福建省泉州市安溪县2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

这是一份福建省泉州市安溪县2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题，共11页。试卷主要包含了考生作答时，将答案答在答题卡上，3413B．0，92C．62等内容，欢迎下载使用。

学校 班级 姓名 座号
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列的前n项和为，若，，则
A．3B．4C．5D．6
2.已知随机变量X服从正态分布，则
（参考数据：，）
A．0.3413B．0.4772C．0.6826D．0.9544
3.用4种不同的颜色对右侧图形中的4个区域进行着色，相邻两个区域颜色不同，则不同的着色方法种数等于
A．16B．24C．48D．256
4.已知两个分类变量X，Y的数据列联表如下，则下列能说明X与Y有关联的是
A．B．C．D．
5.设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象不可能是
A．B．
C．D．
6.某公司为了解年研发资金x（单位：亿元）对年产值y（单位：亿元）的影响，对公司近8年的年研发资金和年产值（，）的数据对比分析中，利用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为，且经数据处理得到，，，则
A．B．49.92C．62.08D．120.98
7.如图为某公交线路图的一部分，现在6名同学从安一中站点上车，分组到人民银行、实验小学、凤山公园、凤山书院4个站点参加公益宣传活动，每个站点至少一人，且实验小学站至少2人，则下车的不同方案种数为
A．120B．480C．540D．660
8.如图，已知正三角形的边长为2，且对任意，，，分别为，，的中点，记的周长为，则
A．B．C．1023D．2046
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.某同学根据变量x与Y的六组数据（，2，…，6）绘制了如下散点图，并选择一元线性回归模型进行拟合，若去掉B点，则下列说法正确的是
A．残差平方和变小B．相关系数r越趋于1
C．决定系数变大D．Y与x线性相关程度变强
10.设A，B为随机事件，，则下列能推出的是
A．B．C．D．
11.已知函数，.对于不相等的实数，，设，，则下列说法正确的是
A．对于任意不相等的实数，，都有
B．对于任意的a及任意不相等的实数，，都有
C．对于任意的a，存在不相等的实数，，使得
D．对于任意的a，存在不相等的实数，，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的展开式中含的系数等于2，则 .
13.已知数列满足，，则 .
14.有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为；邮件在被标记为垃圾邮件的条件下，它是正常邮件的概率为；邮件在被标记为正常邮件的条件下，它是垃圾邮件的概率为，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率等于 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求的极值.
16.（15分）
某学校共1000名学生，其中男生500人，女生500人，在一次调查“体育迷”的活动中，采用分层随机抽样的方法从中抽取100人，统计得到如下等高堆积条形图.
（1）求抽取的男生人数和女生人数；
（2）根据已知条件完成下面的2×2列联表：
（3）据小概率值的独立性检验，能否认为性别是否与体育迷有关联？
附：，．
17.（15分）
已知数列满足，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为d，的等差数列，令，求数列的前n项和.
18.（17分）
某城市拟建立一个艺术公园，为此对资格初审入围的两家设计公司A，B进行招标问题测试，并聘请专家制定方案如下：先从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，A公司能正确回答其中4道题目，而B公司能正确回答每道题目的概率均为.假设A公司答对题数为X，B公司答对题数为Y，A，B两家公司对每道题的回答都是相互独立，互不影响的.
（1）求的概率；
（2）试从期望和方差的角度分析哪家公司通过测试的可能性更大？
（3）设，求Z的分布列和数学期望.
19.（17分）
曼哈顿距离，也被称为出租车距离，是指在平面上，一个点沿着网格线（即沿着水平或垂直方向）移动到另一个点的最短距离.它是一种简单而有效的度量方式，广泛应用于计算机科学中的图论、机器人路径规划、以及机器学习中作为距离度量等领域.已知在平面直角坐标系xOy中，A，B的曼哈顿距离记作，点M在函数（）的图象上.
（1）若，，且，求n；
（2）已知，求的取值范围；
（3）已知点，K为MN的中点，记的最大值为，求的最小值.
2023—2024学年度下学期安溪县高中教学质量监测
高二数学参考答案
一、单选题
1.A2.B3.C4.C5.C6.A7.D8.D
二、多选题
9.ACD10.ABC11.AC
三、填空题
12.13.14.
四、解答题
15.解：
（1）由，得切点为，
，
从而切线的斜率，
故所求的切线方程为，即．
（2）的定义域为，且，
令，得或，
当x变化时，，的变化情况如下表
作出的图象，如图
由图可知当时，取得极大值；当x=0时，取得极大值0．
16.解：
（1）根据分层抽样，得抽取的男生人数为，
抽取的女生人数为；
（2）男生中“体育迷”的人数为，
“非体育迷”的人数为20，
女生中“体育迷”的人数为，
“非体育迷”的人数为30，
故2×2列联表如下：
（3）零假设为：性别与体育迷无关联．
根据残联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与体育迷有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
17.解：
（1）由，得，
整得，得，
又，所以，
故，．
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
故，从而．
（2）依题意，得
所以
从而
.
18.解：
（1）因为A，B两家公司对每道题的回答都是相互独立，
所以
当时，，
所以，.
又，2，3，
，，，
所以X的分布列为：
故，
．
因为，，
所以A公司竞标成功的可能性更大．
（3）由，得，1，2，3，
因为A，B两家公司对每道题的回答都是相互独立，
所以
.
所以Z的分布列为：
故.
19.解：
（1）由题意，得，
从而可得，即，解得或；
（2）设，则，
①当时，，
令，则，
所以在单调递增，从而；
②当时，则，
令，则，
所以在单调递减，从而，
综上，可得的取值范围为．
（3）设，，则，，
所以
，
，
令（），则，
所以在单调递增，故；
令（），则，
当时，，所以在单调递减；
当时，，所以在单调递增，
故；
从而
，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为．
X
Y
合计
100
a
d
200
b
e
合计
300
c
n
体育迷
非体育迷
合计
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.789
10.828
x
0
＋
0
－
0
＋
单调递增
单调递减
0
单调递增
体育迷
非体育迷
合计
男生
30
20
50
女生
20
30
50
合计
50
50
100
X
1
2
3
P
Z
0
1
2
3
P