北师大版八年级上册1 函数图片课件ppt

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数学 八年级上册 BS版
◎问题综述一次函数的综合问题，常常涉及三角形全等、三角形存在 性问题、相交型图象信息问题等.在遇到这些问题时，关键是要 认真审题，理清题意，熟练运用一次函数的知识正确解答.
◎要点归纳1. 一次函数与三角形全等中“三垂直”模型相结合.右图为 “三垂直”全等模型，其中△ ABC 为等腰直角三角形， AE ⊥ EC ， BF ⊥ CF ， E ， C ， F 三点共线，则有△ ACE ≌△ CBF . 在与一次函数的综合题中需要作垂线构造全等三角形.
2. 一次函数中的三角形存在性问题的解题步骤.（1）找点：利用尺规作图确定点的位置；（2）求点：利用等量关系或联立函数表达式，直角三角形需要 根据直角顶点分类讨论，再由等腰直角三角形的特殊性，利用 勾股定理或构造全等三角形求解；（3）定点：依据题意确定符合要求的点的坐标.
3. 相交型图象信息问题.
若两个一次函数 y1与 y2的图象的交点坐标为（ x0， y0），则当 x ＝ x0时，函数值 y1＝ y2＝ y0；当函数值 y ＝ y0时，自变量的值 x1 ＝ x2＝ x0.
类型一　一次函数中的三角形全等问题 如图，已知一次函数 y ＝－2 x ＋2的图象与 y 轴交于点 A ， 与 x 轴交于点 B ，过点 B 作线段 BC ⊥ AB 且 BC ＝ AB ，直线 AC 交 x 轴于点 D .
（2）若点 Q 是图中坐标平面内不同于点 B ， C 的一点，当以点 B ， D ， Q 为顶点的三角形与△ BCD 全等时，直接写出点 Q 的 坐标.
（1）求点 A ， B ， C 的坐标和直线 AC 的函数表达式；
【思路导航】（1）过点 C 作 CM ⊥ x 轴于点 M ，得到△ AOB ≌△ BMC ，推出点 C 的坐标，再利用待定系数法求得直线 AC 的函数表达式；（2）以点 B ， D ， Q 为顶点的三角形与△ BCD 全等时，分情况讨论求出点 Q 的坐标.
（1）解：把 x ＝0代入 y ＝－2 x ＋2中，得 y ＝2.
所以点 A 的坐标为（0，2）.
把 y ＝0代入 y ＝－2 x ＋2，得－2 x ＋2＝0，解得 x ＝1.所以点 B 的坐标为（1，0）.
如图1，过点 C 作 CM ⊥ x 轴于点 M ，
所以∠ AOB ＝∠ BMC ＝90°.
因为 AB ⊥ BC ，
所以∠ ABC ＝90°.
所以∠ ABO ＋∠ MBC ＝90°.
所以∠ OAB ＝∠ MBC .
所以△ AOB ≌△ BMC （AAS）.
所以 BM ＝ OA ＝2， CM ＝ OB ＝1.
所以 OM ＝3.所以点 C 的坐标为（3，1）.
设直线 AC 的函数表达式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）.
因为∠ ABO ＋∠ OAB ＝90°，
（2）点 Q 的坐标为（3，－1），（4，－1）或（4，1）.
【解析】如图2，以点 B ， D ， Q 为顶点的三角形与△ BCD 全等时，点 Q 有三种情形.由图形的全等，知点 Q1与点 C 关于 x 轴对称.故点 Q1（3，－1）；由直线 AC ，知 D （60），点 C 与点 Q3关于 BD 的中垂线对称，故点 Q3（4，1）；点 Q2和点 Q3关于 x 轴对称，故点 Q2（4，－1）.故点 Q 的坐标为（3，－1），（4，－1）或（4，1）.
【点拨】在解答一次函数与三角形的综合性问题时，常会用到 三角形全等中的常见模型，例如本题中用到的“三垂直”模 型，也常常会利用轴对称的知识去解题.
如图，在平面直角坐标系中，已知直线 y ＝ kx ＋ b 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B （0，6），与直线 y ＝2 x 交于点 C （ a ， 4）.（1）求点 C 的坐标及直线 AB 的函数表达式.（2）若点 E 的坐标是（4，0），过点 E 作直线 l ⊥ x 轴，交直线 y ＝2 x 于点 F ，交直线 y ＝ kx ＋ b 于点 G . ①求△ CGF 的面积.
