新高考数学一轮复习知识总结 指数函数与对数函数（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习知识总结 指数函数与对数函数（含解析），共15页。学案主要包含了指数及指数幂的运算，指数函数及其性质等内容，欢迎下载使用。


知识点一、指数及指数幂的运算
1.根式的概念
SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 次方根的定义：一般地，如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 次方根，其中 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时，正数的 SKIPIF 1 < 0 次方根为正数，负数的 SKIPIF 1 < 0 次方根是负数，表示为 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时，正数的 SKIPIF 1 < 0 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为 SKIPIF 1 < 0 .
负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.
式子 SKIPIF 1 < 0 叫做根式， SKIPIF 1 < 0 叫做根指数， SKIPIF 1 < 0 叫做被开方数.
2.n次方根的性质：
(1)当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
3.分数指数幂的意义：
SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
要点诠释：
0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义.
4.有理数指数幂的运算性质：
SKIPIF 1 < 0
(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0
知识点二、指数函数及其性质
1.指数函数概念
一般地，函数 SKIPIF 1 < 0 叫做指数函数，其中 SKIPIF 1 < 0 是自变量，函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
2.指数函数函数性质：
知识点三：对数与对数运算
1.对数的定义
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 叫做以 SKIPIF 1 < 0 为底 SKIPIF 1 < 0 的对数，记作 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 叫做底数， SKIPIF 1 < 0 叫做真数.
(2)负数和零没有对数.
(3)对数式与指数式的互化： SKIPIF 1 < 0 .
2.几个重要的对数恒等式
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
3.常用对数与自然对数
常用对数： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；自然对数： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 (其中 SKIPIF 1 < 0 …).
4.对数的运算性质
如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么
①加法： SKIPIF 1 < 0
②减法： SKIPIF 1 < 0
③数乘： SKIPIF 1 < 0
④ SKIPIF 1 < 0
⑤ SKIPIF 1 < 0
⑥换底公式： SKIPIF 1 < 0
知识点四：对数函数及其性质
1.对数函数定义
一般地，函数 SKIPIF 1 < 0 叫做对数函数，其中 SKIPIF 1 < 0 是自变量，函数的定义域 SKIPIF 1 < 0 .
2.对数函数性质：
知识点五：函数、方程的有关问题
1．函数零点的判定
（1）利用函数零点存在性的判定定理
如果函数 SKIPIF 1 < 0 在一个区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即 SKIPIF 1 < 0 ，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，这个 SKIPIF 1 < 0 也就是方程 SKIPIF 1 < 0 的根.
要点诠释：
①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．
②若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内也可能有零点，例如 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上就是这样的．故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内有零点，不一定有 SKIPIF 1 < 0 ．
③若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的图象不是连续不断的曲线， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内也可能是有零点，例如函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上就是这样的．
（2）利用方程求解法
求函数的零点时，先考虑解方程 SKIPIF 1 < 0 ，方程 SKIPIF 1 < 0 无实根则函数无零点，方程 SKIPIF 1 < 0 有实根则函数有零点．
（3）利用数形结合法
函数 SKIPIF 1 < 0 的零点就是方程 SKIPIF 1 < 0 的实数根，也就是函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 的图象交点的横坐标．
2.用二分法求函数零点的一般步骤：
已知函数 SKIPIF 1 < 0 定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.
第一步：在D内取一个闭区间 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 异号，即 SKIPIF 1 < 0 ，零点位于区间 SKIPIF 1 < 0 中.
第二步：取区间 SKIPIF 1 < 0 的中点，则此中点对应的坐标为
SKIPIF 1 < 0 .
计算 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，并判断：
①如果 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 就是 SKIPIF 1 < 0 的零点，计算终止；
②如果 SKIPIF 1 < 0 ，则零点位于区间 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ；
③如果 SKIPIF 1 < 0 ，则零点位于区间 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0
第三步：取区间 SKIPIF 1 < 0 的中点，则此中点对应的坐标为
SKIPIF 1 < 0 .
