2023-2024学年湖南省益阳市大通湖管理区两校联考八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年湖南省益阳市大通湖管理区两校联考八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列各组数中，是勾股数的是( )
A. 1，2， 5B. 0.6，0.8，1C. 14，15，13D. 9，40，41
3.在直角三角形ABC中，其中一个锐角是55∘，则另一个锐角的度数是( )
A. 45∘B. 40∘C. 35∘D. 30∘
4.正十二边形的外角和为( )
A. 30∘B. 150∘C. 360∘D. 1800∘
5.三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是( )
A. 三条高线的交点B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三边垂直平分线的交点
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段DC的延长线上，若∠BCE=65∘，则∠A的度数为( )
A. 95∘
B. 135∘
C. 125∘
D. 115∘
7.如果将点A(3,m+2)向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得(n−4,6)，则( )
A. m=1，n=9B. m=6，n=10C. m=6，n=9D. m=2，n=10
8.下列图中，表示一次函数y=ax+b与正比例函数y=abx(其中a、b为常数，且ab≠0)的大致图象，其中表示正确的是( )
A. B.
C. D.
9.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点AE⊥BE，AB=5，AC=3，则DE的长为( )
A. 1
B. 32
C. 2
D. 52
10.如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.在下列结论中：
①DE=EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE=CF.其中正确的是( )
A. ②③④B. ①②③C. ①②④D. ①③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.在Rt△ABC中，AB=AC，点D是直线AB上一点，BD=1，AD=3，连接CD，则线段CD的长为______.
12.在▱ABCD中，若∠A+∠C=208∘，则∠B=______.
13.已知点P(m+3,5)在第二象限，则m的取值范围______.
14.将直线y=−ax+4向右平移5个单位长度，向下平移3个单位长度后，经过点(6,3)，平移后直线的解析式为______.
15.已知点A(m,y1)，B(m+1,y2)在一次函数y=x+b的图象上，那么y1与y2的大小关系是y1______y2.
16.一次数学测试后，某班40名学生的成绩，其中最高分为139，最低分为92，若取组距为8，则应分为______组.
17.如图，直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D、E分别为OB、AB的中点，连接OE，过点D作CD//OE交x轴于点C，则四边形OCDE的面积为______.
18.如图，在矩形ABCD中，AC=10，∠DAC=30∘，P是边AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP中点E，连接EG，则线段EG的最小值为______.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE，CF，且AE=CF，BF=BE.求证：△ABC是等腰三角形．
20.(本小题6分)
如图，将△ABC向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A′B′C′.
(1)请画出平移后的图形△A′B′C′；
(2)写出△A′B′C′各顶点的坐标；
(3)连接AB′和AC′，求出四边形A′B′AC′的面积.
21.(本小题8分)
某校七年级1班积极开展跳绳训练，一次测试后，体育委员统计了全班同学单位时间的跳绳次数，列出了频数分布表和频数分布直方图，如图：
(1)补全频数分布表和频数分布直方图.
(2)表中组距是______，跳绳次数在100≤x<140范围的学生有______人.
(3)若规定跳绳次数不低于140次为优秀，求全班同学跳绳的优秀率是多少？
22.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于点D.
(1)尺规作图：作∠CAB的平分线，交CD于点P，交BC于点Q；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若∠ABC=50∘，求∠CPQ的度数.
23.(本小题9分)
如图，在△ABF中，∠A=90∘，点E是边BF的中点，点D是边AF上一点，连接DE并延长至C，使得BC⊥AB，连接BD，CF.
(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；
(2)若BF平分∠CBD，AB=4，AF=8，求四边形BDFC的面积.
24.(本小题9分)
近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：
(1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
(2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件(进货价和销售价都不变)，且第二次进货总价不高于16800元.服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
25.(本小题10分)
如图，直线l1：y=x+a与x轴交于点A(−3,0)，与y轴交于点B，C点在x轴上A点的右边，AC=7，经过点C的直线l2与正比例函数y=−12x的图象平行，直线l1与直线l2相交于点D，点P为直线l1上一动点.
