第十二章 全等三角形单元检测卷-（暑期衔接课堂）2024年暑假七升八数学衔接讲义（人教版）

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选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（22-23八年级上·河南驻马店·期中）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意；
B、两个图形能完全重合，属于全等图形，故此选项符合题意；
C、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键．
2．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（ ）．
A．30°B．45°C．55°D．60°
【答案】B
【分析】根据网格特点，可得出，，，进而可求解．
【详解】解：如图，则，，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．
3．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形全等的判定，得到是解题的关键．由推出，再根据，，三边对应相等，即可求解．
【详解】，,
，
，，
．
故选：A．
4．（22-23八年级上·湖北荆门·期中）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )
A．全等三角形的定义B．SSSC．ASAD．AAS
【答案】B
【分析】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．
【详解】解：连接NC，MC，
在△ONC和△OMC中
∵，
∴△ONC≌△OMC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．
5．（22-23八年级上·广东惠州·期末）如图，，，要使，添加条件正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分别根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】∵，
∴，
即．
，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故A选项不符合题意；
，，，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出，故B选项符合题意；
，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故C选项不符合题意；
，，，不符合全等三角形的判定定理．不能推出，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理，灵活选择判定定理是解题的关键．
6．（23-24八年级上·河南许昌·期中）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），若测量得，则工件内槽宽为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明即可．
【详解】解：如图，连接，
∵点O分别是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
7．（2023·河南南阳·二模）作一个三角形与已知三角形全等：
已知：．
求作：，使得．
作法：如图．
（1）画；
（2）分别以点，为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点；
（3）连接线段，，则即为所求作的三角形．
这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是（ ）
A．AASB．ASAC．SASD．SSS
【答案】D
【分析】根据SSS证明三角形全等即可．
【详解】解：根据傻得，A′B′=AB，A′C′=AC；
在△A′B′C′和△ABC中，
，
∴△A'B'C′≌△ABC（SSS）．
故选：D．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
8．（23-24八年级上·湖北·周测）已知，，，其中．点P以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为 t 秒．
①若，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍；
②当P、Q两点同时到达A点时，；
③若，，时，与垂直；
④若与全等，则或．
以上说法正确的选项为（ ）

A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】C
【分析】根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断①；首先求出点P到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质列出方程求解即可．
【详解】解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为 t 秒，
∴点P运动路程为，
若，则点Q运动路程为，
∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确；
②当P点到达A点时，秒，
∵P、Q两点同时到达A点，
∴，故②正确；
③如图所示，

当，时，
点P运动的路程为，点Q运动的路程为，
∵，
∴，，
∵
∴
∴
∴和不全等
∴
∵
∴
∴
∴与不垂直，故③错误；
④当时，
∴，即，
，即
解得，，
当时，
∴，即，
，即
解得，．
∴若与全等，则或，故④正确．
综上所述，正确的选项为①②④．
故选：C．
【点睛】此题考查了三角形动点问题，全等三角形的性质和判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置．
9．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线交于点G．
若，的面积为18，则的面积为（ ）
A．12B．18C．24D．27
【答案】D
【分析】本题主要考查了角平分线的作法和性质及三角形面积公式的应用；
作，，根据作图过程可得是的角平分线，根据角平分线的性质可得，再根据的面积为18，求出的长，进而可得结果．
【详解】如图，过点作于点，于点
根据作图过程可知：
是的角平分线
∵
故选：D．
10．（23-24七年级下·河南郑州·期中）（1）小明回顾用尺规作一个角等于已知角的作图过程（如图①所示）．
（2）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图②所示，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线就是的平分线．
（3）如图③，小敏做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线，就是的平分线．
（4）小颖在作业本上画的被墨迹污染（如图④），小颖想用尺规作一个与原来完全一样的．
以上作图过程都用到了三角形全等的判定，其中，判定方法不一样的是（ ）
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形全等判定的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，先根据作图分别判断三角形全等的判定方法，然后进行判断即可．
【详解】解：（1）从作图可知：，，
根据“”可得：，
所以；
（2）从操作可得：，，，根据“”得；
（3）因为，，，根据“”得，
所以是的平分线；
（4）从图形可知：应该先画，然后边和上分别截取，，连接，根据“”得；
综上分析可知：判定方法不一样的是（4）．
故选：D．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（22-23八年级下·全国·课前预习）能够完全重合的两个图形叫做 ．如果两个图形全等．它们的形状和大小一定 ．
【答案】 全等形 相等
【解析】略
12．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，若，且，则 ．