计算 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，并判断：
①如果 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 就是 SKIPIF 1 < 0 的零点，计算终止；
②如果 SKIPIF 1 < 0 ，则零点位于区间 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ；
③如果 SKIPIF 1 < 0 ，则零点位于区间 SKIPIF 1 < 0 中，令 SKIPIF 1 < 0 ；
……
继续实施上述步骤，直到区间 SKIPIF 1 < 0 ，函数的零点总位于区间 SKIPIF 1 < 0 上，当 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数 SKIPIF 1 < 0 的近似零点，计算终止.这时函数 SKIPIF 1 < 0 的近似零点满足给定的精确度.
要点诠释：
（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；② SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值比较容易计算且 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程 SKIPIF 1 < 0 的根，可以构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点即为方程 SKIPIF 1 < 0 的根．
知识点六：函数的实际应用
求解函数应用题时一般按以下几步进行：
第一步：审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.
第二步：建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.
第三步：求模
运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.
第四步：还原
把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景.
上述四步可概括为以下流程：
实际问题(文字语言) SKIPIF 1 < 0 数学问题(数量关系与函数模型) SKIPIF 1 < 0 建模(数学语言) SKIPIF 1 < 0 求模(求解数学问题) SKIPIF 1 < 0 反馈(还原成实际问题的解答).
类型一：指数、对数运算
例1.计算
(1) SKIPIF 1 < 0 ； (2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 ；(4) SKIPIF 1 < 0
【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)1；(3)3；(4)14。
【解析】(1)原式= SKIPIF 1 < 0 ；
(2)原式= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
=1- SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 =1
(3)原式= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
=2+ SKIPIF 1 < 0 =3；
(4)令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，两边取常用对数得
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 =14。
【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.
类型二：指数函数、对数函数的图象与性质
例2.已知函数 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）．
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】依题意 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选A。
例3.设函数 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是( ) ．
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】解法一：①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 。
②若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
由①②可知 SKIPIF 1 < 0
解法二：特殊值验证
令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，故排除A、D。
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
不满足 SKIPIF 1 < 0 ，故排除B。
【总结升华】本题考查了分段函数的性质、分类思想的应用.
例4．函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间是（ ）
A．（3，+∞） B．（－∞，3） C．（4，+∞） D．（－∞，2）
【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”。
【答案】D
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 是由 SKIPIF 1 < 0 复合而成的， SKIPIF 1 < 0 是减函数， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以原函数的单调递增区间是 SKIPIF 1 < 0 ，故选D。
例5．已知函数y=( SKIPIF 1 < 0 )|x+1|。
作出图象；
由图象指出其单调区间；
由图象指出当x取什么值时函数有最值。
【思路点拨】思路一：化去绝对值符号 SKIPIF 1 < 0 将函数写成分段函数的形式 SKIPIF 1 < 0 作图象 SKIPIF 1 < 0 写出单调区间 SKIPIF 1 < 0 写出x的取值；思路二：利用函数图象的变换作函数图象 SKIPIF 1 < 0 写出单调区间 SKIPIF 1 < 0 写出x的取值。
【解析】（1）图象作法一：由已知可得
SKIPIF 1 < 0
其图象由两部分组成：
一部分是： SKIPIF 1 < 0
另一部分是： SKIPIF 1 < 0
图象如图：
图象作法二：先作函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，再作函数 SKIPIF 1 < 0 图象。
作法：将函数 SKIPIF 1 < 0 图象在y轴左侧去掉，保留右侧，再把右侧沿y轴翻折到左侧得到函数 SKIPIF 1 < 0 图象（上图中虚线），再将函数 SKIPIF 1 < 0 图象向左平移1个单位得到函数 SKIPIF 1 < 0 图象。
（2）由图象知函数在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数。
（3）由图象知当 SKIPIF 1 < 0 时，函数有最大值1，无最小值。
例6.已知f(x)=lga(ax-1)(a>0,a≠1)
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论函数f(x)的单调性.
【思路点拨】(1)本题求f(x)的定义域，但由于在条件中已知函数的解析式，所以，在求解方法上，可以考虑函数的真数大于零，解不等式.(2)本题求f(x)的单调性，但由于在条件中已知函数为复合函数，所以在解题方法上，可用复合函数求其单调性.
【解析】(1)使f(x)=lga(ax-1)有意义，则ax-1>0，即ax>1，
当a>1时，x>0；当0