（人教A版）2024年高中数学高二暑假讲义高二上数学暑假综合检测卷（拔尖C卷）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出，，再通过求在上的投影向量即可.
【详解】由题意，，
，，
在上的投影向量为
故选：B.
2．如果直线经过点，，那么直线的倾斜角的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据两点间斜率公式，可求得斜率的取值范围，即可由倾斜角与斜率关系求得倾斜角的范围.
【详解】直线经过点，，
由斜率公式可得，
由二次函数性质可知，
设倾斜角为，即，
所以由正切函数图像与性质可知，
故选：D.
【点睛】本题考查了两点间斜率公式，倾斜角与斜率关系，属于基础题.
3．已知长方体中，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出的坐标，利用得坐标，然后利用可得．
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，
则．，

，解得，
，
，
，解得．
故选：C．
4．已知点在直线上的射影为点B，则点B到点距离的最大值为（ ）．
A．B．5C．D．
【答案】C
【分析】先判断直线l恒过点，根据题意知点B在以线段为直径的圆上，再利用圆的几何性质求解即可,
【详解】将直线l整理得到，
于是，解得，所以直线l恒过点，
因为点在直线上的射影为点B，
所以，则点B在以线段为直径的圆上，该圆的圆心坐标为，
半径大小为，
又，
所以点B到点距离的最大值为，
故选：C．
5．已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时，（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】求出恒过的定点，故，距离的最大值为，所以，求解即得出答案.
【详解】，由，
解得，故过定点．
，由，
解得，故过定点，
故，距离的最大值为．
此时，，则，，
解得，故．
故选：C．
6．公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意计算得的轨迹方程为，根据对称性可得圆心在直线方程上，即，从而利用乘“1”法即可得到最值.
【详解】设点的坐标为，因为，则，
即，
所以点的轨迹方程为，
因为点的轨迹关于直线对称，
所以圆心在此直线上，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：B.
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为10，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用椭圆定义得到，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，进而可得，即得．
【详解】∵，为椭圆的两个焦点，
∴，，
的周长为，
即，
若最小，则最大．
又当轴时，最小，此时，
故，
解得．
故选：C.
8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【分析】设，，根据和抛物线性质得出，再根据双曲线性质得出，，最后根据余弦定理列方程得出、间的关系，从而可得出离心率．
【详解】过分别向轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为、，不妨设，，
则，
为双曲线上的点，则，即，得，，
又，在中，由余弦定理可得，
整理得，即，，解得或.
故选：D.
【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知向量是平面的一个法向量，点在平面内，则下列点也在平面内的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】记选项中的四个点依次为A，B，C，D，结合数量积的坐标运算验证，，，是否与垂直即可．
【详解】记选项中的四个点依次为A，B，C，D，
则，，，，又，
，故与不垂直，故A错误；
，故与垂直，故B正确；
，故与垂直，故C正确；
，故与垂直，故D正确；
故选：BCD.
10．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（ ）
A．为定值
B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形
D．当时，的面积为
【答案】ACD
【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A；由为定值以及的范围判断B；求出坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形判断C；求出坐标，由面积公式得出的面积判断D.
【详解】设椭圆的左焦点为，则
所以为定值，A正确；
的周长为，因为为定值6，
所以的范围是，所以的周长的范围是，B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，
又因为，∴
所以为直角三角形，C正确；
将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确.
故选：ACD
11．已知直线：过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于A，两点，过A，两点分别作抛物线准线的垂线，垂线分别为，，则下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的方程为B．线段的长度为
C．D．线段的中点到轴的距离为
【答案】BD
【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得，即可判断A;联立方程求出A,B坐标，可得，判断B；确定M,N坐标，可计算，判断C;求出线段的中点坐标，即可判断D.
【详解】由题意不妨设点A在点上方，直线：与x轴交点，
又经过的焦点，故，可得，
即抛物线方程为：，A正确．
由，可得，解得或，
可得，，所以，B错误．
由以上分析可知，，，，
可得，
则，即，C正确．
因为，，故线段的中点为，
则线段的中点到轴的距离为，D错误，
故选：BD．
12．已知圆上的三个点分别为，，，直线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的方程为
B．过作直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为
C．若直线被圆截得的弦长为2，则的方程为或
D．当点到直线的距离最大时，过上的点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最小值为
【答案】CD
【分析】设圆的方程为，列出方程组，求得的值，可判断A错误；连接，，求得和，得到的斜率的取值范围，可判定B错误；由直线被圆截得的弦长为2，得到圆心到直线的距离，求得的值，可判定C正确；求得，进而得到四边形面积的最小值，可判定D正确.
【详解】设圆的方程为，则，
解得，所以圆的方程为，故A错误；
连接，，直线的斜率，直线的斜率，可得过点的直线与线段相交时，的斜率的取值范围为，故B错误；
由圆的标准方程为，
因为直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离，
则，解得或，
故直线的方程为或，故C正确；
由直线过定点，连接，，当时，点到直线的距离最大，，
当最小时，四边形的面积最小，
又由，所以四边形面积的最小值为，故D正确.
故选：CD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知A，B两点都在直线上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为 .
【答案】
【分析】设，则，然后利用两点间的距离公式求解即可
【详解】设点，则，
所以，
故答案为：
14．在三棱锥P­ABC中，和均为等边三角形，且二面角的大小为120°，则异面直线PB和AC所成角的余弦值为 ．
【答案】/0.625
【分析】取BC的中点O，连接OP, OA，由题意可得AO⊥BC,PO⊥BC，从而得PAO⊥平面ABC，∠POA＝120°，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】解：如图，

