2025届高中数学全程复习课后定时检测训练53（Word版附解析）

这是一份2025届高中数学全程复习课后定时检测训练53（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．a＝(1，－1，0)，b＝(－1，0，1)，c＝(1，3，x)，若a，b，c三向量共面，则实数x＝( )
A．3 B．－3 C．4 D．－4
2．已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过点A(0，a，3)和B(－1，2，b)两点，则a＋b＝( )
A．0 B．1 C． eq \f(3,2) D．3
3．空间四边形OABC中， eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝c，且 eq \(OM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(OA,\s\up6(→)) ， eq \(BN,\s\up6(→)) ＝ eq \(NC,\s\up6(→)) ，则 eq \(MN,\s\up6(→)) ＝( )
A． eq \f(1,2) a－ eq \f(2,3) b＋ eq \f(1,2) c B． eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b－ eq \f(1,2) c
C．－ eq \f(2,3) a＋ eq \f(2,3) b＋ eq \f(1,2) c D．－ eq \f(2,3) a＋ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,2) c
4．对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有 eq \(OP,\s\up6(→)) ＝6 eq \(OA,\s\up6(→)) －2 eq \(OB,\s\up6(→)) －3 eq \(OC,\s\up6(→)) ，则( )
A．O，A，B，C四点共面
B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面
D．O，P，A，B，C五点共面
5．已知正六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1的底面边长为1，P是正六棱柱内(不含表面)的一点，则 eq \(AP,\s\up6(→)) · eq \(AB,\s\up6(→)) 的取值范围是( )
A．(－ eq \f(1,2) ， eq \f(3,2) ) B．(－ eq \f(3,2) ， eq \f(1,2) )
C．(－ eq \f(1,2) ，1) D．(0， eq \f(3,2) )
6．[2024·河南焦作模拟]在四面体OABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，若 eq \(OG,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(x,4) eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(x,4) eq \(OC,\s\up6(→)) ，则使G与M、N共线的x的值为( )
A．1 B．2 C． eq \f(2,3) D． eq \f(4,3)
7.
如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱B1C1，BB1的中点，G为面对角线A1D上的一点，且 eq \(DG,\s\up6(→)) ＝ (0≤λ≤1)，若A1C⊥平面EFG，则λ＝( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,3) C． eq \f(\r(2),4) D． eq \f(1,2)
8.
(素养提升)[2024·河南开封模拟]在如图所示的圆台中，四边形ABCD为其轴截面，AB＝2CD＝4，母线长为 eq \r(3) ，P为底面圆周上一点，异面直线AD与OP(O为底面圆心)所成的角为 eq \f(π,3) ，则CP2的大小为( )
A．7－2 eq \r(3) B．7－2 eq \r(3) 或7＋2 eq \r(3)
C．19－4 eq \r(3) D．19－4 eq \r(3) 或19＋4 eq \r(3)
二、多项选择题
9.
[2024·湖北十堰模拟]《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则( )
10．下面给出四个直三棱柱，底面ABC中，AB＝AC＝ eq \r(2) ，∠BAC＝90°，侧棱长为2，点D，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线AD⊥EF的图形是( )
三、填空题
11．[2024·江西赣州模拟]已知空间向量a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a与b垂直，则x等于________．
12．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中， eq \(DA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(DC,\s\up6(→)) ＝b，＝c，P为DD1的中点，过PB的平面α分别与棱AA1，CC1交于点E，F，且AE＝CF，则 eq \(BP,\s\up6(→)) ＋ eq \(EF,\s\up6(→)) ＝________(用a，b，c表示).
13．[2024·黑龙江哈尔滨模拟]如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝BD＝AA1＝1，AD⊥BD，∠A1AB＝45°，∠A1AD＝60°，则线段BD1的长为________．
四、解答题
14．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝3，AB＝5，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点．求证：
(1)AC⊥BC1；
(2)AC1∥平面CDB1.
优生选做题
15．(多选)[2021·新高考Ⅰ卷]在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足 eq \(BP,\s\up6(→)) ＝λ eq \(BC,\s\up6(→)) ＋，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则( )
A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值
B．当μ＝1时，三棱锥P­A1BC的体积为定值
C．当λ＝ eq \f(1,2) 时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP
D．当μ＝ eq \f(1,2) 时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P
16．[2024·山西吕梁模拟]如图，在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱DD1上的一点，且D1E＝2DE.
(1)若点F满足 eq \(BF,\s\up6(→)) ＝2，求证：CF∥平面A1EC1；
(2)底面ABCD内是否存在一点P，使得PD1⊥平面A1C1E？若存在，求出线段DP的长度；若不存在，请说明理由．
课后定时检测案53 空间向量及其应用
1．解析：因为a＝(1，－1，0)，b＝(－1，0，1)，所以a，b不共线，又因为a，b，c三向量共面，则存在实数m，n使c＝ma＋nb，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－n＝1，,－m＝3，,n＝x，)) 解得n＝－4，m＝－3，x＝－4.故选D.
答案：D
2．解析：因为直线l过点A(0，a，3)和B(－1，2，b)两点，所以＝(－1，2－a，b－3)，又直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，所以∥m，所以＝λm，所以(－1，2－a，b－3)＝(2λ，－λ，3λ)，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2λ＝－1,－λ＝2－a,3λ＝b－3)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(1,2)，,a＝\f(3,2)，,b＝\f(3,2)，)) 所以a＋b＝3.故选D.
答案：D
3.
解析：由题知，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，且＝ eq \f(2,3) ，＝，如图，
所以＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,2) ，
所以＝＋＝－ eq \f(2,3) ＋ eq \f(1,2) (＋)＝－ eq \f(2,3) a＋ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,2) c，故选D.
答案：D
4．解析：∵＝6－2－3，∴－＝(2－2)＋(3－3)，∴＝2＋3＝－2－3，∴A，P，B，C四点共面，故选B.
答案：B
5．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝1，
由正六边形的性质可得，A(0，0，0)，B(1，0，0)，F(－ eq \f(1,2) ， eq \f(\r(3),2) ，0)，C( eq \f(3,2) ， eq \f(\r(3),2) ，0)，
设P(x，y，z)，其中－ eq \f(1,2)