河南省九师联考2024届高三上学期10月质量检测数学试卷(含答案)

这是一份河南省九师联考2024届高三上学期10月质量检测数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数z满足,则( )
A.B.2C.D.
2．设集合,,则( )
A.B.C.D.
3．已知是角的终边上一点,则( )
A.B.C.D.
4．已知平面向量,和实数,则“”是“与共线”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．扇子是引风用品,夏令必备之物.我国传统扇文化源远流长,是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具,后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多,受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇,是用竹木做扇骨,用特殊纸或绫绢做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2）,若图2中,D,E分别在BA,BC上,,的长为l,则该折扇的扇面ADEC的面积为( )
A.B.C.D.
6．已知,,,则( )
A.B.C.D.
7．如图,已知两个单位向量,和向量,.与的夹角为,且,与的夹角为,若,则( )
A.B.C.1D.
8．已知函数有三个零点,,,且,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数为的两个极值点,且的最小值为,直线为图象的一条对称轴,将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,则( )
A.B.
C.的图象关于点对称D.的图象关于点对称
10．下列式子中最小值为4的是( )
A.B.
C.D.
11．已知函数的定义域为R,其导函数为,,,且为奇函数,若,则( )
A.B.4为的一个周期
C.D.
12．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,P为内一点,则下列命题正确的是( )
A.若,则的面积与的面积之比是
B.若,,,则满足条件的三角形有两个
C.若,则为等腰三角形
D.若点P是的重心,且,则为直角三角形
三、填空题
13．已知函数,则曲线在点处的切线方程为________.
14．________.
15．函数的值域为________.
16．函数的最大值为M,最小值为m,若,则________.
四、解答题
17．已知向量,,函数.
（1）求的最小正周期和单调递减区间;
（2）在中,,,,求边AC的长.
18．已知,且是偶函数.
（1）求m的值;
（2）若关于x的不等式在R上有解,求实数a的最大整数值.
19．已知是方程的根.
（1）求的值;
（2）若是第四象限角,,求的值.
20．南京玄武湖号称“金陵明珠”,是我国仅存的皇家园林湖泊.在玄武湖的一角有大片的荷花,每到夏季,荷花飘香,令人陶醉.夏天的一个傍晚,小胡和朋友游玄武湖,发现观赏荷花只能在岸边,无法深入其中,影响观赏荷花的乐趣,于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形,如图所示）设计一些栈道和一个观景台,观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直,P与O,C不重合）,通过栈道把,,,连接起来,使人行在其中,犹如置身花海之感.已知,栈道总长度为函数.
（1）求;
（2）若栈道的造价为每米5万元,试确定观景台P的位置,使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计）,并求出实现该愿景的建造费用的最小值.
21．在锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为的面积,且.
（1）求的值;
（2）若,证明:.
22．已知函数为其导函数.
（1）求在上极值点的个数;
（2）若对恒成立,求a的值.
参考答案
1．答案：A
解析：复数z满足,则,.
故选:A
2．答案：B
解析：由题意得,,
则,则,故A错误;
,或,则,故B正确;
又,,故C错误;
,故D错误.
故选:B.
3．答案：B
解析：因为是角的终边上一点,
所以,,
则,
故选:B.
4．答案：A
解析：若,则与共线,可知充分性成立;
若与共线,例如,,则不成立,可知必要性不成立;
所以“”是“与共线”的充分不必要条件.
故选:A.
5．答案：D
解析：依题意,,,
所以,
所以该折扇的扇面ADEC的面积为.
故选:D
6．答案：C
解析：因为,,,
可知,,
且在定义域内单调递减,则,即,
所以.
故选:C.
7．答案：D
解析：如图所示,建立平面直角坐标系,则,
又,,,结合三角函数的定义易得,
而,
,
所以,
故,
即.
故选:D
8．答案：D
解析：令,得,
当时,,即或,只有2个零点,不合题意,故,
又,
所以,
设,且,
则,令,解得,且,
当时,,则单调递减,
当时,,则单调递减,
当时,,则单调递增,
则在的最小值为,
画出简图,如图所示,
所以当时,,当时,,
设,则,
变形为,
记,令,则,,
画出简图,如图所示,
①当时,只有一个根,
则只有一个根,不合题意;
②当时,有两个根,,
则有一个根,有两个根,符合题意;
③当时,有两个根,,
则有一个根,有一个根,不合题意;
综上所述,,即,
故选:D.
9．答案：BD
解析：选项A,因为,为的两个极值点,且的最小值为,
所以的周期,所以,故A错误;
则,
选项B,由为图象的一条对称轴,
所以,即,
因为,所以,故B正确;
则,
将的图象向左平移个单位长度,得,
选项C,若的图象关于点对称,则,
但,故C错误;
选项D,由,
得,
即的图象关于点对称,故D正确.