取BC的中点O，连接OP, OA，
因为和均为等边三角形，
所以AO⊥BC,PO⊥BC，,
所以BC⊥平面PAO，平面ABC,
所以平面PAO⊥平面ABC，
且∠POA的大小就是二面角P-­BC­-A的大小，即∠POA＝120°，
建立空间直角坐标系如图所示，
设，
则点 ，，B(0,1,0)，，
所以，，
所以，
所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为.
故答案为：
15．已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，焦距为8，且的离心率与它的一条渐近线的斜率之比恰好为2，则的标准方程为 .
【答案】
【分析】根据题意及双曲线的性质列出关于a，b，c的方程求解即可.
【详解】设的实半轴长、虚半轴长、半焦距分别为a，b，c，
由已知得，即，又焦距为8，
所以，，，
所以的标准方程为．
故答案为：．
16．椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF＝，，，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用a和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．
【详解】∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上，设左焦点为F′
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①
O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα …②
|BF|=2ccsα …③
②③代入①2csinα+2ccsα=2a
∴=
即e==
∵a∈[，]，∴≤α+≤
∴≤sin（α+）≤1 ∴≤e≤
故答案为：[，]
【点睛】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的对称性的灵活运用，要特别利用好椭圆的定义，是中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知空间三点，，，设，．
(1)设，，求；
(2)求与的夹角；
(3)若与互相垂直，求k．
【答案】(1)或
(2)
(3)或
【分析】（1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得；
（2）先求得，，再利用公式即可求得的值，根据反三角函数即可求得向量夹角；
（3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值．
【详解】（1）由题可知，，
由，得，设，
因为，
所以，解得，
所以或．
（2）因为、、，，，
所以，，
则，
所以与的夹角为．
（3）因为，，
又与垂直，
所以，
解得或．
18．已知圆，过点作直线交圆于、两点．
（1）当经过圆心时，求直线的方程；
（2）当直线的倾斜角为时，求弦的长；
（3）求直线被圆截得的弦长时，求以线段为直径的圆的方程．
【答案】（1）；（2） ；（3）.
【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当直线l的倾斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长；（3）利用垂径公式，明确是的中点，进而得到以线段为直径的圆的方程．
【详解】（）圆的方程可化为，圆心为，半径为．
当直线过圆心，时，，
∴直线的方程为，即．
（）因为直线的倾斜角为且过，所以直线的方程为，即．
圆心到直线的距离，
∴弦．
（）由于，而弦心距，
∴，∴是的中点．
故以线段为直径的圆圆心是，半径为．
故以线段为直径的圆的方程为．
19．已知直线是抛物线的准线，是坐标原点，是上一点，过作，垂足为，已知.
(1)求的方程；
(2)直线经过的焦点，且与交于两点，若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把用坐标表示出来，再把点坐标代入抛物线方程，联立解得和，得抛物线方程；
（2）由垂直求得直线的方程，设，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得，由此求得弦长，由点到直线距离公式求得三角形的高，从而可得面积．
【详解】（1）由题可知准线的方程为.
因为，所以.
又，所以，
故的方程为.
（2）由（1）可知.
因为，所以直线的方程为，设，
联立方程组整理得，
则，故.
点到直线的距离，
则的面积.
20．如图，四棱锥的底面为正方形，，平面，分别是线段的中点，是线段上的一点.

(1)求证：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，且点不是线段的中点，求三棱锥体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直判定可证得平面，由中位线性质知，从而得到平面，由面面垂直判定可得结论；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，，由线面角的向量求法可构造方程求得，结合垂直关系可得平面的距离为，利用棱锥体积公式可求得结果.
【详解】（1）连接，
分别是线段的中点，，
底面四边形为正方形，，
平面，平面，，
又，平面，平面，
，平面，
又平面，平面平面.
（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，解得：，，；
设直线与平面所成角为，
，
解得：或（舍），，
平面，平面，；
，，平面，平面，
到平面的距离为，
.

21．已知椭圆（）的两焦点为和，过的直线与椭圆C交于A，B两点，且的周长为8.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若的面积为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由椭圆的定义可知的周长为,由此即可求出，再结合，即可求出答案.
（2）设出直线，联立直线与椭圆，消，利用韦达定理即可表示出、.利用即可列出方程,即可求出答案.
【详解】（1）∵的周长为8，
∴，即，
又，且，
∴，.
∴椭圆C的方程为.
（2）依题意可设直线的方程为：，
联立消去x得.
设，，则，.
∴.
∴，解得.
∴直线的方程为：或
22．已知双曲线与圆相切，过的一个焦点且斜率为的直线也与圆相切．
(1)求双曲线的方程；
(2)是圆O上在第一象限的点，过且与圆相切的直线l与的右支交于A、B两点，的面积为，求直线l的方程．
【答案】(1) ；(2).
【分析】(1)通过几何关系可求得，从而求得双曲线方程；
(2)设出直线l，利用圆心到直线的距离等于半径建立等式，再联立直线和双曲线，得到韦达定理，再利用面积等于建立等式，从而求得直线方程.
【详解】(1)∵双曲线与圆相切，∴，
过C的一个焦点且斜率为的直线也与圆O相切，则，
∴，
故双曲线的方程为；
(2)设直线l：，，，
圆心到直线l的距离，由得，
由得，，
则，，
＝
＝＝，
又的面积，∴，
由， 解得k＝－1，，
∴直线l的方程为.