高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第13练余弦定理、正弦定理的应用举例(原卷版+解析)

这是一份高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第13练余弦定理、正弦定理的应用举例(原卷版+解析)，共40页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，线段AB表示一信号塔，DE表示一斜坡，.且B、C、E三点在同一水平线上，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡DE的坡比为3：7，米.某人站在坡顶D处测得塔顶A点的仰角为37°，站在坡底C处测得塔顶A点的仰角为48°（人的身高忽略不计），则信号塔的高度AB为（ ）（结果精确到1米）.（参考数据：，，，）
A．54B．58C．76D．85
2．如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，某人先在塔的正西方点C处测得塔项的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60到达点D处，在D处测得塔项的仰角为，则铁塔AB的高度是（ ）
A．50B．30C．25D．15
3．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是，则河流的宽度等于（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿坡角为的斜坡向上走到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，且A，B，P，C，Q在同一平面，则山的高度为（参考数据：取）（ ）
A．B．C．D．
5．在中，，是线段上的点，，若的面积为，则取到最大值时，的长度为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在河岸一侧取A，B两点，在河岸另一侧取一点C，若AB=12m，借助测角仪测得∠CAB=45°，∠CBA=60°，则C处河面宽CD为（ ）
A．6（3+）mB．6（3-）m
C．6（3+2）mD．6（3-2）m
7．在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平平面上，为测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A，B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北的方向上，在B处测得该塔底部C在西偏北的方向上，并测得塔顶D的仰角为.已知AB=a，，则此塔的高CD为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min．若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为________m．
A．50B．50C．50D．50
9．已知三个观测点，在的正北方向，相距，在的正东方向，相距.在某次爆炸点定位测试中，两个观测点同时听到爆炸声，观测点晚听到，已知声速为，则爆炸点与观测点的距离是（ ）
A．B．C．D．
10．年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为（单位），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有三点，且在同一水平面上的投影，满足，由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则两点到水平面的高度差为（ ）
A．B．
C．D．
11．如图所示，点是等边外一点，且，，，则的周长为（ ）
A．B．
C．D．
12．黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物在它们之间的地面上的点三点共线）处测得楼顶､楼顶的仰角分别是和在楼顶处测得楼顶的仰角为，则估算黄鹤楼的高度为（ ）
A．B．C．D．
13．如图，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达处，此时测得俯角为．已知此山的高，小车的速度是，则（ ）
A．B．C．D．
14．世界上有很多国家的著名城市都是沿河而建的，某城市在南北流向的河流两岸修建了风光带用于改善城市人居环境.已知小徐步行到岸边点时，测得河对面的某地标建筑物在其北偏东60°的方向上，往正北方向步行到达点后，测得该地标建筑物在其南偏东75°方向上.则此时小徐与该地标建筑物的距离（ ）
A．B．C．D．
15．大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字城雕有着厚重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘､走进商丘的欲望.吴斌同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度（即图中线段的长度）.他在该雕塑塔的正东处沿着南偏西的方向前进米后达到处（，，三点在同一个水平面内），测得图中线段在东北方向，且测得点的仰角为，则该雕塑的高度大约是（参考数据：）（ ）
A．米B．米C．米D．米
16．唐代数学家、天文学家僧一行，利用“九服晷影算法”建立了从0°到80°的晷影长l与太阳天顶距θ的对应数表.已知晷影长l、表高h与太阳天顶距θ满足l=htanθ，当晷影长为0.7时，天顶距为5°.若天顶距为1°时，则晷影长为（ ）（参考数据：tan1°≈0.0175，tan3°≈0.0349，tan5°≈0.0875）
A．0.14B．0.16C．0.18D．0.24
17．如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的，两个观测点，并在，两点处分别测得塔顶的仰角分别为和，且，则此建筑物的高度为（ ）
A．米B．米
C．10米D．5米
18．如图，要测量某湖泊两侧A，B两点间的距离，若给出下列数据，则其中不能唯一确定A，B两点间的距离的是（ ）
A．角A，B和边b
B．角A，B和边a
C．边a，b和角C
D．边a，b和角A
19．“大玉米”是郑州新地标，被称为“中原第一高楼”，也被称为是世界上一座独一无二的标志性建筑.它是圆柱塔式建筑，夜晚其布景灯采用黄色设计，外形宛如一根“大玉米”.某人在地面上点测得塔底在南偏西，楼顶的仰角为，此人沿南偏东方向前进到点，测得楼顶的仰角为，按照此人的测量进行估算，则“大玉米”的高约为（ ）（参考数据：
A．B．C．D．
20．如图，一轮船从A点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛C（ ）
A．北偏东；B．北偏东；
C．北偏东；D．北偏东；
二、多选题
21．如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定两点A，B，测出AB间的距离为20m，∠DAB=75，∠CAB=30，AB⊥BC，∠ABD= 60则（ ）
A．BD=10(3 +)mB．DC = 10m
C．DC = 10mD．BC = 10m
22．如图，在平面四边形中，已知，，，，，下列四个结论中正确的是（ ）
A．B．四边形的面积为
C．D．四边形的周长为
三、填空题
23．在四边形中，，D为外一点，则四边形面积最大时___________.
