，问题随之得解．【详解】解：如图，根据题意可知：，∵,当小明在处时，，即，当小明在处时，，即，∵身高不变，即，∴，即，∵米，米，米，米，设，，∴，即，即，解得：（经检验，此根是原方程的解），即根据，可得：，解得，，（经检验，此根是原方程的解），即路灯A的高度米．故答案为：．【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．3.建模思想 【例9】（2022秋·陕西西安·九年级校联考期中）李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.6m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB．【答案】21.2m【分析】过点D作DN⊥AB，可得四边形CDME、ACDN是矩形，即可证明△DFM∽△DBN，从而得出BN，进而求得AB的长．【详解】解：作DN⊥AB.垂足为N,交EF于M,∴四边形CDME、ACDN是矩形，∴AN=ME=CD=1.2m，DN=AC=30m，DM=CE=0.6m，∴MF=EF-ME=1.6-1.2=0.4m，∴依题意知，EF∥AB，∴△DFM∽△DBN，∴，即： ，∴BN=20，∴AB=BN+AN=20+1.2=21.2答：楼高为21.2米．【点睛】本题考查了平行投影和相似三角形的应用，是中考常见题型，要熟练掌握．【变式1】（2022春·全国·九年级专题练习）小明在晚上由路灯走向路灯，当他走到处时，发现身后影子顶部正好触到路灯底部，当他向前再步行到达时，发现他的影子的顶点正好接触到路灯的底部．已知小明的身高是，两个路灯的高度都是，且．(1)求：两个路灯之间的距离；(2)小明在两个路灯之间行走时，在两个路灯下的影长之和是否为定值？如果是定值，直接写出此定值，如果不是定值，求说明理由．【答案】(1)两路灯之间的距离为米(2)两影长之和为定值，定值为米【分析】（1）根据题意结合图形可知，图中，在点处时，和相似，然后利用相似三角形对应边成比例列出比例式后即可求解；（2）设两影长之和为，利用相似比，可计算出在两个路灯之间行走时影长之和为定值．【详解】（1）解：由题意得，∵，∴∽，则 解得：，，故两路灯之间的距离为米；（2）解：两影长之和为定值，定值为米．理由：如图，设米． ∵，∴△CPK∽△EAK，△CPQ∽△HBQ，∴，，则，，∵∴，，解得，两影长之和为定值，定值为米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用及中心投影的知识，解题的关键是正确的根据题意作出图形．【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长为90cm，灯杆被阳光照射到的部分长为50cm，未被照射到的部分长为32cm．(1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度．(2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题：①求灯罩底面半径的长；②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积．【答案】(1)学校旗杆的高度为12m(2)①灯罩底面半径的长为24cm；②从正面看灯罩得到的图形面积为2688(cm2)，从上面看灯罩得到的图形面积为576π(cm2)【分析】（1）根据平行投影的性质，得到三角形相似，列式计算即可；（2）①易得：，得到，即可得解；②易得：，得到，证明，求出，进而求出的长，进而求出从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积即可．【详解】（1）解：由题意，可知：，∴，即：，∴；答：学校旗杆的高度为．（2）解：①根据题意可知，，∴，即．∴，∴灯罩底面半径的长为24 cm．②∵太阳光为平行光，∴，∴，由题意，可知：，，∴，∴，∵，∴，∴，即：，∴，∴，∴从正面看灯罩为矩形，面积为：，从上面看灯罩为圆形，面积为：．【点睛】本题考查平行投影，相似三角形的判定和性质，以及三视图．熟练掌握平行投影的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 【检测卷】一、单选题1．（2023·山东青岛·统考中考真题）一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】运用三种视图的空间方位进行解题．【详解】解：A、选项不符合三种视图，不符合题意；B、选项是主视图，不符合题意；C、选项是右视图，不符合题意；D、选项是左视图，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．2．（2022·黑龙江大庆·大庆外国语学校校考模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（ ） A． B． C． D．【答案】D【分析】由三视图得，判断此几何体为直四棱柱，从而可以求解．【详解】解：由三视图得，此几何体为直四棱柱，()．故选：D．【点睛】本题考查了通过三视图求几何体侧面积，掌握三视图与原几何体的关系是解题的关键．3．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）如图是由6个相同的小正方体搭建的几何体，该几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据俯视图是从上往下看到的图形即可解答．【详解】解：从上往下看，能看到两行，第一行有4个小正方形，第二行有一个小正方形，故选：D．【点睛】本题主要考查了俯视图，解题的关键是掌握俯视图是从上往下看到的图形．4．（2023春·江西吉安·九年级校考阶段练习）如图是某组合体的三视图，则该组合体是（ ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据三视图分别判断出两部分的几何体．【详解】解：根据正视图和俯视图可知，组合体上部分为一个圆柱体，根据俯视图和左视图可知，组合体下部分为一个长方体，故该组合体是有一个圆柱和长方体组合而成，选项A满足， 故选：A．【点睛】本题考查了组合体的三视图，解题的关键是掌握常见的几何体的三视图的特征，比如圆柱，圆锥之类．5．（2023春·江苏镇江·九年级统考阶段练习）如图，一个长方体从正面、上面看到的图形如图所示，则这个长方体的体积等于（ ） A．18 B．12 C．9 D．6【答案】D【分析】由主视图和俯视图知，该长方体的长为3、宽为1、高为2，根据长方体的体积公式即可得．【详解】解：由主视图和俯视图知，该长方体的长为3、宽为1、高为2，则这个长方体的体积为，故选：D．【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟练掌握长方体的三视图，并根据三视图得出其长、宽、高．6．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】太阳的位置和高度决定了影子的方向和长短．一天中，阳光下物体的影子变化规律是上午影子由长逐渐变短；下午影子由短逐渐变长．