(1)求点D坐标；
(2)若7S△PCD=6S△ACD，请求出P点的坐标；
(3)若∠PCD=45∘，请直接写出点P坐标.
26.(本小题10分)
在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤10.
(1)若G，H分别是AD，BC中点，则四边形EGFH一定是怎样的四边形(E、F相遇时除外)？
答：______；(直接填空，不用说理)
(2)在(1)条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；
(3)在(1)条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D.
根据把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2.【答案】D
【解析】解：A、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意；
B、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意；
C、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意；
D、92+402=412，是勾股数，符合题意．
故选：D.
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解决问题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵在直角三角形ABC中，其中一个锐角是55∘，
∴另一个锐角的度数是90∘−55∘=35∘，
故选：C.
根据直角三角形两锐角互余进行求解即可．
本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是理解直角三角形两锐角互余．
4.【答案】C
【解析】解：因为多边形的外角和为360∘，所以正十二边形的外角和为：360∘.故选：C.
本题考查多边形的外角和问题，多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于360∘.
本题考查多边形的外角和定理，解题的关键是指出定理即可求出正十二边行的外角和度数．
5.【答案】C
【解析】【分析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可。
【解答】
解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处。
故选C。
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∵∠BCE=65∘，∠B+∠A=180∘，
∴∠BCE=∠B=65∘，
∴∠A=115∘.
故选：D.
根据平行四边形的性质先求出∠B，然后进一步求出∠A.
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵将点A(3,m+2)向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得(n−4,6)，
∴3+3=n−4，m+2+2=6，
∴m=2，n=10，
故选：D.
根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得3+3=n−4，m+2+2=6，解之即可得到答案．
本题主要考查了坐标与图形变化-平移，掌握平移的规律是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：A.由一次函数y=ax+b图象可知a<0，b>0，则ab<0；正比例函数的图象可知ab<0不矛盾，故此选项正确，符合题意；
B.由一次函数y=ax+b图象可知a<0，b>0；正比例函数的图象可知ab>0，矛盾，故此选项错误，不符合题意；
C.由一次函数y=ax+b图象可知a>0，b>0；正比例函数的图象可知ab<0，矛盾，故此选项错误，不符合题意；
D.由一次函数y=ax+b图象可知a>0，b<0；正比例函数的图象可知ab>0，矛盾，故此选项错误，不符合题意；
故选：A.
根据一次函数的图象与系数的关系，由函数图象分析可得a、b的符号，进而可得ab的符号，从而判断y=abx的图象即可解答．
本题考查一次函数的性质，解题的关键是正确待定系数k与b的作用，本题属于基础题型．
9.【答案】A
【解析】解：连接BE并延长交AC的延长线于点F，如图，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=∠AEF=90∘，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
∴∠ABE=∠AFE，
∴△ABF是等腰三角形，
∴AF=AB=5，点E是BF的中点，
∴CF=AF−AC=5−3=2，DE是△BCF的中位线，
∴DE=12CF=1.
故选：A.
连接BE并延长交AC的延长线于点F，易证明△ABF是等腰三角形，则得AF的长，点E是BF的中点，求得CF的长，从而DE是中位线，即可求得DE的长．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形．
10.【答案】B
【解析】解：①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90∘，∠ECN=45∘，
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90∘，
∴NE=NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90∘，
∴∠DEN=∠MEF，
又∠DNE=∠FME=90∘，
在△DEN和△FEM中，
∠DNE=∠FMEEN=EM∠DEN=∠FEM，
∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∴ED=EF，故①正确；
②∵矩形DEFG为正方形；
∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90∘，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90∘，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
AD=CD∠ADE=∠CDGDE=DG，
∴△ADE≌△CDG(SAS)，故②正确；
③根据②得AE=CG，∠DAE=∠DCG=45∘，
∴∠ACG=90∘，
∴AC⊥CG，故③正确；
④当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故④错误，
综上所述：①②③正确．
故选：B.