②直线 l 上是否存在点 P ，使 OP ＋ BP 的值最小？若存在，直接 写出点 P 的坐标；若不存在，说明理由.
（3）若点 E 是 x 轴上的一个动点，点 E 的横坐标为 m （ m ＞ 0），当点 E 在 x 轴上运动时，当 m 取何值时，直线 l 上存在点 Q ，使得以点 A ， C ， Q 为顶点的三角形与△ AOC 全等？请直 接写出相应的 m 的值.
解：（1）将点 C （ a ，4）代入 y ＝2 x ，可得 a ＝2，所以点 C 的坐标为（2，4）.将点 B （0，6），点 C （2，4）代入 y ＝ kx ＋ b ，可得 b ＝6，2 k ＋ b ＝4，所以 k ＝－1.所以直线 AB 的函数表达式为 y ＝－ x ＋6.
（2）①因为直线 l ⊥ x 轴，点 E ， F ， G 都在直线 l 上，且点 E 的 坐标为（4，0），
所以点 F ， G 的横坐标均为4.
设点 F （4， y1）， G （4， y2），分别代入 y ＝2 x 和 y ＝－ x ＋ 6，可得 y1＝8， y2＝2，
所以 F （4，8）， G （4，2）.
所以 FE ＝8， GE ＝2.所以 FG ＝6.
如图1，过点 C 作 CH ⊥ FG 于点 H .
因为 C （2，4）， E （4，0），
所以 CH ＝4－2＝2.
②存在点 P （4，3），使得 BP ＋ OP 的值最小.理由如下：
如图2，设点 O 关于直线 l 的对称点为 D （8，0），连接 BD .
设直线 BD 的函数表达式为 y ＝ mx ＋ n （ m ≠0）.
将点 B （0，6）， D （8，0）代入 y ＝ mx ＋ n ，可得 n ＝6，8 m ＋ n ＝0.
因为点 P 在直线 l ： x ＝4上，令 x ＝4，则 y ＝3，所以点 P 的坐标为（4，3）.
（3） m 的值为2，6或8.理由如下：因为直线 AB 的函数表达式为 y ＝－ x ＋6，所以 A （6，0）.
①如图3，当△ OAC ≌△ QCA ，点 Q 在第四象限时，
则∠ ECA ＝∠ EAC .
所以 AE ＝ CE ＝4， OE ＝6－4＝2.
②如图4，当△ ACO ≌△ ACQ ，点 Q 在第一象限时，
因为 A （6，0）， B （0，6），
所以 OA ＝ OB .
所以∠ OAC ＝∠ OBC ＝45°.
因为△ ACO ≌△ ACQ ，
所以∠ OAC ＝∠ QAC ＝45°.
所以∠ OAQ ＝90°.
所以点 E 与点 A 重合.
所以 OE ＝ AO ＝6.
③如图5，当△ ACO ≌△ CAQ ，点 Q 在第一象限时，
∠ ACO ＝∠ CAQ ，∠ CAO ＝∠ ACQ .
所以 CQ ＝ AO ＝6.易得 AE ＝2，
综上所述， m 的值为2或6或8.
类型二　一次函数与三角形的存在性问题 如图，已知四边形 ABCO 是长方形， O 为坐标原点，点 B 的 坐标为（8，6），点 A ， C 都在坐标轴上， P 是线段 BC 上的一 动点， PC ＝ m .直线 y ＝2 x ＋6向右平移6个单位长度后，在该 直线上是否存在点 G ，使△ APG 是等腰直角三角形？若存在， 请求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：存在点 G ，使△ APG 是等腰直角三角形.理由如下：
直线 y ＝2 x ＋6向右平移6个单位长度后的函数表达式为 y ＝2（ x －6）＋6＝2 x －6.
如图1，当∠ AGP （ B ）＝90°， AG ＝ PG 时，易得点 G 的坐标 为（4，2），且在直线 y ＝2 x －6上；
【思路导航】利用平移的规律求出 y ＝2 x ＋6向右平移后的函数 表达式，再分三种情况讨论，求出每种情况下点 G 的坐标即可.
