2024年四川省广元市中考真题数学试题

这是一份2024年四川省广元市中考真题数学试题，共13页。
说明：1．全卷满分150分，考试时间120分钟．
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共三个大题26个小题．
3．考生必须在答题卡上答题，写在试卷上的答案无效．选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔答题．
4．考试结束，将答题卡和试卷一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分）
1．将－1在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（ ）
A．－1B．1C．－3D．3
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．在“五·四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．中位数是95B．方差是3C．众数是95D．平均数是94
5．如图，已知四边形ABCD是的内接四边形，E为AD延长线上一点，，则等于（ ）
A．64°B．60°C．54°D．52°
6．如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．如图，将绕点A顺时针旋转90°得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若，，则AD的长为（ ）
A．B．C．2D．
8．我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边AB的长为（ ）
A．5B．7C．D．
10．如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：①；②方程有两个不相等的实数根；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
第Ⅱ卷 非选择题（共120分）
二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分）
11．分解因式：______．
12．2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为______秒．
13．点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则的度数为______．
14．若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标______．
15．已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿OA翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为______．
16．如图，在中，，，则的最大值为______．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分）
17．（6分）计算：．
18．（8分）先化简，再求值：，其中a，b满足．
19．（8分）如图，已知矩形ABCD．
（1）尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接AE、CF．求证：四边形AFCE是菱形．
20．（9分）广元市开展“蜀道少年”选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道、了解蜀道、热爱蜀道、宣传蜀道，进一步挖掘和传承古蜀道文化、普及蜀道知识．为此某校开展了“蜀道文化知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：；B：；C：；D：；E：）．并绘制了如下尚不完整的统计图．
抽取学生成绩等级人数统计表
其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是120°．
（1）样本容量为______，______；
（2）全校1200名学生中，请估计A等级的人数；
（3）全校有5名学生得满分，七年级1人，八年级2人，九年级2人，从这5名学生中任意选择两人在国旗下分享自己与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法，求这两人来自同一个年级的概率．
21．（9分）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
（1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率；
（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面ABCD的面积．
22．（10分）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表：
（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
23．（10分）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接OA，OB．
（1）求与的解析式；
（2）当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围；
（3）求的面积．
24．（10分）如图，在中，，，经过A、C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，交BC于点E．
（1）求证：DE为的切线；
（2）若，，求的半径．
25．（12分）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在中，点D为边AB上一点，连接CD．
（1）初步探究
如图2，若，求证：；
（2）尝试应用
如图3，在（1）的条件下，若点D为AB中点，，求CD的长；
（3）创新提升
如图4，点E为CD中点，连接BE，若，，，求BE的长．
26．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交AB于点D，求的最大值及此时点C的坐标；
（3）作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线AB上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．
广元市2024年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试
数学参考答案
说明：1．解答题第17至26题中各步骤所标记分数为考生解答到这一步的累计分数．
2．参考答案都只给出一种解法，若考生的解答不同，请根据解答情况参考评分意见给分．
3．给分和扣分都以1分为基本单位．
一、选择题
二、填空题
11． 12． 13．18° 14．（答案不唯一） 15． 16．
三、解答题
17．解：原式．
18．解：原式
，∵，∴，
将其代入，原式．
19．解：（1）如图1所示；
（2）证明：如图2设EF与AC的交点为O，由（1）可知，直线EF是线段AC的垂直平分线．
∴，，，，
又∵四边形ABCD是矩形，∴，∴，
∴，∴，
∴，∴四边形AFCE是菱形．
20．解：（1）90，15；
（2）（名）
答：全校1200名学生中，估计A等级的人数有200名．
（3）设七年级学生为A，八年级学生为，，九年级学生为，
画树状图如下：
由树状图可知一共有20种等可能的结果，其中两人来自同一个年级的结果有4种，
∴P（选择的两人来自同一个年级）．
21．解：（1）∵
∴如图，设，则，由勾股定理得，，
∴，又∵，∴，
∴折射率为：．
（2）由题意可得，，折射率为，
∵，∴．
∵四边形ABCD是矩形，点O是AD中点，
∴，，
又∵，∴，
在中，设，，
由勾股定理得，，
∴．
又∵，∴，∴，
∴，∴截面ABCD的面积为：．
22．解：（1）设购进短款服装x件，购进长款服装y件，
由题意可得，解得，
答：长款服装购进30件，短款服装购进20件．
（2）设第二次购进m件短款服装，则购进件长款服装，
由题意可得，解得：，
设利润为w元，则，
∵，∴w随m的增大而减小，
∴当时，∴（元）．
答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元．
23．解：（1）由题知，∴，
∴，，∴，
把，代入得，
∴，∴．
（2）由图象可知自变量x的取值范围为或．
（3）若AB与y轴相交于点C，∴，
．
24．（1）证明：连接OD．
∵，，∴为等腰直角三角形，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴DE为的切线．
（2）解：过点C作于点H，
∵为等腰直角三角形，，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴．
在中，∵,
设半径为r，∴，∴．
25．（1）证明：∵，，∴，
∴，∴．
（2）解：∵点D为AB中点，∴设，
由（1）知，∴，
∴，∴与的相似比为，
∴，∵，∴．
（3）解：如图1过点C作EB的平行线交AB的延长线于点H．
∵点E为CD中点，∴设，∵，
∴，，∴，
如图2，过点B作于点F．∴，
∴，∴，∴，，
∴，∴，
如图1，∵，点E为CD中点，
∴，，，
又∵，∴，，
∴．
又∵，∴，，∴，
即，∴，∴．
26．解：（1），代入，
得：，解得：，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）如图1，过点C作x轴的垂线交AB于点M．
∴轴，∴，∴，
设AB的解析式为，
把，代入解析式得，
解得：，∴．
设，则，∴，
∵，∴当时，．
∴的最大值为，此时点C的坐标为．
（3）由中心对称可知，抛物线F与的公共点E为直线与抛物线F的右交点
∴，∴（舍），，∴．
∵抛物线F：的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点坐标为，∴抛物线的对称轴为．
如图2，当BE为对角线时，由题知，
∴，∴．
如图3，当BE为边时，由题知，
∴，∴．
如图3，由题知，∴，∴，
综上：点G的坐标为，，．
等级
A
B
C
D
E
人数
m
27
30
12
6
价格/类别
短款
长款
进货价（元/件）
80
90
销售价（元/件）
100
120
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
B
A
D
A
C
A
C