【答案】
【分析】根据全等三角形的对应边相等求解即可．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
13．（22-23八年级上·广东阳江·期中）如图，已知AD＝BC，∠1＝∠2，那么△ABC≌ ．
【答案】△BAD
【分析】根据已知条件，结合两个三角形存在公共边即可证得，可得答案．
【详解】解：在和中，
，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等时，要特别注意公共边和公共角．
14．（22-23七年级·全国·假期作业）如图所示，求作一个角等于已知角．
作法：（1）作射线 ；
（2）以 为圆心，以 为半径画弧，交于点，交于点；
（3）以 为圆心，以 为半径画弧，交于点；
（4）以点为圆心，以 为半径画弧，交前面的弧于点；
（5）过 作射线．就是所求作的角．
【答案】（1）；（2），任意长；（3），的长（或的长）；（4）；（5）点．
【分析】用三边对应相等的两个三角全等作一个角等于已知角即可；作射线；以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点构造△OCD；以点为圆心，以的长（或的长）为半径画弧，交于点，OD=OD′；以点为圆心，以的长为半径画弧，交前面的弧于点，C′D′=CD；过点作射线，OC′=OC；△OCD≌△O′C′D′（SSS），则∠COD=∠C′O′D′；则就是所求作的角．
【详解】解：作法如下：
（1）作射线；
（2）以点为圆心，以任意长为半径画弧，交于点，交于点；
（3）以点为圆心，以的长（或的长）为半径画弧，交于点；
（4）以点为圆心，以的长为半径画弧，交前面的弧于点；
（5）过点作射线，
则就是所求作的角．
故答案为：（1），（2）O，任意长，（3），的长（或OD的长），（4），（5）点．
【点睛】本题考查尺规作图作一个角等于已知角，掌握尺规作图作一个角等于已知角的步骤与理论依据是解题关键．
15．（2023·四川广安·二模）如图，点P在内部，于点M，于点N，且．若，则 °．
【答案】40
【分析】根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；再由全等的性质即可解答；
【详解】解：Rt△OPM中，∠OPM=70°，则∠POM=20°，
Rt△OPM和Rt△OPN中：OP=OP，PM=PN，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），∴∠POM=∠PON=20°，
∴∠AOB=40°，
故答案为：40；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，掌握全等的判定和性质是解题关键．
16．（22-23八年级下·广东揭阳·阶段练习）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是 ；
【答案】 SAS HL
【分析】由图可知小刘同学确定的是两条直角边，根据三角形全等判定定理为 ．
由图可知小赵同学确定了一个直角边和斜边，根据三角形全等判定定理为 ．
【详解】小刘同学画了后，再截取两直角边等于两已知线段，所以确定的依据是定理；
小赵同学画了后，再截取BC,AC一直角边和一个斜边，所以确定的依据是HL定理．
故答案为：①SAS；②HL．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握每种证明方法，做出判断是解题的关键．
17．（2023·山东淄博·一模）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为 ．

【答案】；
【分析】延长至使，连接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算．
【详解】

如图：延长至使，连接
在和中：

∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
即
∴
【点睛】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键．
18．（22-23八年级上·河南开封·阶段练习）如图，在四边形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．设运动时间为，当与以，，为顶点的三角形全等时，则点的运动速度为 ．

【答案】
【分析】根据题意分两种情况讨论，然后根据全等三角形对应边相等分别列出方程求解即可．
【详解】设点的运动速度为，
则，，，
∵，
∴当，时，
∵，
∴根据“”判断，
即，，
解得：，（此时CF=9不符合题意）；
当，时，
∵，
∴根据“”判断，
即，，
解得：，，
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定和性质，几何动点问题，解题的关键是根据题意分情况讨论，分别根据全等三角形的性质列出方程求解．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知．如果，，求的长．
【答案】5
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，可得，再由已知条件，利用，即可求得的长，解题关键是掌握全等三角形的性质．
【详解】解：，
，
又，
，
．
20．（2023·四川乐山·三模）如图，已知：AC＝BD，∠A＝∠B，∠E＝∠F，求证：AE＝BF．
【答案】见解析
【分析】证明△ADE≌△BCF（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝BF．
【详解】证明：∵AC＝BD，
∴AC+CD＝DB+CD，
即AD＝BC，
在△ADE和△BCF中，
，
∴△ADE≌△BCF（AAS），
∴AE＝BF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△ADE≌△BCF是解题的关键．
21．（22-23八年级下·福建福州·期中）在四边形中，，．请你添加一条线段把它分成两个全等三角形，并给出证明．
【答案】见解析
【分析】连接AC，根据全等三角形的判定解答即可．
【详解】解： 连接，则，证明如下：
在与中，
，
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，关键是推出证两三角形全等的三个条件，题目比较典型， 难度不大．
22．（22-23八年级上·湖北襄阳·期中）如图，，，，．求的度数．
【答案】90°
【分析】
先证，，再由全等三角形的性质，可得，最后用等量代换求得
【详解】
解：∵，，
∴，
在和中
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定，全等三角形的性质，灵活运用以上知识是解题的关键．
23．（22-23八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在△ABC中，，，直线经过点，且于，于.
(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，
①求证：△ADC≌△CEB．
②求证：DE=AD+BE.
(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，判断和的关系，并说明理由.

