2023-2024学年广东省广州市海珠区高二下学期期末教学质量检测数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市海珠区高二下学期期末教学质量检测数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列an中，Sn为其前n项和，若S3=1，S6=4，则S9=( )
A. 7B. 8C. 9D. 12
2.已知随机变量ξ服从正态分布N3,σ2，且P(ξ0，证明PMN>PM；
②记事件E=“B课外知识讲座有同学选择”，事件F=“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件E，F是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求ρE,F．
19.(本小题12分)
已知函数fx=e2x+21−aex−2ax．
(1)讨论fx的单调性；
(2)当a>0时，求证：fx>lna−2a−12+32．
答案简析
1.C
【简析】解：∵等差数列{an}中，Sn为其前n项和，S3=1，S6=4，
则根据等差数列的性质可得S3，S6−S3，S9−S6仍成等差数列，
即1，4−1，S9−4成等差数列，则有2×(4−1)=1+(S9−4)，
解得S9=9．
故选：C．
2.D
【简析】解：∵随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，得对称轴是x=3，P(ξ1，
∴结合函数的定义域，得当x∈(1,+∞)时，函数为单调增函数，
因此，函数f(x)=x−ln x的单调递增区间是x∈(1,+∞)，
故选B．
4.C
【简析】解：根据题意甲不值第一天，乙不值第五天
若甲排在第五天，则其余4人进行全排列，有A44=24种排法，
若甲不排在第五天，则甲有3种排法，乙有3种排法，其余三人有A33=6种排法，
∴3×3×A33=54种排法，
∴24+54=78种排法．
故选C．
5.D
【简析】解：由2025=34×52，对于质因数3，指数是4，所以贡献的是4+1=5个因数；
对于质因数5，指数是2，所以贡献的是2+1=3个因数．
因此，2025的正因数数量是：5×3=15，
所以，2025有15个正因数，D正确．
6.B
【简析】解：由表中数据，计算得
x=14×(3+4+5+6)=4.5，y=14×(2.5+3+4+4.5)=3.5，
且线性回归方程y=0.7x+a∧过样本中心点(x,y)，
即3.5=0.7×4.5+a∧，
解得a∧=0.35，
∴x、y的线性回归方程是y=0.7x+0.35，
当x=7时，估计生产7吨产品的生产能耗为
y=0.7×7+0.35=5.25(吨)．
故选B．
7.C
【简析】解： ①设f(x)=ex−x−1，则f′(x)=ex−1，令f′(x)0．
故f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，故f(x)≥f(0)=0．
因此ex≥x+1>x，则lnex=x>lnx，故lnx 0，
即P(MN)P(N)>P(M)，
而P(M|N)=P(MN)P(N)，
所以P(M|N)> P(M)成立．
②事件E:B课外知识讲座有同学选择，则事件E:B课外知识讲座没有同学选择由(1)可知P(E)=C30(13)0(23)3=827，
所以P(E)=1−P(E)=1927，
事件F:至少有两个课外知识讲座有同学选择，则事件F:有一个课外知识讲座有同学选择，P(F)=C3133=19，
所以P(F)=1−P(F)=89
事件EF:至少有两个课外知识讲座有同学选择且B课外知识讲座有同学选择，分为两种情况：一种是三个课外知识讲座都有同学选择;另一种是两个课外知识讲座都有同学选择且B课外知识讲座有同学选择．
故P(EF)=A3333+C21(C31+C32)33=23因为P(EF)≠P(E)P(F)，所以事件E，F不相互独立．ρ(E,F)=P(EF)−P(E)P(F) P(E)P(E)P(F)P(F)=23−1927×89 1927×827×89×19，
化简得ρ(E,F)=5 1976．
【简析】
(1)根据题意分别求得P(X=0)，P(X=1)，P(X=2)，P(X=3)，再求期望即可求解；
(2)①由题意可得P(MN)>P(M)P(N)，再用条件概率公式即可证明；
②依次求得P(M)，P(N)，P(M)，P(N)，P(MN)，再代入公式即可求解
19.解：(1)f′(x)=2e2x+2(1−a)ex−2a=2(ex−a)(ex+1)
(Ⅰ)当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增．
(Ⅱ)当a>0时，令f′(x)=0，得x=lna
当x>lna时，f′(x)>0;当x0时f(x)在(lna,+∞)上单调递增;在(−∞,lna)上单调递减．
(2)由(1)知，当a>0时，函数f(x)在x=lna处取得最小值，f(lna)=e2lna+2(1−a)elna−2alna=−a2+2a−2alna
要证f(x)>lna−(2a−1)2+32，即证3a2−2a−2alna−lna−12>0现证lna≤a−1
∵设g(a)=a−1−lna
∴g′(a)=1−1a
当令g′(a)=0得a=1当g′(a)>0得a>1，当g′(a)0
即a2−a+12>0，
∵a2−a+12=(a−12)2+14>0显然成立
所以f(x)>lna−(2a−1)2+32对a>0恒成立
【简析】
(1)求导并因式分解得f′(x)=2(ex−a)(ex+1)，再分当a≤0时，当a>0时，进行讨论；
(2)问题转化为证3a2−2a−2alna−lna−12>0，先证lna≤a−1，再证3a2−2a−(2a+1)(a−1)−12>0，即可．x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
X
0
1
2
3
P
q
0.2
0.1
0.2
性别
足球
合计
喜欢
不喜欢
男生
30
20
50
女生
10
20
30
合计
40
40
80
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P
827
1227
627
127