沈阳市第一二0中学2023-2024学年高二上学期第四次质量监测数学试卷(含答案)

这是一份沈阳市第一二0中学2023-2024学年高二上学期第四次质量监测数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．与圆及圆都外切的圆的圆心在( )
A.椭圆上B.双曲线的一支上C.抛物线上D.圆上
2．在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为( )
A.B.C.D.
3．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A.甲与丙相互独立B.丙与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.甲与丁相互独立
4．从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：
由上表可得经验回归方程，则当时，蝗虫的产卵量y的估计值为( )
A.B.C.8D.
5．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则( )
A.B.C.D.
6．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是( )
A.
B.第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等
C.记第n行的第i个数为，则
D.第30行中第12个数与第13个数之比为13：18
7．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，，若以原点O为圆心，短轴长为直径作，P为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过P作的两条切线，切点分别为A，B，直线与x，y轴分别交于M，N两点，则( )
A.B.C.D.
8．如图，点P是边长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法错误的是( )
A.当点P在侧面上时，四棱锥的体积为定值
B.存在这样的点P，使得
C.当直线与平面所成的角为45°时，点P的轨迹长度为
D.当时，点P的轨迹长度为
二、多项选择题
9．下列关于概率统计说法中正确的是( )
A.两个变量x，y的相关系数为r，则越小，x与y之间的相关性越弱
B.设随机变量服从正态分布，若，则
C.在回归分析中，为0.99的模型比为0.88的模型拟合的更好
D.某人在10次答题中，答对题数为X，，则答对7题的概率最大
10．设，则下列结论中正确的是( )
A.B.
C.，，，…，中最大的是D.当时，除以16的余数是1
11．某校组织“喜迎二十大，奋进新征程”线上演讲比赛，经预选有甲、乙、丙、丁、戊五名同学进入复赛，在复赛中采用抽签法决定演讲顺序，记事件A：学生甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，B：学生乙第一个出场，则下列结论中正确的是( )
A.事件A中包括78种情况B.
C.D.
12．已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则( )
A.点M到直线l的距离为定值B.以为直径的圆与l相切
C.的最小值为32D.当最小时，
三、填空题
13．方程的根为______.
14．某同学将英文单词“millin”中字母的顺序记错了，那么他在书写该单词时，写错的情况有______种（用数字作答）.
15．袋中有形状大小相同的球5个,其中红色3个,黄色2个,现从中随机连续摸球,每次摸1个,当有两种颜色的球被摸到时停止摸球,记随机变量为此时已摸球的次数,则________.
16．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为.过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________.
四、解答题
17．已知二项式（）的展开式中，______给出下列条件：
①第二项与第三项的二项式系数之比是1：4；
②各项系数之和为512；
③第7项为常数项.
在上面三个条件中选择两个合适的条件分别补充在上面的横线上，并完成下列问题.
（1）求实数a的值和展开式中二项式系数最大的项；
（2）求的展开式中的常数项.
18．（一）6名同学（简记为A，B，C，D，E，F）到甲、乙、丙三个场馆做志愿者.
（1）一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？
（2）每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且A、B两人约定去同一个场馆，C、D不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？
（二）（1）某校选派4名干部到两个街道服务，每人只能去一个街道，每个街道至少1人，有多少种方法？（结果用数字表示）
（2）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果店老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数？（结果用数字表示）
19．某医科大学科研部门为研究退休人员是否患痴呆症与上网的关系，随机调查了M市100位退休人员，统计数据如下表所示：
（1）依据的独立性检验，能否认为该市退休人员是否患痴呆症与上网之间有关联？
（2）从该市退休人员中任取一位，记事件A为“此人患痴呆症”，B为“此人上网”，则A为“此人不患痴呆症”，定义事件A的强度，在事件B发生的条件下A的强度.
(i)证明：；
(ii)利用抽样的样本数据，估计的值.
附：，其中.
20．如图，三棱柱的底面ABC是正三角形，侧面是菱形，平面平面ABC，E，F分别是棱，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，，求直线与平面EFG所成角的正弦值.
21．某校为了庆祝建校100周年，举行校园文化知识竞赛.某班经过层层选拔，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产生，该班设计了一个选拔方案：甲，乙两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为.甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.