方向由西逐渐转向东．【详解】解：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西．太阳的高度变化规律是：低高低．影子位置的变化规律是：从西到东，影子的长短变化规律是：长短长．根据影子变化的特点，按时间顺序给这五张照片排序是．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行投影，了解物体在阳光下影子的变化规律是解答此题的关键．7．（2023·福建厦门·统考模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ） A．减少米 B．增加米 C．减少米 D．增加米【答案】A【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【详解】解：如图，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则， ∵，∴，则，∵米，米，则米，∴，设，∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图， 即，，米，∴，则，∴米，∴光源与小明的距离变化为：米，故选：A．【点睛】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．8．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，若再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置有个．（ ） A． B． C． D．【答案】A【分析】根据组合体的三视图逐项判断即可解答．【详解】解：再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置只有在图中的阴影部分． 故选：．【点睛】本题主要考查简单组合体的三视图、三视图的定义等知识点，掌握简单组合体的三视图的画法和形状是解决问题的关键．9．（2023·江西南昌·南昌市外国语学校校考一模）如图，是由27个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是的正方形，若拿掉若干个小立方块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（ ）A．9 B．10 C．12 D．15【答案】C【分析】拿掉若干个小立方块后保证几何体不倒掉，且三个视图仍都为33的正方形，所以最底下一层必须有9个小立方块，这样能保证俯视图仍为33的正方形，为保证主视图与左视图也为33的正方形，所以上面两层必须保留底面上一条对角线方向的三个立方块，即可得到最多能拿掉小立方块的个数.【详解】根据题意，拿掉若干个小立方块后，三个视图仍都为33的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为6 +6 = 12个，故选：C.【点睛】此题考查简单组合体的三视图，空间想象能力，能依据立体图形想象出拿掉小立方块后的三视图是解题的关键.10．（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（ ）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】A【分析】根据主视图和左视图分析即可．【详解】解：∵主视图有4个小正方体组成，左视图有3个小正方体组成，∴几何体的底层最少3个小正方体，第二层最少有1个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体的个数为个，故选：．【点睛】本题考查由几何体判断三视图，考查了对三视图的熟练掌握程度，也体现了对空间想象能力的考查，解题的关键是掌握“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．二、填空题11．（2023·宁夏吴忠·校考二模）一个直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个菱形，则这个直四棱柱的体积 ． 【答案】【分析】根据三视图得到底面是菱形，且对角线的长分别为，由此利用四棱柱体积计算公式求解即可．【详解】解：由三视图可知，该四棱柱的底面是一个菱形，该菱形的对角线长分别为，且该四棱柱的高为，∴这个直四棱柱的体积为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，菱形的面积，直棱柱的体积，灵活运用所学知识是解题的关键．12．（2023·四川·九年级专题练习）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个． 【答案】【分析】根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，即可求解．【详解】解：根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，如图所示， ∴搭成这个几何体的小立方块最多有，故答案为：．【点睛】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．13．（2023秋·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）如图，同一时刻小诚和大树的影子长分别为和，已知小诚身高，则大树的高度为 m． 【答案】3【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似；【详解】根据相同时刻的物高与影长成比例，设树的高度为，则解得，故这棵树的高是3米，故答案为：3．【点睛】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力．14．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图所示的是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积为 ．【答案】【分析】俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长×母线长÷2，从而得出答案．【详解】根据三视图可得：这个几何体为圆锥，∵直径为，圆锥母线长为∴侧面积；故答案为：．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，掌握圆锥的底面直径和母线长是解题的关键．15．（2023春·九年级单元测试）在同一时刻两根垂直于水平地面的木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿，它的影子，木竿的影子有一部分落在了墙上，则木竿的长度为 ．【答案】3m【分析】过N点作ND⊥PQ于D，根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比例式求解即可．