①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：根据正方形的性质得到∠BCD=90∘，∠ECN=45∘，推出四边形EMCN为正方形，由矩形的性质得到EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90∘，根据全等三角形的性质得到ED=EF，故①正确；
②利用已知条件可以推出矩形DEFG为正方形；根据正方形的性质得到AD=DC，∠ADE+∠EDC=90∘推出△ADE≌△CDG(SAS)，故②正确；
③根据②的结论可得∠ACG=90∘，所以AC⊥CG，故③正确；
④当DE⊥AC时，点C与点F重合，得到CE不一定等于CF，故④错误．
本题属于中考选择题的压轴题，主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】5或 13
【解析】解：①点D在线段AB上时，
，
∵AB=AC，BD=1，AD=3，
∴AC=AB=4，
在Rt△ACD中，CD= AC2+AD2=5，
②点D在AB延长线上时，
，
∵AB=AC，BD=1，AD=3，
∴AC=AB=2，
在Rt△ACD中，CD= AD2+AC2= 13，
故答案为：5或 13.
分点D在线段AB上、点D在AB延长线上两种情况讨论．
本题考查了等腰直角三角形，关键是注意分类讨论．
12.【答案】76∘
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD//BC，
∴∠A+∠B=180∘，
又∵∠A+∠C=208∘，
∴∠A=104∘，∠B=76∘.
故答案为：76∘.
根据平行四边形的对角相等，对边平行；可得∠A=∠C，∠A+∠B=180∘，又由∠A+∠C=208∘，可得∠A=104∘，∠B=76∘.
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对边平行．此题比较简单，解题时要细心
13.【答案】m<−3
【解析】解：∵点P(m+3,5)在第二象限，
∴m+3<0，
解得：m<−3，
故答案为：m<−3.
由第二象限的点的坐标特征为(−,+)得出m+3<0，解不等式即可得出答案．
本题考查了各象限内点的坐标特征、解一元一次不等式，熟知第二象限的点的坐标特征是解题的关键．
14.【答案】y=2x−9
【解析】解：将直线y=−ax+4向右平移5个单位长度，向下平移3个单位长度得到的直线解析式为y=−a(x−5)+4−3，即y=−a(x−5)+1.
将点(6,3)代入y=−a(x−5)+1，得3=−a+1，
解得：a=−2，
即平移后直线的解析式为：y=2(x−5)+1，即y=2x−9.
故答案为：y=2x−9.
根据直线平移的规律得到y=a(x−5)+4−3，将点(6,3)代入即可求出答案．
本题主要考查一次函数与几何变换的知识，能用待定系数法正确求函数的解析式是解此题的关键．
15.【答案】<
【解析】解：∵k=1>0，
∴y随x的增大而增大，
又∵点A(m,y1)，B(m+1,y2)都在一次函数y=x+b的图象上，且m+1>m，
∴y1故答案为：<.
由k=1>0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合m+1>m，即可得出y1本题考查了一次函数的性质，牢记“当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小”是解题的关键．
16.【答案】6
【解析】解：∵最高分为139，最低分为92，组距为8，
∴139−928=5.875，
∴应分的组数为6.
故答案为：6.
首先计算出最大值和最小值的差，再利用极差除以组距即可．
此题主要考查了频数分布表，首先计算极差，即计算最大值与最小值的差．再决定组距与组数．
17.【答案】2
【解析】解：∵点D、E分别为OB、AB的中点，
∴DE//AC，
又∵CD//OE，
∴四边形OCDE是平行四边形，
∵直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当x=0时，y=4，
当y=0时，x=−2，
∴A(−2,0)，B(0,4)，
∴OA=2，OB=4，
∵点D、E分别为OB、AB的中点，B(0,4)，A(−2,0)，
∴OD=12OB=2，E(−1,2)，D(0,2)，
∴DE=1，
∵四边形OCDE是平行四边形，
∴S▱OCDE=OD⋅DE=2×1=2，
故答案为：2.
先根据三角形中位线定理可得DE//AC，即可证明四边形OCDE是平行四边形，根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，利用中点坐标公式可得E(−1,2)，D(0,2)，进而可得DE、OD的长，然后运用平行四边形面积计算公式计算即可．
本题考查了一次函数以及平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握中点坐标公式是关键．
18.【答案】54
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，∠ADC=90∘.