（1）分别求甲、乙两名学生恰好答对2个问题的概率；
（2）设甲答对的题数为X，乙答对的题数为Y，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.
22．椭圆（），直线经过椭圆C的一个焦点与其相交于点M，N，且点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若线段的垂直平分线与x轴相交于点P，问：在x轴上是否存在一个定点Q，使得为定值？若存在，求出点Q的坐标和的值；若不存在，说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：设所求圆的半径为,圆心为M,
圆的圆心,半径,
圆化为标准方程得,则圆心,半径,
因为,所以两圆相离,
由题意可得,两式相减得,
所以圆心M在双曲线的一支上.
故选：B.
2．答案：B
解析：设甲中奖为A事件，乙中奖为B事件，则
故选：B.
3．答案：D
解析：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：，，，，，，
两点数和为7的所有可能为，，，，，，
，，，，
A：，
B：，
D：，
C：，
故选：D.
4．答案：A
解析：由表格数据知：，，
因为数对满足，得，
，即，，x＝35时，.
故当时，蝗虫的产卵量y的估计值为.
故选：A.
5．答案：C
解析：因为，，，
所以，，又，
所以
所以，故A错误；
由，可得，故B错误；
所以，故C正确；
所以，，故D错误.
故选：C.
6．答案：C
解析：由
，故A错误；
第2023行是奇数，中间两项最大，即和，也就是第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故选项B错误；
第n行的第i个数为，所以，故C正确；
第30行中第12个数与第13个数之比为，故D错误.故选C.
7．答案：A
解析：依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：，
将两圆方程：与相减，
得切点所在直线方程为，解得，，
因为，所以
故选：A.
8．答案：B
解析：对于选项A，由点P到侧面的距离相等，故四棱锥的体积为定值，故A选项正确；
对于选项B，因为，而，，因此点P是的中点，所以这样的点P不在正方体的表面上，故选项错误；
对于选项C，①当点P在侧面，侧面上时(不包括正方形的边界)，
过点P作平面的垂线，垂足为H，连，在中，由，可得；
②当点P在上底面上时，过点P作平面的垂线，垂足为M，若，必有，又由，有，，此时点P的轨迹是以为圆心，2为半径的四分之一圆，点P的轨迹长度为；
③当点P在侧面，上时，点P在线段，上符合题意，
此时点P的轨迹长为；由上知点P的轨迹长度为，故C选项正确；
对于选项D，①当P在底面上时，点P的轨迹为以A为圆心，
为半径的圆与底面的交线，记圆与相交于点，与交于点，
有，可得，，
则点P的轨迹与底面的交线长为；
②当点P在侧面上时，，
可得点P的轨迹与侧面的交线为以点B为圆心，为半径的四分之一圆，交线长为.由对称性可知，点P的轨迹长度为，故D选项正确.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：对于A，两个变量x，y$的相关系数为$r，|r|$越小，与之间的相关性越弱，故A正确；
对于B，随机变量服从正态分布，由正态分布概念知若，则，故B错误；
对于C，在回归分析中，越接近于1，模型的拟合效果越好，所以为0.99的模型比为0.88的模型拟合的更好，故C正确；
对于D，某人在10次答题中，答对题数为X，，则数学期望，说明答对7题的概率最大，故D正确.
故选：ACD.
10．答案：ABD
解析：由
，
A.令，则，故A正确，
B.通项公式为
则，，，故B正确，
C.，，，，，，最大的是，故C错误，
当时，
故除以16的余数是1，故D正确.
故选：ABD.
11．答案：BC
解析：由学生甲不是第一个出场，也不是最后一个出场，则学生甲只能在中间3个出场，
故事件A中包括种情况，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，，故D错误.
故选：BC.
12．答案：BCD
解析：设，，，，，，
直线的方程为，
则直线的方程为，
将直线的方程代入，化简整理
可得，，
则，，
故，
所以，，
因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，点M到直线l的距离，
又因为，所以，故A错误，
因为
所以以为直径的圆的圆心M到直线l的距离为，
故为直径的圆与l相切，故B正确，
同理，
所以，，
则，当且仅当时，等号成立，故C正确，
$
设，
则，，，
当时，即，最小，这时，故D正确.
