2025年高考数学一轮复习-第十一章-第二节-二项式定理-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第十一章-第二节-二项式定理-专项训练【含答案】，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．若x+1xn展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A．10 B．20 C．30 D．120
2．若(x＋2)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a4－a3＋a2－a1＋a0＝( )
A．1 B．－1
C．15 D．－15
3．已知(x－2y)n的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的x5y2项的系数为( )
A．―4 B．84
C．―280 D．560
4．在(x2＋x＋y)6的展开式中，x5y2的系数为( )
A．60 B．15
C．120 D．30
5．设(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a7＝a8，则n＝( )
A．8 B．9
C．10 D．11
6．若1+x136的展开式中共有n个有理项，则n的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
7．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为( )
A．－960 B．960
C．1 120 D．1 680
8．(x2－x＋1)(1＋x)9展开式中含x5的系数是( )
A．28 B．－28
C．84 D．－84
9．若(2x－3)12＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a11(x－1)11＋a12(x－1)12，则( )
A．a0＝－1
B．a0－a1＋a2－a3＋…＋a10－a11＋a12＝－312
C．a1＋a2＋…＋a12＝－2
D．a12+a222＋…＋a11211+a12212＝－1
10．已知二项式(1＋2x)13的展开式中第k项系数最大，则(2＋x)k展开式的二项式系数和是( )
A．210 B．310
C．29 D．39
二、多项选择题
11．在2x−1x8的展开式中，下列说法正确的是( )
A．常数项是1 120
B．第4项和第6项的系数相等
C．各项的二项式系数之和为256
D．各项的系数之和为256
12．已知1+ax2x−1x6的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有( )
A．a＝1
B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和为1 458
D．展开式中含x2项的系数为240
三、填空题
13．在2x3−1x6的展开式中，x2项的系数为 ________．
14．已知(1＋x)n的展开式中，唯有x3的系数最大，则(1＋x)n的系数和为________．
15．已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________．
16．在(x＋1)4(y＋z)6的展开式中，系数最大的项为________．
17．若(x＋5)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，T＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023，则T被5除所得的余数为________．
18．如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为a1，第3行的第3个数字为a2，…，第n＋1行的第3个数字为an，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝________，1a1+1a2＋…＋1an＝________．
参考答案
1．B [因为x+1xn展开式的二项式系数之和为2n＝64，所以n＝6，所以Tk＋1＝C6k·x6-k·1xk＝C6kx6-2k，当6－2k＝0，即当k＝3时为常数项，T4＝C63＝20．]
2．A [由于(x＋2)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，
故令x＝－1，可得a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－1＋2)4＝1.故选A.]
3．B [因为(x－2y)n的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，所以Cn3＝Cn4，则n＝7.
又因为(x－2y)7的展开式的通项公式为Tk＋1＝(C7k)x7-k(－2y)k，
令k＝2，所以展开式中的x5y2项的系数为C72(－2)2＝84.
故选B.]
4．A [在(x2＋x＋y)6的展开式中，含y2的项为(C62)·(x2＋x)4·y2，
故含x5y2的系数为C62·C43＝60.
故选A.]
5．D [已知(1＋2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，
若a7＝a8，即Cn7·27＝Cn8·28，
即n！7！×n−7！＝2×n！8！×n−8！，
化简可得2(n－7)＝8，解得n＝11.故选D.]
6．C [因为1+x136展开式的通项公式为Tk＋1＝C6k·xk3＝C6k·xk3，k＝0，1，…，6，当且仅当k＝0，3，6时，k3为整数，可得T1，T4，T7为有理项.
故选C.]
7．C [因为偶数项的二项式系数之和为2n－1＝128，所以n－1＝7，n＝8，则展开式共有9项，中间项为第5项，因为(1－2x)8的展开式的通项Tk＋1＝C8k(－2x)k＝C8k(－2)kxk，所以T5＝C84(－2)4x4，其系数为C84(－2)4＝1 120.故选C.]
8．C [(1＋x)9展开式的通项为Tk＋1＝C9k·19-k·xk＝C9k·xk，k＝0，1，2，…，9，
当x2－x＋1选取x2时，由已知可得，应选取(1＋x)9展开式中含x3的项，
由k＝3，可得T4＝C93·x3＝84x3；
当x2－x＋1选取－x时，由已知可得，应选取(1＋x)9展开式中含x4的项，
由k＝4，可得T5＝C94·x4＝126x4；
当x2－x＋1选取1时，由已知可得，应选取(1＋x)9展开式中含x5的项，
由k＝5，可得T6＝C95·x5＝126x5，
所以(x2－x＋1)(1＋x)9展开式中含x5的系数是1×84－1×126＋1×126＝84.