【点拨】等腰直角三角形的存在性问题要抓住腰相等，然后构 造全等三角形解决问题.
解：（1）经过.因为 y ＝ kx ＋2 k ，所以 y ＝ k （ x ＋2）.所以当 x ＝－2时， y ＝0.所以直线 l2经过定点（－2，0）.
（1）直线 l2是否经过 x 轴上一定点？若经过，求该定点的坐 标；若不经过，请说明理由.
（2）过点 M （0，6）作平行于 x 轴的直线 l3，点 Q 为直线 l3上的一个动点，当△ QAB 是不以点 A 为顶角顶点的等腰三角形时，求点 Q 的坐标.
所以点 B 的坐标为（0，3），点 A 的坐标为（6，0）.
如图，设点 Q 的坐标为（ n ，6）.
类型三　相交型图象信息问题 甲、乙两个工程队同时挖掘两段长度相等的隧道，甲、乙 两队挖掘隧道长度 y （m）与挖掘时间 x （天）之间关系的部分 图象如图所示.请解答下列问题：
（1）在前2天的挖掘中，甲队的挖掘速度为 m/天，乙队 的挖掘速度为 m/天.
（2）①当2＜ x ＜6时，求 y乙与 x 之间的函数表达式；
②开挖几天后，两工程队挖掘的隧道长度相差5 m？
【思路导航】（1）利用“速度＝路程÷时间”分别列式计算即 可；（2）①利用待定系数法即可求得；②求出甲队的函数表达 式，再根据 y甲－ y乙＝5或 y乙－ y甲＝5，列出方程求解即可.
（1）【解析】甲队挖掘速度：60÷6＝10（m/天），乙队前2天 挖掘速度：30÷2＝15（m/天）.故答案为10，15.
（2）解：①当2＜ x ＜6时，设 y乙＝ kx ＋ b （ k ≠0）.根据图象，得2 k ＋ b ＝30，6 k ＋ b ＝50，
解得 k ＝5， b ＝20.所以当2＜ x ＜6时， y乙＝5 x ＋20.
②由题可得，当0≤ x ≤2时， y乙＝15 x ；当2＜ x ≤6时， y乙＝5 x ＋20.当0≤ x ≤6时， y甲＝10 x .由10 x ＝5 x ＋20，解得 x ＝4.当0≤ x ≤2时，15 x －10 x ＝5，解得 x ＝1；当2＜ x ≤4时，（5 x ＋20）－10 x ＝5，解得 x ＝3；当4＜ x ≤6时，10 x －（5 x ＋20）＝5，解得 x ＝5.故挖掘1天或3天或5天后，两工程队挖掘的隧道长度相差5 m.
【点拨】特别注意分段函数的图象和自变量的取值范围，不同 的取值范围内，对应不同的图象.
1. 如图， l1表示某机床公司一天的销售收入与销售量的关 系， l2表示该公司一天的销售成本与销售量的关系.有以下四 个结论：
① l1对应的函数表达式是 y ＝ x ；② l2对应的函数表达式是 y ＝ x ＋1；
③当销售量为2件时，销售收入等于销售成本；④利润与销售量 之间的函数表达式是 W ＝0.5 x －1.
其中正确的结论是 （填序号）.
2. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两 车同时出发，设客车离甲地的距离为 y1（km），出租车离甲地 的距离为 y2（km），客车行驶时间为 x （h）， y1， y2与 x 的函 数关系图象如图所示.
解：（1） y1＝60 x （0≤ x ≤10）， y2＝－100 x ＋600（0≤ x ≤6）.
（1）根据图象，直接写出 y1， y2关于 x 的函数关系式；
（2）令 y1＝ y2，即60 x ＝－100 x ＋600，
（2）若设两车间的距离为 S （km），请写出 S 关于 x 的函数关 系式；
（3）甲、乙两地间有A，B两个加油站，相距200km，若客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油，求A加油站到甲地的距离.
解得 x ＝5.所以 y1＝60 x ＝300；
③当6＜ x ≤10时，60 x ≥360，不合题意.即A加油站到甲地距离为150km或300km.
（3）由题意，得 S ＝200，