故选：BCD.
13．答案：11
解析：因为，所以，
所以，解得或，又，所以.
故答案为：11.
14．答案：1259
解析：英文单词"millin"中字母的顺序记错了，因为有两个i，两个l重复，那么他在书写该单词时，共有种可能，而正确的拼写只有1种，故写错的情况有1259种.故答案为：1259.
15．答案：
解析:由题意可得
若两次摸到两种颜色的球,则;
若三次摸到两种颜色的球,则;
若四次摸到两种颜色的球,则;
故.
故答案为:
16．答案：13
解析：设为椭圆C的左焦点.如图，连接，，.因为椭圆的离心率为，所以，所以椭圆C的方程为，且为等边三角形，则直线DE的斜率.
由直线DE垂直平分线段得，，，则的周长等价于.
设，，又直线DE的方程为，与椭圆方程联立得，则，.由弦长公式，得，即.所以的周长为.
17．答案：（1）或；
（2）
解析：（1）由①可知，解得；由②得令得；由③得，要使该项为常数，则；所以条件①与③得到的是同一结果，所以只有选择条件①与②和条件②与③；
该两种组合都会得到，所以，解得；
所以二项式系数最大的项为或.
（2）由（1）可知，，
所以有
所以常数项为
令，，解得，；所以常数项为.
18．答案：（一）（1）126种；（2）114种；
（二）（1）14种；（2）60种
解析：（一）（1）16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙，插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，
所以不同的发放方法种.
（2）把A，B视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆，分组方法有两类：第一类1，1，3，去掉C，D在一组的情况，有种分组方法，再分配给三个场馆，有种方法，第二类1，2，2，去掉C，D在一组的情况，有种分组方法，再分配给三个场馆，有种方法，所以不同的安排方法有种方法.
（二）（1）把4名干部按1：3分成两组，有种分组方法，按2：2分成两组，有种分组方法，所以4名干部按要求分到两个街道的不同方法数是（种）.
（2）依题意，6串香蕉任意收取有种方法，其中中间一列按从下往上有1种，占，
最右一列按从下往上只有1种，占，所以不同取法数是（种）.
19．答案：（1）该市退休人员是否患痴呆症与上网之间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01
（2）(i)证明见解析
(ii)的值为2
解析：（1）零假设：该市退休人员是否患痴呆症与上网之间无关联.
根据列联表中的数据，得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该市退休人员是否患痴呆症与上网之间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（2）(i)由于，
所以，，
故.
(ii)由样本数据可得，，
所以，所以估计的值为2.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：取的中点M，连接ME，，
，F分别是棱，的中点，
，，
四边形MEFB为平行四边形，所以.
平面，平面，
平面.
（2）在平面中过点作交AC于点O，连接，
平面平面ABC，平面平面，平面ABC.
又，，，，，
点O为AC的中点，.
故以O为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，.
设平面EFG的法向量为，则有
即得，，
令，可得平面EFG的一个法向量为.
设直线与平面EFG所成角为，
则.
21．答案：（1）；；
（2）选择学生甲
解析：（1）由题意，知甲恰好答对2个问题的概率为，
乙恰好答对2个问题的概率为.
（2）X的可能取值为1，2，3，
则；；.
所以，
.
易知，所以，.
因为且，甲的平均水平更好，也比乙更稳定.所以选择学生甲.
22．答案：（1）；
（2）存在定点，使得为定值，定值为
解析：（1）因为直线经过椭圆C的一个焦点，所以为椭圆C的焦点，即，因为在椭圆上，所以，又，
联立方程可得，，所以椭圆C的方程为
（2）设，，，
当时，联立得，
所以，，中点为.
线段得中垂线方程为，
令，解得，所以，所以，
令，解得，此时；
当，时，联立得，所以，，，
此时，所以在x轴上存在定点，使得为定值，定值为.
x
20
23
25
27
30
z
2
2.4
3
3
4.6
患痴呆症
不患痴呆症
合计
上网
16
32
48
不上网
34
18
52
合计
50
50
100
α
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828