∵∠DAC=30∘，
∴AB=CD=12AC=5.
延长PG，使得PG=GQ，连接BQ，AQ，如图，
∵PG⊥AC，PG=GQ，
∴AQ=AP，
∴AC平分∠QAD.
∵∠DAC=30∘，
∴∠QAD=60∘，
∴∠BAQ=30∘，
∴点Q在定直线上．
∵BP中点为E，
∴GE=12BQ，
∴当BQ最小时，GE有最小值．
∵当BQ⊥AQ时，BQ最小，此时BQ=12AB=52，
∴GE的最小值为12BQ=12×52=54.
故答案为：54.
根据矩形的性质可求出AB=CD=12AC=5，延长PG，使得PG=GQ，连接BQ，AQ，结合等腰三角形三线合一的性质易证明∠BAQ=30∘，即说明点Q在定直线上．再根据三角形中位线定理可知GE=12BQ，即说明当BQ最小时，GE有最小值．最后根据垂线段最短，结合含30度角的直角三角形的性质，求出BQ即可．
本题考查矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理，等腰三角形三线合一的性质，垂线段最短等知识．正确作出辅助线是解题关键．
19.【答案】证明：∵∠ABC=90∘，
∴∠CBF=180∘−∠ABC=90∘，
在Rt△ABE和Rt△CBF中
AE=CFBE=BF，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，
∴AB=CB，
∴△ABC是等腰三角形．
【解析】求出∠CBF=90∘，根据全等三角形的判定定理推出Rt△ABE≌Rt△CBF，根据全等三角形的性质得出AB=CB，再根据等腰三角形的判定推出即可．
本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形．
20.【答案】解：(1)如图1，△A′B′C′即为所求；
(2)由(1)得，A′(4,0)，B′(1,3)，C′(2,−2)；
(3)如图2，
四边形A′B′AC′的面积为5×5−12×1×2−12×3×4−12×2×2−12×3×3=232.
【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
(2)根据A′，B′，C′的位置写出坐标即可；
(3)把四边形的面积看成正方形的面积减去周围的四个三角形面积即可．
本题考查作图-平移变换等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求四边形的面积．
21.【答案】20 31 20 31
【解析】解：(1)如图，成绩在60≤x<80的人数为2人，成绩在160≤x<180的人数为4人，
(2)解：观察频数分布表知：组距为20，
跳绳次数在100≤x<140范围的学生有18+13=31，
故答案为：20，31；
(3)解：全班同学跳绳的优秀率是8+4+12+4+18+13+8+4+1=26%.
(1)利用分布表和频数分布直方图可得到成绩在60≤x<80的人数为2人，成绩在160≤x<180的人数为4人，然后补全补全频数分布表和频数分布直方图；
(2)利用频数分布表和频数分布直方图求解；
(3)用后三组的频数和除以全班人数可得到全班同学跳绳的优秀率．
本题考查了频(数)率分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22.【答案】解：(1)如图，射线AQ即为所求；
(2)∵∠ACB=90∘，∠B=50∘，
∴∠CAB=40∘，
∵AQ平分∠CAB，
∴∠CAQ=12∠CAB=20∘，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90∘，
∴∠ACD=50∘，
∴∠CPQ=∠CAQ+∠ACD=20∘+50∘=70∘，
即∠CPQ的度数为70∘.
【解析】(1)根据要求作出图形即可；
(2)求出∠CAQ，∠ACD，可得结论．
本题考查作图-基本作图，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】(1)证明：∵∠A=90∘，
∴AF⊥AB，
∵BC⊥AB，
∴AF//BC，
∴∠CBE=∠DFE，
∵点E为是边BF的中点，
∴BE=FE，
又∵∠BEC=∠FED，
∴△BCE≌△FDE(ASA)，
∴BC=FD，
∴四边形BDFC是平行四边形；
(2)解：∵BF平分∠CBD，
∴∠CBE=∠DBE，
∵AF//BC，
∴∠CBE=∠DFE，
∴∠DBE=∠DFE，
∴DB=DF，
∵四边形BDFC是平行四边形，
∴四边形BDFC是菱形，
设BD=DF=x，
∵AF=8，
∴AD=AF−DF=8−x，
∵∠A=90∘，AB=4，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2+AD2=BD2，
即42+(8−x)2=x2，
解得：x=5，
∴DF=5，
∴四边形BDFC的面积=DF⋅AB=5×4=20.
