广东省梅州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题(含答案)

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注意事项：本试卷共6页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、班级、考生号、姓名和座号填写在答题卡上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.作答必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.已知集合，，则
A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,2}D.{-1,1}
2.已知命题，，则为
A.，B.，
C.，D.，
3.若，，则“”是“”的（ ）条件
A.充分不必要B.必要不充分C.既不充分也不必要D.充分必要
4.小明参加学校篮球协会的面试，通过面试的条件是：首先在三分线外投篮，两次机会，命中一次即通过面试；若均未命中，则接着在罚球点处投篮，一次机会，若命中，也可通过面试.已知小明三分线外投篮命中的概率为，在罚球点处投篮命中的概率为，且每次投篮是相互独立的，则其通过面试的概率为
A.B.C.D.
5.展开式中的常数项为
A.6B.18C.-6D.-18
6.
A.B.4C.D.2
7.若制作一个容积为32（cm3）的无盖正四棱柱容器（不考虑材料的厚度），要使所用材料最省，其底面边长为________（cm）
A.2B.C.D.4
8.已知甲、乙两袋中装有大小相同、材质均匀的球，各袋中每个球被取出的概率相等.甲袋中有2个红球和4个蓝球，乙袋中有4个红球和4个蓝球，现从两袋中各取一个球，恰好一红一蓝，则其中红球来自于甲袋的概率为
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某地生产的甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，它们的正态分布的密度曲线如右图所示，则下列说法中正确的是
A.B.
C.D.
10.某中学为了调查学生热爱阅读是否与学生的性别有关，从1200名女生和1500名男生中通过分层抽样的方式随机抽取180名学生进行问卷调查，将调查的结果得到等高堆积条形图如下图所示，则
附：.
A.可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多
B.用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.65
C.根据小概率值a=0.01的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别有关
D.根据小概率值a=0.01的独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别无关
11.已知函数，当且仅当，取得最小值，则下列说法正确的有
A.的最大值为37
B.的最小值为64
C.在处导数等于0
D.当x和y取遍所有实数时，则所能达到的最小值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知离散型随机变量的分布列如下表，则均值________.
13.写出在x=0处的切线方程为的一个二次函数________.
14.摆线，又称旋轮线、圆滚线，是最速降线问题的解.在数学中，摆线的定义为：一个圆沿一条直线转动时，圆边界上一定点所形成的轨迹.已知一个半径为2的圆，沿着x轴转动，角速度为1（rad/s），如下图，为描述圆边界上从原点出发的点所形成的轨迹，写出其横坐标关于旋转时间t（s）的函数表达式xt=________；其纵坐标关于旋转时间t的函数表达式yt=________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数，的图像关于直线对称，且相邻两个零点的距离为.
（1）求ω和φ的值；
（2）若，，求的值.
（3）若，使得关于x的不等式成立，求实数m的取值范围.
16.（15分）某网上购物平台为了提高某商品的的销售业绩，对该商品近5个月的月销售单价x（单位：元）与月销量y（单位：个）之间的数据进行了统计，得到如下表数据：
（1）根据以往经验，y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若该商品的成本为140元/个，根据（1）中回归方程，求该商品月利润最大时的单价为多少元.（结果精确到1元）
参考公式：.参考数据：.
17.（15分）已知函数.
（1）当a=1时，求函数的极值；
（2）函数在区间上为单调函数，求a的取值范围.
18.（17分）如下图，李明从家里出发到公司有两条主干道，在主干道Ⅰ有R1，R2两个易堵点，R1处出现堵车的概率为，且当R1出现堵车时，R2出现堵车的概率为；当R1不堵车时，R2出现堵车的概率为；主干道Ⅱ有三个易堵点，它们出现堵车的事件相互独立，且概率都是.
（1）若李明从家里出发到公司选择了主干道Ⅱ行驶，求其恰遇到一次堵车的概率；
（2）若李明选择了主干道Ⅰ行驶，求其遇到堵车的概率；
（3）已知李明从家里出发到公司，如遇堵车，主干道Ⅰ中每个易堵点平均拥堵为4分钟，主干道Ⅱ的每个易堵点需平均拥堵为3分钟.若按照“平均拥堵时间短的路线是较优出行路线”的标准，则李明从家里出发到公司走哪一条路线较好？
19.（17分）设集合，且P中至少有两个元素，若集合Q满足以下三个条件：
①，且Q中至少有两个元素；
②对于任意，当，都有；
③对于任意，若，则；
则称集合Q为集合P的“耦合集”.
（1）若集合P1={2,4,6}，求集合P1的“耦合集”Q1；
（2）集合，且，若集合P2存在“耦合集”Q2.
（i）求证：对于任意，有；
（ii）求集合P2的“耦合集”Q2的元素个数.
a
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
1
0
-1
P
0.5
0.3
q
单价x/元
180
190
200
210
220
月销量y/个
57
52
42
32
27