华师大版七年级上册2.5 有理数的大小比较学案及答案

这是一份华师大版七年级上册2.5 有理数的大小比较学案及答案，共3页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，思路点拨，答案与解析，总结升华等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1．借助数轴理解绝对值的概念，知道|a|的绝对值的含义；
2．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较有理数的大小；
3．理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题．
【要点梳理】
要点一、绝对值
1．定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：

（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2．性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
要点二、有理数的大小比较
1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3． 作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4． 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
【典型例题】
类型一、绝对值的概念
1．如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．
【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．
【答案与解析】
解：因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6；
因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；
由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．
【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数．此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y＝4或x＝-6，y＝-4．
举一反三：
【变式】（ •毕节市）下列说法正确的是（ ）
A. 一个数的绝对值一定比0大
B. 一个数的相反数一定比它本身小
C. 绝对值等于它本身的数一定是正数
D. 最小的正整数是1
【答案】D．
类型二、含有字母的绝对值的化简
2．（ 春•都匀市校级月考）若﹣1＜x＜4，则|x+1|﹣|x﹣4|= ．
【思路点拨】根据绝对值的性质：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； 当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a,可得|x+1|=x+1，|x﹣4|=﹣x+4，然后再合并同类项即可．
【答案】2x﹣3．
【解析】
解：原式=x+1﹣（﹣x+4），
=x+1+x﹣4，
=2x﹣3.
【总结升华】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1，x﹣4的正负性．
举一反三：
【变式】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：


化简：
【答案】解：由图所示，可得．
∴ ，，，
∵
．
∴ 原式．
类型三、绝对值非负性的应用
3． 已知a、b为有理数，且满足：，则a=_______，b=________．
【答案与解析】
由，，，可得 ∴
【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．
举一反三：
【变式】已知b为正整数，且a、b满足，求的值．
【答案】解：由题意得 ∴ 所以，
类型四、有理数的大小 比较
4． 比较下列每组数的大小：
(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)与；(4)与．
【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．
【答案与解析】
解：(1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．
(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．
(3)化简得：．这是两个负数比较大小，因为，，且．所以．
(4)化简得：-|-3．14|＝-3．14，这是两个负数比较大小，因为 |-π|＝π，|-3．14|＝3．14，而π＞3．14，所以-π＜-|-3．14|．
【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0