【解析】(1)证明AF//BC，则∠CBE=∠DFE，再证明△BCE≌△FDE(ASA)，得BC=FD，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
(2)证明平行四边形BDFC是菱形，得BD=DF，设BD=DF=x，则AD=AF−DF=8−x，在Rt△ABD中，由勾股定理得出方程，解方程求出x，然后利用菱形的面积公式即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证得四边形BDFC为菱形是解题的关键．
24.【答案】解：(1)由题意，设购进短款服装x件，购进长款服装y件，
∴x+y=5080x+90y=4300.
∴x=20y=30.
答：长款服装购进30件，短款服装购进20件．
(2)由题意，设第二次购进m件短款服装，则购进(200−m)件长款服装，
∴80m+90(200−m)≤16800.
∴m≥120.
又设利润为w元，
则w=(100−80)m+(120−90)(200−m)=−10m+6000.
∵−10<0
∴w随m的增大而减小．
∴当m=120时，利润w最大为：−10×120+6000=4800(元).
答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元．
【解析】(1)依据题意，设购进短款服装x件，购进长款服装y件，可得 x+y=5080x+90y=4300，计算即可得解；
(2)依据题意，设第二次购进m件短款服装，则购进(200−m)件长款服装，从而80m+90(200−m)≤16800，故m≥120，又设利润为w元，进而w=(100−80)m+(120−90)(200−m)=−10m+6000，再结合一次函数的性质，即可判断得解．
本题主要考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
25.【答案】解：(1)直线l1：y=x+a与x轴交于点A(−3,0)，
将点A代入函数表达式得：0=−3+a，则a=3，
即直线l1：y=x+3；
∵AC=7，则点C(4,0)，直线l2与正比例函数y=−12x的图象平行，
则直线l2的表达式为：y=−12(x−4)=−12x+2，
联立直线l1和l2得：x+3=−12x+2，
解得：x=−23，
则点D(−23,73)；
(2)过点A作直线l//CD交y轴于点T，设直线CD交y轴于点R(0,2)，
则直线l的表达式为：y=−12(x+3)，则点T(0,−32)，则RT=2+32=72，
在OT之间取点M，使MR=67×72=3，过点M作直线m//CD，交直线l1于点P，
则7S△PCD=6S△ACD，
则点M(0,−1)，
故直线m的表达式为：y=−12x−1，
在R上方取点M′使RM=RM′=3，则点M′(0,5)，过点M′作直线n//BC交直线l1于点P(P′)，
则直线n表达式为：y=−12x+5，
分别将m、n和直线l1联立得：x+3=−12x−1或x+3=−12x+5，
解得：x=−83或43，
即点P(−83,13)或(43,133)；
(3)当点P在x轴下方时，如下图：
过点D作DH⊥CD交CP于点H，过点D作x轴的平行线GT，分别交过点H和y轴的平行线于点G，交故点C和y轴的平行线于点T，
∵∠PCD=45∘，故△CDH为等腰直角三角形，即DH=DC，
∵∠GDH+∠TDC=90∘，∠TDC+∠DCT=90∘，
∴∠GDH=∠DCT，
∵∠HGD=∠DTC=90∘，
∴△HGD≌△DTC(AAS)，
∴DT=4+23=143=GH，CT=yD=73=GD，
则点H(−3,−73)，
由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为：y=13(x−4)，
联立上式和直线l1的表达式得：x+3=13(x−4)，
解得：x=−132，则点P(−132,−72)；
当点P(P′)在x轴上方时，
则在CP⊥CP′，则直线CP′的表达式为：y=−3(x−4)，
联立上式和直线l1的表达式得：x+3=−3(x−4)，
解得：x=94，则点P′(94,214)；
综上，点P的坐标为：(−132,−72)或(94,214).