故选C.]
9．D [令x＝1，可得a0＝1，A错误；
令x＝0，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10－a11＋a12＝312，B错误；
令x＝2，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝(4－3)12＝1，
故a1＋a2＋…＋a12＝1－a0＝1－1＝0，C错误；
令x＝32，则2×32−312＝a0＋a12+a222＋…＋a11211+a12212＝0，
故a12+a222＋…＋a11211+a12212＝0－a0＝－1，D正确．故选D.]
10．A [用Tk表示二项式(1＋2x)13中第k项系数，
若二项式(1＋2x)13的展开式中第k项系数最大，则有Tk－1Tk＋1，其中Tk＝C13k−12k-1，k∈N*，
即C13k−12k−1>C13k−22k−2，C13k−12k−1>C13k2k，解得283＜k＜313，
因为k∈N*，所以k＝10，
所以(2＋x)k展开式的二项式系数和为210.
故选A.]
11．AC [根据二项式定理，2x−1x8的通项公式为Tk＋1＝C8k28-k(－1)kx8-2k，
常数项为C8424(－1)4＝1 120，A正确；
第4项的系数为C8328-3(－1)3＝－1 792，第6项的系数为C8528-5(－1)5＝－448，B错误；
因为n＝8，所以各项的二项式系数之和为28＝256，C正确；
令x＝1，各项的系数之和为1，故D错误．
故选AC.]
12．ACD [令x＝1，所以1+ax2x−1x6的展开式中各项系数的和为(1＋a)(2－1)6＝2，解得a＝1，故A正确；2x−1x6展开式通项为Tk＋1＝C6k(2x)6－k−1xk＝C6k(－1)k26－kx6－2k，当6－2k＝0时，k＝3；当6－2k＝1时，k＝52(舍去)，
所以1+1x2x−1x6展开式中常数项为1×(C63)(－1)3×23＝－160；
当6－2k＝2时，k＝2；当6－2k＝3时，k＝32(舍去)，
所以1+1x2x−1x6展开式中含x2项的系数为1×C62(－1)2×24＝240，B错误，D正确；二项式1+1x2x−1x6展开式系数的绝对值的和可看作是二项式1+1x2x+1x6展开式系数的和，所以令x＝1，则1+1x2x+1x6展开式系数的和为(1＋1)(2＋1)6＝1 458，C正确．故选ACD.]
13．60 [二项式2x3−1x6的展开式的通项为Tk＋1＝C6k(2x3)6-k·−1xk＝C6k·26-k·(－1)k·x18-4k，
令18－4k＝2，得k＝4，所以x2项的系数为C64·22×−14＝60．]
14．64 [由题意，Cn3>Cn2，且Cn3>Cn4，所以n＝6，所以令x＝1，(1＋x)6的系数和为26＝64．]
15．8 －2 [x2系数之和为C43−13+2·C42(－1)2＝8，即a2＝8；
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0；令x＝0，得a0＝2，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2．]
16．120x2y3z3 [因为(x＋1)4的通项为C4kx4-k，(y＋z)6的通项为C6ry6-rzr，
所以(x＋1)4展开式系数最大的项为C42x2＝6x2，
(y＋z)6展开式系数最大的项为C63y3z3＝20y3z3，
所以在(x＋1)4(y＋z)6的展开式中，系数最大的项为120x2y3z3．]
17．1 [由题知x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝62 023＝(5＋1)2 023,
故T＝C2 023052 023＋C2 023152 022＋…＋C2 0232 02251＋1，
T5＝15(C2 023052 023＋C2 023152 022＋…＋C2 0232 02251＋1)
＝15(C2 023052 023＋C2 023152 022＋…＋C2 0232 02251)＋15.
所以被5除得的余数是1．]
18．220 2nn+1 [法一：由题意知an＝Cn+12，
a1＋a2＋a3＋…＋a10＝C22+C32+C42+…+C112＝1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＋36＋45＋55＝220.
1a1+1a2＋…＋1an＝1C22+1C32＋…＋1Cn+12＝21×2+22×3＋…＋2n×n+1＝21−12+12−13+…+1n−1n+1＝21−1n+1＝2nn+1.
法二：由题意知an＝Cn+12，所以a1＋a2＋a3＋…＋a10＝C22+C32+C42+…+C112＝C33+C32+C42+…+C112＝C43+C42+…+C112＝C53+C52+…+C112＝…＝C103+C102+C112＝C113+C112＝C123＝12×11×103×2×1＝220.
1a1+1a2＋…＋1an＝1C22+1C32+…+1Cn+12＝21×2+22×3＋…＋2n×n+1＝21−12+12−13+…+1n−1n+1＝21−1n+1＝2nn+1.