【详解】解：如图：过N点作ND⊥PQ于D，∴四边形DPMN是矩形∴DN=PM,PD=MN∴，又∵AB=2.5，BC=2，DN=PM=1.6，NM=1，∴QD===2（m），∴PQ=QD+DP=QD+NM=2+1=3（m）．故答案为3m．【点睛】本题考查了平行投影；在运用投影的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型是解答本题的关键．16．（2022秋·山西大同·九年级大同市第三中学校校考阶段练习）如图，在A时测得某树的影长为4m，B时又测得该树的影长为16m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．【答案】8m【分析】根据题意，画出示意图，易得：，进而可得；即，代入数据可得答案．【详解】解：如图：过点C作，由题意得：△EFC是直角三角形，，∵，∴，∴，∴，∴；即，由题意得：，∴，（负值舍去），故答案为：8m．【点睛】本题考查了平行投影，相似三角形应用，通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小是平行投影性质在实际生活中的应用．17．（2023春·九年级单元测试）由个相同的正方体组成-一个立体图形，如图的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，设能取到的最大值是，则多项式的值是 ．【答案】-7【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数，得出的值，即可得出答案．【详解】解：由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层；由俯视图可知左侧一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，出可能两行都是两层．所以图中的小正方体最少4块，最多5块，能取到的最大值是5，即，故．故答案为：．【点睛】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．18．（2022·河北邯郸·校考三模）2022年2月20日北京冬奥会花样滑冰表演赛，中国男单一哥金博洋登场，他使用的地面光影直到结束后都让人意犹未尽．如图，设聚光灯O的底部为A，金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为． （1）在聚光灯下金博洋落在地面的影子是 （填写“平行投影”或“中心投影”）；（2）聚光灯距离地面的高度为 m．【答案】 中心投影 【分析】（1）根据中心投影的定义直接写出答案即可；（2）根据相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．【详解】解：（1）∵聚光灯光线是点光源发出的光线，∴在聚光灯下金博洋落在地面的影子是中心投影，故答案为：中心投影；（2）解：由题意得：，∴，∴，∵金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的应用及中心投影的定义的知识，解题的关键是从实际图形中抽象出相似三角形，难度不大．三、解答题19．（2022春·九年级单元测试）画出下面几何体从正面看、从左面看和从上面看的图形． 【答案】见解析【分析】分别画出从正面看、从左面看和从上面看的平面图形，即可．【详解】解：如图所示， 【点睛】本题主要考查从不同方向看组合题的图形，想象出各个方向看到的正方形的个数是关键．20．（2023秋·河南驻马店·九年级校考期末）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，数字表示在该位置小立方块的个数．请画出这个几何体的主视图和左视图． 【答案】见解析【分析】由俯视图可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，3，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，2；据此可画出图形．【详解】解：如图： 【点睛】本题考查了三视图的画法：由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．21．（2023·陕西咸阳·统考三模）某小组的项目式学习活动内容是测量某棵古树的高度，如图，在阳光下，某一时刻，古树的影子落在了地上和围墙上，落在地上的长度米，落在墙上的长度米，在古树的附近有一棵小树，同一时刻，小树的影长米，小树的高米．已知点N，P，B，D在一条水平线上，，，，请求出该古树的高度． 【答案】该古树的高度米【分析】作于点F，如图，可得米，米，然后根据同一时刻的物高与其影长成比例求出，再加上即得答案．【详解】解：作于点F，如图，∵，，∴四边形是矩形，∴米，米，根据同一时刻的物高与其影长成比例可得：，即，解得：米，∴（米）；答：该古树的高度米． 【点睛】本题考查了平行投影，正确理解题意、掌握求解的方法是解题的关键．22．（2023·浙江金华·统考一模）如图是用10个完全相同的小立方体搭成的几何体． (1)已知该几何体的主视图如图所示，请在空白的方格中画出它的左视图和俯视图．(2)若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭_______个小立方体．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）根据物体形状即可画出左视图有三列以及主视图、俯视图都有三列，进而画出图形；（2）可在最左侧前端放两个，后面再放一个，即可得出答案．【详解】（1）解：画出图如图所示： ；（2）解：保持主视图和俯视图不变，可在最左侧前端放两个，后面再放一个，最多还可以再搭3块小正方体，故答案为：3．【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．23．（2023春·广东佛山·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，为木杆在轴上的投影，，，过点作轴，垂足为点，交于点，求的长．【答案】9【分析】根据坐标得出，轴，、的值，根据相似三角形的性质得出答案．【详解】解：，．轴，，点，，，，即，，即的长为．【点睛】本题考查中心投影，理解中心投影的意义，掌握相似三角形的性质是正确解答的关键．24．（2022秋·甘肃兰州·九年级兰州十一中校考期末）如图，小亮想利用树影测量树高，他在某一时刻测得高为的竹竿影长为，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高，又测得地面部分的影长，请你帮助小亮求树高． 【答案】【分析】延长交延长线于点，根据同一时刻，物体与影长成正比可得，根据可得，可得，即可得出，由可求出的长，根据求出的长即可．【详解】解：如图所示，延长和相交于点，则就是树影长的一部分，∵某一时刻测得高为的竹竿影长为，∴，∵，∴，∴，即，∴∴，∴，∴树高为． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握同一时刻，物体与影长成正比及相似三角形判定定理是解题关键．