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）△ADC≌△CEB；理由见解析
【分析】（1）①要证△ADC≌△CEB，已知一直角∠ADC=∠CEB=90°和一边AC=CB对应相等，由题意根据同角的余角相等，可得另一内角∠ECB=∠DAC，再由AAS即可判定；
②由①得出AD=CE，BE=CD，而DE=CD+CE，故DE=AD+BE；
（2）同理，根据上一小题的解题思路，易得△ADC≌△CEB.
【详解】（1）①∵∠ACB=90°
∴∠DCA+∠ECB=90°
又∵AD⊥MN
∴∠DCA+∠DAC=90°
∴∠ECB=∠DAC
又∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS）
②∵△ADC≌△CEB
∴AD=CE，BE=CD
又∵DE=CD+CE
∴DE=AD+BE
（2）△ADC≌△CEB；
∵∠ACB=90°
∴∠DCA+∠ECB=90°
又∵AD⊥MN
∴∠DCA+∠DAC=90°
∴∠ECB=∠DAC
又∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
在△ADC和△CEB中
∴△ADC≌△CEB（AAS）
【点睛】此题主要考查三角形全等的判定，熟练掌握，即可解题.
24．（22-23八年级上·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系第一象限中有一点B. 要求：用尺规作图作一条直线AC，使它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC全等.
(1)小明的作法是：过B点分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足为A、C,连接A、C,则直线AC即为所求.请你帮助小明在图中完成作图（保留作图痕迹）；
图
（2）请在图中再画出另一条满足条件的直线AC，并说明理由.
图
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）根据题干要求尺规作图即可.
（2）利用三角形全等的性质，作OB的垂直平分线即可解答.
【详解】解：（1）
(2)
如图所示，直线AC即为所求
由作图知：直线AC是线段OB的垂直平分线，
∴CO=CB,AO=AB
又∵ AC=AC,
∴△COA≌△CBA (SSS)
∴ ∠CBA=∠COA=90°
【点睛】本题为考查尺规作图与三角形全等的综合题，难度较小，熟练掌握三角形全等的性质和判定是解题关键.
25．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知：如图中，．
求作：点P，使得点P在上，且点P到的距离等于．
作法：以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线、于点D、E；
分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点F；
作射线交于点P．
则点P即为所求．
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面证明．
证明：连接、
在和中
（_______________）（填推理的依据）
，点P在上
作于点Q
点P在上
（_______________）（_______________）（填推理的依据）．
【答案】(1)图见解析；
(2)（或三边对应相等的两个三角形全等），，角平分线上的点到角两边的距离相等
【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题．
（1）按照题目中的已知作法作图即可；
（2）先根据得出，根据全等三角形的对应边相等得出，再根据角平分线的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）证明：连接、
在和中
（三边对应相等的两个三角形全等）（填推理的依据）
，点P在上
作于点Q
点P在上
（）（角平分线上的点到角两边的距离相等）（填推理的依据）．
故答案为：（或三边对应相等的两个三角形全等），，角平分线上的点到角两边的距离相等．
26．（22-23八年级上·广西南宁·期末）综合与实践：
【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：．
【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点．
【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）利用证得，即可求证结论；
（2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论；
（3）过点作于，由（2）得，，，再根据数量关系即可求解；
【详解】解：（1）证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：过作于，如图：
由（1）得：，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
，，
是的中点；
（3），理由如下：
过点作于，如图：
由（2）得：，，，
，
，，
，
，
，
．