24．某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高，现选择点和另一座山的山顶（点）作为测量观测点，从测得点的仰角，点的仰角，测得，，已知另一座山高米，则山高______．
25．在平面凸四边形中，且则__________．
26．如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝1000m，则山高MN＝__m．
27．某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高.现选择点A和另一座山顶点C作为测量观测点，从A测得点M的仰角，点C的仰角，测得，，已知另一座山高米，则山高_______米.
28．某中学庆祝国庆仪式上举行升旗礼，在坡度为的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排车的旗杆顶端的仰角分别是，已知旗杆的高度为28.3米，则第一排与最后一排之间的距离约为__________（取，小数点后保留一位有效数字）
29．若等腰三角形（其中）的周长为则的腰上的中线的长的最小值是___________.
30．如图，一辆汽车在一条笔直的马路上从东往西以的速度匀速行驶，在处测得马路右侧的一座高塔的仰角为，行驶5分钟后，到达处，测得高塔的仰角为，其中为高塔的底部，且在同一水平面上，则高塔的高度是___________.（塔底大小､汽车的高度及大小忽略不计）
31．某人向正东方向走后，他向右转，然后朝新方向走，结果他离出发点恰好，那么x的值为_____________．
32．在气象台正西方向km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为km/h，距台风中心km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约________小时后气象台所在地开始受到影响（参考数据：，）.
33．为测量河的宽度，在一岸边选定两个观测点和，观测对岸标记物，测得，，，则河宽为______米．
34．如图，从200m高的电视塔塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，∠BAC＝45°，则B，C两点间的距离为________m．（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）
35．某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处，然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处，若A处与C处的距离为nmile，则x的值为___________.
36．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD，，米，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB为___________米.
37．已知在平面四边形中，，，，，四个内角满足，则四边形的面积为___________.
38．如图是2021年9月17日13：34神州十二号返回舱(图中C)接近地面的场景.伞面是表面积为1200m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于D，D和观测点A在同一水平线上.在A测得点B的仰角∠(DAB＝30°，且BC的视角∠BAC满足sin∠BAC＝，则此时返回舱底端离地面距离CD＝____________.(π＝3.14，sin∠ACB＝，计算过程中，球半径四舍五入保留整数，长度单位：m).
39．如图，在离地面高100的热气球M上，观测到山顶C处的仰角为､山脚A处的俯角为，已知，则山的高度BC为___________.
40．旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃观景台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的M山峰和N山峰间建一座空中玻璃观景桥.已知两座山峰的高度都是300m，从B点测得M点的仰角，N点的仰角以及，则两座山峰之间的距离_________m.
41．如图，一次机器人足球比赛中，甲队号机器人由点开始作匀速直线运动到达点此时足球从点处出发，以机器人速率的倍向点作匀速直线滚动，已知，，，则该机器人最快可在线段上距点___________的处截住足球.
42．在相距1000米的A，B两点处测量目标点C，若，，则B，C两点之间的距离为___________米.
43．游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于________．
四、解答题
44．在①；②,这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
(1)判断△ABC的形状；
(2)在（1）的条件下，若，b＝10，AD为BC边上的中线，求AD的长.
45．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，∠B＝45°．
(1)求边BC的长以及三角形ABC的面积；
(2)在边BC上取一点D，使得，求tan∠DAC的值．
46．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为1260m，经测量，，.
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
第13练 余弦定理、正弦定理的应用举例
eq \\ac(○,通) eq \\ac(○,关) eq \\ac(○,练)
一、单选题
1．如图，线段AB表示一信号塔，DE表示一斜坡，.且B、C、E三点在同一水平线上，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡DE的坡比为3：7，米.某人站在坡顶D处测得塔顶A点的仰角为37°，站在坡底C处测得塔顶A点的仰角为48°（人的身高忽略不计），则信号塔的高度AB为（ ）（结果精确到1米）.（参考数据：，，，）
A．54B．58C．76D．85
【解析】.