25．（2023春·山东青岛·九年级统考开学考试）甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼高16米．当地中午12时，物高与影长的比是． (1)如图1，当地中午12时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距的长为_________米．(2)当地下午14时，物高与影长的比是．如图2，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子的长．【答案】(1)(2)米【分析】（1）根据物高与影长的比是列出比例式解答即可；（2）作于点F，则，根据即可求解．【详解】（1）解：由题意得：，即，解得，故答案为：；（2）解：如图，作于点F， 在中，，，物高与影长的比是，，，，即落在乙楼上的影子的长为米．【点睛】本题考查平行投影，根据物高与影长的比得出相关比例式是解题的关键．26．（2021·全国·九年级假期作业）一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从三个方向看到的几何体的形状图如图所示．（1）求A，B，C，D这4个方格位置上的小立方体的个数；（2）这个几何体是由多少块小立方体组成的？【答案】（1）A小立方体的个数是2，B小立方体的个数是1，C小立方体的个数是3，D小立方体的个数是2；（2）5【分析】（1）根据三视图解答即可；（2）根据三视图得出正方体的个数即可．【详解】（1）由三视图可得：从正面看有3列，每列小正方形数目分别为1，2，1，从左面看有2列，每列小正方形数目分别为1，2．从上面看有3列，每列小正方形数目分别为1，2，2．所以A小立方体的个数是2，B小立方体的个数是1，C小立方体的个数是3，D小立方体的个数是2，（2）这个几何体是由1+2+1+1＝5块小立方体组成的.【点睛】此题考查立体图形的构成，学生的空间观念很主要，在此类题型中，可以将从上面看的图形为主图形，分别根据从正面看、从左面看的图形依次写成每个小正方形中的几何体的个数，从而得到构成该立体图形的总个数.
第5章 投影与视图全章复习攻略与检测卷【目录】倍速学习三种方法【3个概念】 1.平行投影2.中心投影 3.三种视图 【2个方法】 1.由三种视图还原几何体 2.分解图形法 【3种思想】 1.分类讨论思想2.方程思想3.建模思想 【检测卷】 【倍速学习三种方法】【3个概念】 1.平行投影【例1】（2023春•和平区期末）如图，已知太阳光线AC和DE是平行的，在同一时刻，如果将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，那么在太阳光照射下，其影子一样长．这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断△ABC≌△DFE的依据是（ ）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【答案】B【解答】解：依题意得：AC∥ED，AH⊥GT，DT⊥GT，AH＝DT，∴∠AGH＝∠DKT，∠AHG＝∠DTK＝90°，在△AGH和△DKT中，，∴△AGH≌△DKT（AAS）．故选：B．【变式】（2022秋•临渭区期末）如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，已知AB＝5m，某一时刻AB在太阳光下的影子长BC＝3m．（1）在图中画出此时DE在太阳光下的影子EF；（2）在测量AB的影子长时，同时测量出EF＝6m，计算DE的长．【解答】解：（1）如图所示：EF即为所求；（2）由题意可得：＝，解得：DE＝10，答：DE的长为10m．2.中心投影 【例2】（2022秋•大东区期末）下列各种现象属于中心投影的是（ ）A．晚上人走在路灯下的影子 B．中午用来乘凉的树影 C．上午人走在路上的影子 D．阳光下旗杆的影子【答案】A【解答】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光，在各选项中只有A选项得到的投影为中心投影．故选：A．【变式】（2022秋•宝安区校级期中）如图，一路灯距地面5.6米，身高1.6米的小方从距离灯的底部（点O）5米的A处，沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，求小方行走的路程．【解答】解：∵AE⊥OD，GO⊥OD，∴EA∥GO，∴△AEB∽△OGB，∴＝，∴＝，解得AB＝2（m）；∵OA所在的直线行走到点C时，人影长度增长3米，∴DC＝5（m），同理可得△DFC∽△DGO，∴＝，即 ＝，解得AC＝7.5（m）．答：小方行走的路程AC为7.5m．3.三种视图 【例3】（2023•滕州市校级开学）一个由8个小立方块组成的立体图形如图所示，分别画出从它的正面、左面和上面看到的图形．【解答】解：如图：．【变式】．（2023秋·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）诚诚和同学们研究几何体的视图问题．(1)图1中的几何体是由若干个相同的小立方体搭成的，请画出该几何体的主视图；(2)图2是由若干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方体的个数，请画出这个几何体的左视图．【详解】（1）解：主视图如图所示：（2）解：左视图如图所示，【点睛】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．【2个方法】 1.由三种视图还原几何体 【例5】（2022春·九年级单元测试）如图所示的分别是从三个方向看某几何体得到的图形． (1)判断这个几何体的形状；(2)根据图中数据（单位：），求它的表面积（结果保留）．【答案】(1)圆柱体(2)【分析】（1）根据圆柱体三视图的特征直接判断即可；（2）从题中读出该圆柱体底面圆的直径为2，高为3，由此计算表面积即可．【详解】（1）解：由主视图和左视图可知，该图形只有一个面，且为柱状体，由俯视图可知该图形为圆柱体；（2）解：由题意，该圆柱体底面圆的直径为2，高为3，∴侧面积=，底面积=，∴表面积．【点睛】本题考查圆柱体的三视图识别，以及表面积计算，计算表面积时要注意上下两个底面，不要漏算是解题关键．【变式】（2021秋·福建漳州·九年级统考期中）如图所示为一几何体的三视图：(1)这个几何体是 ；(2)若长方形的高为10cm，正三角形的边长为4cm，求这个几何体的侧面积．【答案】(1)三棱柱(2)【分析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为三棱柱； （2）侧面积为3个长方形，它的长和宽分别为10cm，4cm，计算出一个长方形的面积，乘3即可．【详解】（1）解：这个几何体是三棱柱；（2）侧面积：．【点睛】此题考查从三视图判断几何体，掌握棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱是解决问题的关键．2.