故选:BD.
10．答案：BC
解析：对于选项A:因为,则,
当且仅当,即时等号成立,
但,所以的最小值不为4,故A错误;
对于选项B:因为,,则,
当且仅当,即时,等号成立,
所以的最小值为4,故B正确;
对于选项C:因为,,
则,
当且仅当,即时,等号成立,故C成立;
对于选项D:令,可得,
所以4不是的最小值,故D错误;
故选:BC.
11．答案：ABD
解析：因为为奇函数,所以,
选项A,令,可得,故A正确;
选项B,由,得,
又已知,则,
即,
所以,
即函数的一个周期为,故B正确;
选项C,由,两边求导得,
令,得,,故C错误;
选项D,由,两边求导得,
令,得,
由,两边求导得,
故的一个周期为4,,故D正确.
故选:ABD.
12．答案：ACD
解析：对于A,如图,点P为内任意一点,延长AP交BC于点Q,则,则,
所以
所以,
所以,
即,
又,
所以,故A正确;
对于B,由余弦定理得,即,
解得或（舍去）,
所以满足条件的三角形只有一个,故B错误;
对于C,由得,,
所以,
因为,
所以,即,
所以为等腰三角形,故C正确;
对于D,因为点P是的重心,
所以,即,
所以,即,
所以,解得,
因为,
所以,所以为直角三角形,故D正确;
故选:ACD.
13．答案：
解析：因为,则,可得,
即切点坐标为,斜率,
所以曲线在点处的切线方程为,即.
故答案为:.
14．答案：
解析：
.
故.
故答案为:.
15．答案：
解析：设,
因为,则,
可知,
可得函数,
则对任意恒成立,
所以在上单调递增,且,
所以该函数的值域为.
故答案为:.
16．答案：1
解析：,
设,则,
记,
因为,
所以是在上的奇函数,最大值为,最小值为,
所以,
又因为,
所以,
故答案为:1.
17．答案：（1）;
（2）
解析：（1）由题意得
,
所以的最小正周期,
令,解得,
所以的单调递减区间为
（2）由（1）知,,
则,由,得,
则,解得,
又由,得,已知,
则由正弦定理,
得.
18．答案：（1）
（2）5
解析：（1）函数定义域为R,由函数为偶函数,有,
即,则有,
即,得,所以.
（2）由（1）可知,,
则,
设,
依题意有,
由基本不等式,,当且仅当,即时等号成立,
令,则,有,
由二次函数的性质可知在上单调递减,在上单调递增,
,则有,得,
所以实数a的最大整数值为5.
19．答案：（1）当在第三象限时,值为;当在第四象限时,值为.
（2）
解析：（1）方程,解得,,
由,得,
当在第三象限时,可得;当在第四象限时,可得,
,
所以,当在第三象限时,;
当在第四象限时,,
（2）若是第四象限角,则,,
由,则,
所以
.
20．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）由题意知,,,
则,,所以.
所以栈道总长度为
（2）建造栈道的费用为,则,
令,得,又,解得,
当时,,当时,,
则在单调递减,在单调递增,
故,此时,
故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时,建造费用最小,最小费用为万元.
21．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）在锐角中,,
已知,即,得,
在中,由余弦定理得,则有,
由,得,
又,且,解得,,
所以.
（2）,,,由正弦定理,
则有,,
,,
,
其中,,,
,,
则有,,即,
锐角中,,所以,则,
即,有,
又,则,
所以,即.
22．答案：（1）2
（2）2
解析：（1）
①当时,,
所以,,则,
所以在单调递增;
②当时,则,
设,则,
且,,则,
所以在单调递减,
又,
故存在,使得,即,
且在上,,在上,,
所以在上单调递增,在上单调递减;
③当时,则,
所以,又,
所以,故在上单调递减;
④当时,则,
所以,又,
所以,当且仅当时取等号,
所以在上单调递增;
⑤当时,则,,,
所以,在上单调递增;
综上所述,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
所以在上仅有个极值点.
（2）当时,恒成立,
即.
令,
若对恒成立,
由,,
所以当时,取得最小值.
由,
则为函数的极小值点,故,解得.
下面证明:当时,为函数的最小值点,
,
令,
由（1）可知,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
又,且,
所以当时,的最小值为,则恒成立,
即在上恒成立,
所以即在上单调递增,又,
所以当时,,当时,,
所以函数在单调递减,在上单调递增,
所以,即恒成立,符合题意.
综上所述,.