在中.
在中，，
由正弦定理得，
所以，
在中，
.
故选：D
2．如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，某人先在塔的正西方点C处测得塔项的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60到达点D处，在D处测得塔项的仰角为，则铁塔AB的高度是（ ）
A．50B．30C．25D．15
【解析】设塔高的高度为，在中，因为，所以；
在中，因为，所以；
在中，，，，
根据余弦定理可得，，
即，解得或（舍去）.
故选：B.
3．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是，则河流的宽度等于（ ）
A．B．
C．D．
【解析】从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，气球的高度是，
所以
所以，
由正弦定理可得，，，
所以.
故选：C
4．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿坡角为的斜坡向上走到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，且A，B，P，C，Q在同一平面，则山的高度为（参考数据：取）（ ）
A．B．C．D．
【解析】，
，．
由正弦定理得，即，
可得．
所以山的高度为
故选：A．
5．在中，，是线段上的点，，若的面积为，则取到最大值时，的长度为（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，
所以，即，
因为，
所以，
等号成立当且仅当时等号成立，此时.
故选：A.
6．如图，在河岸一侧取A，B两点，在河岸另一侧取一点C，若AB=12m，借助测角仪测得∠CAB=45°，∠CBA=60°，则C处河面宽CD为（ ）
A．6（3+）mB．6（3-）m
C．6（3+2）mD．6（3-2）m
【解析】在Rt△BCD中，∠CBA＝60°，
∵tan∠CBD＝，
∴CD＝BD•tan∠CBD＝BD，
在Rt△ACD中，∠CAB＝45°，
则CD＝AD，
∵AB＝AD+BD＝12，
∴BD+BD＝12，
解得BD＝6﹣6，CD＝BD＝18﹣6．
故选：B
7．在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平平面上，为测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A，B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北的方向上，在B处测得该塔底部C在西偏北的方向上，并测得塔顶D的仰角为.已知AB=a，，则此塔的高CD为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】在中，，，如图，
由正弦定理得：，
在中，，，如图，
则有，
所以塔高CD为.
故选：B
8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min．若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为________m．
A．50B．50C．50D．50
【解析】
连结OC，在△OCD中，OD＝=100，CD＝150，∠CDO＝60°，
由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2×100×150×＝17 500，
解得OC＝50 (m)．
故选：C
9．已知三个观测点，在的正北方向，相距，在的正东方向，相距.在某次爆炸点定位测试中，两个观测点同时听到爆炸声，观测点晚听到，已知声速为，则爆炸点与观测点的距离是（ ）
A．B．C．D．
【解析】设爆炸点为，由于两个观测点同时听到爆炸声，则点位于的垂直平分线上，又在的正东方向且观测点晚听到，则点位于的左侧，，,，设，
则，
解得，则爆炸点与观测点的距离为，
故选：D.
10．年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为（单位），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有三点，且在同一水平面上的投影，满足，由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则两点到水平面的高度差为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以，
在中，，由正弦定理得：
，所以，
所以，
所以．
故选：B．
11．如图所示，点是等边外一点，且，，，则的周长为（ ）
A．B．
C．D．
【解析】在中，由余弦定理得：，
整理可得：，解得：，即，，
又是等边三角形，，又，
由勾股定理可得：，的周长为：.
故选：C.
12．黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物在它们之间的地面上的点三点共线）处测得楼顶､楼顶的仰角分别是和在楼顶处测得楼顶的仰角为，则估算黄鹤楼的高度为（ ）
A．B．C．D．
【解析】在中，则
在中，因为，
所以
因为，所以，故.
故选：C.
13．如图，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达处，此时测得俯角为．已知此山的高，小车的速度是，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意，得平面，、平面，故，，
所以，、均为直角三角形，且，，
由，可得，．
因为，所以．
故选：A．
14．世界上有很多国家的著名城市都是沿河而建的，某城市在南北流向的河流两岸修建了风光带用于改善城市人居环境.已知小徐步行到岸边点时，测得河对面的某地标建筑物在其北偏东60°的方向上，往正北方向步行到达点后，测得该地标建筑物在其南偏东75°方向上.则此时小徐与该地标建筑物的距离（ ）
A．B．C．D．
【解析】在中，，，所以，
所以由正弦定理可得，解得.
故选：D.