分解图形法 【例6】（2023•黄冈三模）如图的三视图对应的物体是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有D满足这两点，故选：D．【变式1】（2023•呼和浩特）如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：根据主视图可知，这个组合体是上、下两个部分组成且上下两个部分的高度相当，上面是长方形，可能是圆柱体或长方体，由左视图可知，上下两个部分的宽度相等，且高度相当，由俯视图可知，上面是圆柱体，下面是长方体，综上所述，这个组合体上面是圆柱体，下面是长方体，且宽度相等，高度相当，所以选项C中的组合体符合题意，故选：C．【变式2】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图是某一几何体的俯视图与左视图，则这个几何体可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据俯视图是一个矩形，矩形中间是一个圆，可排除选项A、D；根据左视图是的上层是一个矩形，可排除选项B．【详解】解：如图是某一几何体的俯视图与左视图，则这个几何体可能为： ．故选：C．【点睛】本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认识．【3种思想】 1.分类讨论思想【例7】（2023春·九年级单元测试）由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，组成这个几何体的小正方体的个数可能是（ ）A．4个或5个 B．5个或6个 C．6个或7个 D．7个或8个【答案】B【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第二层小正方体的个数，相加即可．【详解】由俯视图易得最底层有4个小正方体，第二层左侧一列有1个或2个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体为4+1=5个或4+2=6个．故选：B．【点睛】考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．【变式】（2022春·九年级单元测试）已知一个由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的左视图和俯视图如图所示，则该几何体最多可以有 个小正方体． 【答案】7【分析】这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层正方体的可能的最多个数，相加即可．【详解】解：由俯视图可得最底层有4个正方体，由主视图第二层最多有3个正方体，那么最少有个立方体．故答案是：．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体．俯视图小正方形的个数即为最底层的小正方体的个数，主视图第二层小正方形的个数即为其余层数小正方体的最多个数．2.方程思想【例8】（2022秋·湖南株洲·九年级统考期中）某一时刻太阳光下身高的小明的影长为2m，同一时刻旗杆的影长为6m则旗杆的高度为（ ）A． B．8m C． D．7m【答案】A【分析】根据成比例关系可知，人身高比上人的影长等于旗杆长比上旗杆的影长，代入数据即可得出答案．【详解】解∶设旗杆高度为xm，有解得．故选∶ A．【点睛】本题考查了平行投影以及一元一次方程的应用，解题关键是理解在同一时刻物体的高与其影子长比值是相同的．【变式】（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，小明晚上由路A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，已知小明的身高是米，那么路灯的高度等于 米．【答案】【分析】根据题意可知：，当小明在处时，，即，当小明在处时，，即，由，可得，设，，可得，可得，再根据，可得：，问题随之得解．【详解】解：如图，根据题意可知：，∵,当小明在处时，，即，当小明在处时，，即，∵身高不变，即，∴，即，∵米，米，米，米，设，，∴，即，即，解得：（经检验，此根是原方程的解），即根据，可得：，解得，，（经检验，此根是原方程的解），即路灯A的高度米．故答案为：．【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．3.建模思想 【例9】（2022秋·陕西西安·九年级校联考期中）李航想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，李航边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得李航落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.6m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）．已知李航的身高EF是1.6m，请你帮李航求出楼高AB．【答案】21.2m【分析】过点D作DN⊥AB，可得四边形CDME、ACDN是矩形，即可证明△DFM∽△DBN，从而得出BN，进而求得AB的长．【详解】解：作DN⊥AB.垂足为N,交EF于M,∴四边形CDME、ACDN是矩形，∴AN=ME=CD=1.2m，DN=AC=30m，DM=CE=0.6m，∴MF=EF-ME=1.6-1.2=0.4m，∴依题意知，EF∥AB，∴△DFM∽△DBN，∴，即： ，∴BN=20，∴AB=BN+AN=20+1.2=21.2答：楼高为21.2米．【点睛】本题考查了平行投影和相似三角形的应用，是中考常见题型，要熟练掌握．【变式1】（2022春·全国·九年级专题练习）小明在晚上由路灯走向路灯，当他走到处时，发现身后影子顶部正好触到路灯底部，当他向前再步行到达时，发现他的影子的顶点正好接触到路灯的底部．已知小明的身高是，两个路灯的高度都是，且．(1)求：两个路灯之间的距离；(2)小明在两个路灯之间行走时，在两个路灯下的影长之和是否为定值？如果是定值，直接写出此定值，如果不是定值，求说明理由．【答案】(1)两路灯之间的距离为米(2)两影长之和为定值，定值为米【分析】（1）根据题意结合图形可知，图中，在点处时，和相似，然后利用相似三角形对应边成比例列出比例式后即可求解；（2）设两影长之和为，利用相似比，可计算出在两个路灯之间行走时影长之和为定值．【详解】（1）解：由题意得，∵，∴∽，则 解得：，，故两路灯之间的距离为米；（2）解：两影长之和为定值，定值为米．理由：如图，设米． ∵，∴△CPK∽△EAK，△CPQ∽△HBQ，∴，，则，，∵∴，，解得，两影长之和为定值，定值为米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用及中心投影的知识，解题的关键是正确的根据题意作出图形．【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长为90cm，灯杆被阳光照射到的部分长为50cm，未被照射到的部分长为32cm．