【解析】(1)由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
(2)在OT之间取点M，使MR=67×72=3，过点M作直线m//CD，交直线l1于点P，在R上方取点M′使RM=RM′=3，则点M′(0,5)，过点M′作直线n//BC交直线l1于点P(P′)，即可求解；
(3)当点P在x轴下方时，证明△HGD≌△DTC(AAS)，求出点H(−3,−73)，得到直线CH的表达式为：y=13(x−4)，即可求解；当点P(P′)在x轴上方时，得到直线CP′的表达式为：y=−3(x−4)，即可求解．
主要考查了一函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
26.【答案】解：(1)四边形EGFH是平行四边形；
(2)连接GH，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90∘，AD=BC，AD//BC，
在Rt△ABC中，∠B=90∘，AB=6，BC=8，
∴AC= AB2+BC2= 62+82=10，
由(1)可知：G，H分别是AD，BC中点，
∴AG=12AD，BH=12BC，
∴AG=BH，
又∵AG//BH，∠B=90∘，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH=AB=6，
根据题意可知：AE=CF=t，
当四边形EGFH为矩形时，EF=GH，
当E、F两点相遇前，EF=10−2t，根据EF=GH可得10−2t=6，解得t=2；
当E、F两点相遇后EF=2t−10，根据EF=GH可得2t−10=6，解得t=8；
综上所述，t的值为2或8；
(3)解：连接AH、CG，GH，GH与AC相交于点O，如图所示：
∵四边形EGFH为菱形，
∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，
又∵AE=CF，
∴OE+AE=OF+CF，
∴OA=OC，
又∵GH⊥EF，
∴GH垂直平分线段AC，
∴AH=CH，
设AH=CH=x，则BH=8−x，
由勾股定理得：AB2+BH2=AH2，
即62+(8−x)2=x2，
解得，x=254，
∴CH=254，
∵点H是从BC的中点出发，
∴t=254−4÷1=94
∴t为94时，四边形EGFH为菱形．
【解析】【分析】
本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定和菱形的判定，掌握矩形的性质定理、菱形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
(1)首先证明△AEG≌△CFH，根据全等三角形的性质得到GE=HF，证明△EFG≌△FEH得到GF=HE，根据平行四边形的判定定理，即可得出结论；
(2)根据“对角线相等的平行四边形是矩形”得出EF=GH时，四边形EGFH是矩形，用含t的代数式表示EF的长，分为E、F两点相遇前和相遇后两种情况，列出关于t的方程，解方程，即可求解；
(3)连接AH、CG，GH，GH与AC相交于点O，首先根据菱形的性质得出GH垂直平分线段AC，得出AH=CH，设AH=CH=x，则BH=8−x，利用勾股定理得到关于x的方程，解方程求出x的值，根据点H是从BC的中点出发，求出t的值即可.
【解答】
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠GAE=∠HCF，
∵G，H分别是AD，BC的中点，
∴AG=DG=12AD，BH=CH=12BC，
∴AG=CH，
根据题意可知AE=CF，
在△AEG和△CFH中，
AG=CH∠GAE=∠HCFAE=CF，
∴△AEG≌△CFH(SAS)，
∴GE=HF，∠AEG=∠CFH，
∴180∘−∠AEG=180∘−∠CFH，即∠GEF=∠HFE，
在△EFG和△FEH中，
EG=FH∠GEF=∠HFEEF=FE，
∴△EFG≌△FEH(SAS)，
∴GF=HE，
又∵GE=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
故答案为EGFH是平行四边形；
(2)见答案；
(3)见答案.次数
频数
60≤x<80
______
80≤x<100
4
100≤x<120
18
120≤x<140
13
140≤x<160
8
160≤x<180
______
180≤x<200
1
价格/类别
短款
长款
进货价(元/件)
80
90
销售价(元/件)
100
120
次数
频数
60≤x<80
20 _
80≤x<100
4
100≤x<120
18
120≤x<140
13
140≤x<160
8
160≤x<180
31 _
180≤x<200
1