(1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度．(2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题：①求灯罩底面半径的长；②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积．【答案】(1)学校旗杆的高度为12m(2)①灯罩底面半径的长为24cm；②从正面看灯罩得到的图形面积为2688(cm2)，从上面看灯罩得到的图形面积为576π(cm2)【分析】（1）根据平行投影的性质，得到三角形相似，列式计算即可；（2）①易得：，得到，即可得解；②易得：，得到，证明，求出，进而求出的长，进而求出从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积即可．【详解】（1）解：由题意，可知：，∴，即：，∴；答：学校旗杆的高度为．（2）解：①根据题意可知，，∴，即．∴，∴灯罩底面半径的长为24 cm．②∵太阳光为平行光，∴，∴，由题意，可知：，，∴，∴，∵，∴，∴，即：，∴，∴，∴从正面看灯罩为矩形，面积为：，从上面看灯罩为圆形，面积为：．【点睛】本题考查平行投影，相似三角形的判定和性质，以及三视图．熟练掌握平行投影的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 【检测卷】一、单选题1．（2023·山东青岛·统考中考真题）一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】运用三种视图的空间方位进行解题．【详解】解：A、选项不符合三种视图，不符合题意；B、选项是主视图，不符合题意；C、选项是右视图，不符合题意；D、选项是左视图，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．2．（2022·黑龙江大庆·大庆外国语学校校考模拟预测）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（ ） A． B． C． D．【答案】D【分析】由三视图得，判断此几何体为直四棱柱，从而可以求解．【详解】解：由三视图得，此几何体为直四棱柱，()．故选：D．【点睛】本题考查了通过三视图求几何体侧面积，掌握三视图与原几何体的关系是解题的关键．3．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）如图是由6个相同的小正方体搭建的几何体，该几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据俯视图是从上往下看到的图形即可解答．【详解】解：从上往下看，能看到两行，第一行有4个小正方形，第二行有一个小正方形，故选：D．【点睛】本题主要考查了俯视图，解题的关键是掌握俯视图是从上往下看到的图形．4．（2023春·江西吉安·九年级校考阶段练习）如图是某组合体的三视图，则该组合体是（ ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据三视图分别判断出两部分的几何体．【详解】解：根据正视图和俯视图可知，组合体上部分为一个圆柱体，根据俯视图和左视图可知，组合体下部分为一个长方体，故该组合体是有一个圆柱和长方体组合而成，选项A满足， 故选：A．【点睛】本题考查了组合体的三视图，解题的关键是掌握常见的几何体的三视图的特征，比如圆柱，圆锥之类．5．（2023春·江苏镇江·九年级统考阶段练习）如图，一个长方体从正面、上面看到的图形如图所示，则这个长方体的体积等于（ ） A．18 B．12 C．9 D．6【答案】D【分析】由主视图和俯视图知，该长方体的长为3、宽为1、高为2，根据长方体的体积公式即可得．【详解】解：由主视图和俯视图知，该长方体的长为3、宽为1、高为2，则这个长方体的体积为，故选：D．【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟练掌握长方体的三视图，并根据三视图得出其长、宽、高．6．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校联考期中）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】太阳的位置和高度决定了影子的方向和长短．一天中，阳光下物体的影子变化规律是上午影子由长逐渐变短；下午影子由短逐渐变长．方向由西逐渐转向东．【详解】解：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西．太阳的高度变化规律是：低高低．影子位置的变化规律是：从西到东，影子的长短变化规律是：长短长．根据影子变化的特点，按时间顺序给这五张照片排序是．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行投影，了解物体在阳光下影子的变化规律是解答此题的关键．7．（2023·福建厦门·统考模拟预测）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．图中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁1米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米．在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ） A．减少米 B．增加米 C．减少米 D．增加米【答案】A【分析】根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【详解】解：如图，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则， ∵，∴，则，∵米，米，则米，∴，设，∵在小明不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图， 即，，米，∴，则，∴米，∴光源与小明的距离变化为：米，故选：A．【点睛】此题考查了中心投影，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．8．（2023春·山东烟台·九年级统考期中）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，若再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置有个．（ ） A． B． C． D．【答案】A【分析】根据组合体的三视图逐项判断即可解答．【详解】解：再增加一块相同的正方体，使主视图和左视图都不变，第五块正方体摆放的位置只有在图中的阴影部分． 故选：．【点睛】本题主要考查简单组合体的三视图、三视图的定义等知识点，掌握简单组合体的三视图的画法和形状是解决问题的关键．9．（2023·江西南昌·南昌市外国语学校校考一模）如图，是由27个相同的小立方块搭成的几何体，它的三个视图是的正方形，若拿掉若干个小立方块（几何体不倒掉），其三个视图仍都为的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为（ ）A．9 B．10 C．12 D．15【答案】C【分析】拿掉若干个小立方块后保证几何体不倒掉，且三个视图仍都为33的正方形，所以最底下一层必须有9个小立方块，这样能保证俯视图仍为33的正方形，为保证主视图与左视图也为33的正方形，所以上面两层必须保留底面上一条对角线方向的三个立方块，即可得到最多能拿掉小立方块的个数.【详解】根据题意，拿掉若干个小立方块后，三个视图仍都为33的正方形，则最多能拿掉小立方块的个数为6 +6 = 12个，故选：C.【点睛】此题考查简单组合体的三视图，空间想象能力，能依据立体图形想象出拿掉小立方块后的三视图是解题的关键.10．（2023·黑龙江绥化·校考模拟预测）如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（ ）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】A【分析】根据主视图和左视图分析即可．【详解】解：∵主视图有4个小正方体组成，左视图有3个小正方体组成，∴几何体的底层最少3个小正方体，第二层最少有1个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体的个数为个，故选：．【点睛】本题考查由几何体判断三视图，考查了对三视图的熟练掌握程度，也体现了对空间想象能力的考查，解题的关键是掌握“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．二、填空题11．（2023·宁夏吴忠·校考二模）一个直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个菱形，则这个直四棱柱的体积 ． 【答案】【分析】根据三视图得到底面是菱形，且对角线的长分别为，由此利用四棱柱体积计算公式求解即可．【详解】解：由三视图可知，该四棱柱的底面是一个菱形，该菱形的对角线长分别为，且该四棱柱的高为，∴这个直四棱柱的体积为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，菱形的面积，直棱柱的体积，灵活运用所学知识是解题的关键．12．（2023·四川·九年级专题练习）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个． 【答案】【分析】根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，即可求解．【详解】解：根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，如图所示， ∴搭成这个几何体的小立方块最多有，故答案为：．【点睛】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．13．（2023秋·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）如图，同一时刻小诚和大树的影子长分别为和，已知小诚身高，则大树的高度为 m． 【答案】3【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似；【详解】根据相同时刻的物高与影长成比例，设树的高度为，则解得，故这棵树的高是3米，故答案为：3．【点睛】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比，考查利用所学知识解决实际问题的能力．14．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图所示的是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积为 ．【答案】【分析】俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长×母线长÷2，从而得出答案．【详解】根据三视图可得：这个几何体为圆锥，∵直径为，圆锥母线长为∴侧面积；故答案为：．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，掌握圆锥的底面直径和母线长是解题的关键．15．（2023春·九年级单元测试）在同一时刻两根垂直于水平地面的木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿，它的影子，木竿的影子有一部分落在了墙上，则木竿的长度为 ．【答案】3m【分析】过N点作ND⊥PQ于D，根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比例式求解即可．【详解】解：如图：过N点作ND⊥PQ于D，∴四边形DPMN是矩形∴DN=PM,PD=MN∴，又∵AB=2.5，BC=2，DN=PM=1.6，NM=1，∴QD===2（m），∴PQ=QD+DP=QD+NM=2+1=3（m）．故答案为3m．【点睛】本题考查了平行投影；在运用投影的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型是解答本题的关键．16．（2022秋·山西大同·九年级大同市第三中学校校考阶段练习）如图，在A时测得某树的影长为4m，B时又测得该树的影长为16m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ．【答案】8m【分析】根据题意，画出示意图，易得：，进而可得；即，代入数据可得答案．【详解】解：如图：过点C作，由题意得：△EFC是直角三角形，，∵，∴，∴，∴，∴；即，由题意得：，∴，（负值舍去），故答案为：8m．【点睛】本题考查了平行投影，相似三角形应用，通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小是平行投影性质在实际生活中的应用．17．（2023春·九年级单元测试）由个相同的正方体组成-一个立体图形，如图的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，设能取到的最大值是，则多项式的值是 ．【答案】-7【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数，得出的值，即可得出答案．【详解】解：由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层；由俯视图可知左侧一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，出可能两行都是两层．所以图中的小正方体最少4块，最多5块，能取到的最大值是5，即，故．故答案为：．【点睛】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．18．（2022·河北邯郸·校考三模）2022年2月20日北京冬奥会花样滑冰表演赛，中国男单一哥金博洋登场，他使用的地面光影直到结束后都让人意犹未尽．如图，设聚光灯O的底部为A，金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为． （1）在聚光灯下金博洋落在地面的影子是 （填写“平行投影”或“中心投影”）；（2）聚光灯距离地面的高度为 m．【答案】 中心投影 【分析】（1）根据中心投影的定义直接写出答案即可；（2）根据相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．【详解】解：（1）∵聚光灯光线是点光源发出的光线，∴在聚光灯下金博洋落在地面的影子是中心投影，故答案为：中心投影；（2）解：由题意得：，∴，∴，∵金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的应用及中心投影的定义的知识，解题的关键是从实际图形中抽象出相似三角形，难度不大．三、解答题19．（2022春·九年级单元测试）画出下面几何体从正面看、从左面看和从上面看的图形． 【答案】见解析【分析】分别画出从正面看、从左面看和从上面看的平面图形，即可．【详解】解：如图所示， 【点睛】本题主要考查从不同方向看组合题的图形，想象出各个方向看到的正方形的个数是关键．20．（2023秋·河南驻马店·九年级校考期末）如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，数字表示在该位置小立方块的个数．请画出这个几何体的主视图和左视图． 【答案】见解析【分析】由俯视图可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，3，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，2；据此可画出图形．【详解】解：如图： 【点睛】本题考查了三视图的画法：由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．21．（2023·陕西咸阳·统考三模）某小组的项目式学习活动内容是测量某棵古树的高度，如图，在阳光下，某一时刻，古树的影子落在了地上和围墙上，落在地上的长度米，落在墙上的长度米，在古树的附近有一棵小树，同一时刻，小树的影长米，小树的高米．已知点N，P，B，D在一条水平线上，，，，请求出该古树的高度． 【答案】该古树的高度米【分析】作于点F，如图，可得米，米，然后根据同一时刻的物高与其影长成比例求出，再加上即得答案．【详解】解：作于点F，如图，∵，，∴四边形是矩形，∴米，米，根据同一时刻的物高与其影长成比例可得：，即，解得：米，∴（米）；答：该古树的高度米． 【点睛】本题考查了平行投影，正确理解题意、掌握求解的方法是解题的关键．22．（2023·浙江金华·统考一模）如图是用10个完全相同的小立方体搭成的几何体． (1)已知该几何体的主视图如图所示，请在空白的方格中画出它的左视图和俯视图．(2)若保持主视图和俯视图不变，最多还可以再搭_______个小立方体．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）根据物体形状即可画出左视图有三列以及主视图、俯视图都有三列，进而画出图形；（2）可在最左侧前端放两个，后面再放一个，即可得出答案．【详解】（1）解：画出图如图所示： ；（2）解：保持主视图和俯视图不变，可在最左侧前端放两个，后面再放一个，最多还可以再搭3块小正方体，故答案为：3．【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．23．（2023春·广东佛山·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，为木杆在轴上的投影，，，过点作轴，垂足为点，交于点，求的长．【答案】9【分析】根据坐标得出，轴，、的值，根据相似三角形的性质得出答案．【详解】解：，．轴，，点，，，，即，，即的长为．【点睛】本题考查中心投影，理解中心投影的意义，掌握相似三角形的性质是正确解答的关键．24．（2022秋·甘肃兰州·九年级兰州十一中校考期末）如图，小亮想利用树影测量树高，他在某一时刻测得高为的竹竿影长为，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高，又测得地面部分的影长，请你帮助小亮求树高． 【答案】【分析】延长交延长线于点，根据同一时刻，物体与影长成正比可得，根据可得，可得，即可得出，由可求出的长，根据求出的长即可．【详解】解：如图所示，延长和相交于点，则就是树影长的一部分，∵某一时刻测得高为的竹竿影长为，∴，∵，∴，∴，即，∴∴，∴，∴树高为． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握同一时刻，物体与影长成正比及相似三角形判定定理是解题关键．25．（2023春·山东青岛·九年级统考开学考试）甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼高16米．当地中午12时，物高与影长的比是． (1)如图1，当地中午12时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距的长为_________米．(2)当地下午14时，物高与影长的比是．如图2，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子的长．【答案】(1)(2)米【分析】（1）根据物高与影长的比是列出比例式解答即可；（2）作于点F，则，根据即可求解．【详解】（1）解：由题意得：，即，解得，故答案为：；（2）解：如图，作于点F， 在中，，，物高与影长的比是，，，，即落在乙楼上的影子的长为米．【点睛】本题考查平行投影，根据物高与影长的比得出相关比例式是解题的关键．26．（2021·全国·九年级假期作业）一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从三个方向看到的几何体的形状图如图所示．（1）求A，B，C，D这4个方格位置上的小立方体的个数；（2）这个几何体是由多少块小立方体组成的？【答案】（1）A小立方体的个数是2，B小立方体的个数是1，C小立方体的个数是3，D小立方体的个数是2；（2）5【分析】（1）根据三视图解答即可；（2）根据三视图得出正方体的个数即可．【详解】（1）由三视图可得：从正面看有3列，每列小正方形数目分别为1，2，1，从左面看有2列，每列小正方形数目分别为1，2．从上面看有3列，每列小正方形数目分别为1，2，2．所以A小立方体的个数是2，B小立方体的个数是1，C小立方体的个数是3，D小立方体的个数是2，（2）这个几何体是由1+2+1+1＝5块小立方体组成的.【点睛】此题考查立体图形的构成，学生的空间观念很主要，在此类题型中，可以将从上面看的图形为主图形，分别根据从正面看、从左面看的图形依次写成每个小正方形中的几何体的个数，从而得到构成该立体图形的总个数.
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