15．大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字城雕有着厚重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘､走进商丘的欲望.吴斌同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度（即图中线段的长度）.他在该雕塑塔的正东处沿着南偏西的方向前进米后达到处（，，三点在同一个水平面内），测得图中线段在东北方向，且测得点的仰角为，则该雕塑的高度大约是（参考数据：）（ ）
A．米B．米C．米D．米
【解析】在中，，，，
由正弦定理，所以（米），
在中，，
所以（米）
故选：C.
16．唐代数学家、天文学家僧一行，利用“九服晷影算法”建立了从0°到80°的晷影长l与太阳天顶距θ的对应数表.已知晷影长l、表高h与太阳天顶距θ满足l=htanθ，当晷影长为0.7时，天顶距为5°.若天顶距为1°时，则晷影长为（ ）（参考数据：tan1°≈0.0175，tan3°≈0.0349，tan5°≈0.0875）
A．0.14B．0.16C．0.18D．0.24
【解析】依题意，，则有，
，
所以晷影长为0.14.
故选：A
17．如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的，两个观测点，并在，两点处分别测得塔顶的仰角分别为和，且，则此建筑物的高度为（ ）
A．米B．米
C．10米D．5米
【解析】设，则，，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理得，解得或（舍），
故选：B.
18．如图，要测量某湖泊两侧A，B两点间的距离，若给出下列数据，则其中不能唯一确定A，B两点间的距离的是（ ）
A．角A，B和边b
B．角A，B和边a
C．边a，b和角C
D．边a，b和角A
【解析】AB选项，都是两角和其中一角的对边，可求第三角，再结合正弦定理，可唯一确定三角形，C选项，已知两边和夹角，根据余弦定理，唯一确定第三边，只有选项D，
根据正弦定理，可知当已知两边和其中一边的对角时，三角形得出的结果不一定唯一，
故选：D.
19．“大玉米”是郑州新地标，被称为“中原第一高楼”，也被称为是世界上一座独一无二的标志性建筑.它是圆柱塔式建筑，夜晚其布景灯采用黄色设计，外形宛如一根“大玉米”.某人在地面上点测得塔底在南偏西，楼顶的仰角为，此人沿南偏东方向前进到点，测得楼顶的仰角为，按照此人的测量进行估算，则“大玉米”的高约为（ ）（参考数据：
A．B．C．D．
【解析】如图所示，平面，其中
设塔高，
在中，由余弦定理得
整理得：，
由求根公式可得，或（舍去）
所以“大玉米”的高约为.
故选：A.
20．如图，一轮船从A点沿北偏东的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东的方向行驶10海里至海岛，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛C（ ）
A．北偏东；B．北偏东；
C．北偏东；D．北偏东；
【解析】由题意得：，，故，所以从A到C的航向为北偏东，由余弦定理得：，故.
故选：C
二、多选题
21．如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定两点A，B，测出AB间的距离为20m，∠DAB=75，∠CAB=30，AB⊥BC，∠ABD= 60则（ ）
A．BD=10(3 +)mB．DC = 10m
C．DC = 10mD．BC = 10m
【解析】，，
在中，，，，
，，
在中，，，，，
根据正弦定理得：，解得，
，，
，
在中，，根据余弦定理得：，，
在中，，，，且，
根据正弦定理得：，解得．
故选：．
22．如图，在平面四边形中，已知，，，，，下列四个结论中正确的是（ ）
A．B．四边形的面积为
C．D．四边形的周长为
【解析】在中，可得，
在中，可得，
可得，即
因为，可得，可得，
又因为为三角形的内角，所以，所以，所以A正确；
由
，所以B不正确；
在直角中，可得，所以C正确；
四边形的周长为，
所以D正确.
故选：ACD
三、填空题
23．在四边形中，，D为外一点，则四边形面积最大时___________.
【解析】在中，因为，由余弦定理得：，
即，又，所以，所以AB=BC.
因为，所以为等边三角形，设其边长为b.则.
在中，，由余弦定理得：，
所以
所以当时，，面积取得最大值.
故答案为：.
24．某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高，现选择点和另一座山的山顶（点）作为测量观测点，从测得点的仰角，点的仰角，测得，，已知另一座山高米，则山高______．
【解析】在中，，，，
所以可得，
在中，，，
所以，
由正弦定理可得：，即，
所以可得，
在中，，
所以（米）；
故答案为：米．
25．在平面凸四边形中，且则__________．
【解析】在中，由余弦定理得，
，
则，
则在中，由余弦定理得
，
又，
.
故答案为：.
26．如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝1000m，则山高MN＝__m．
【解析】在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝1000m，所以AC＝1000m．
在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，
由正弦定理得，，因此AM＝1000m．
在Rt△MNA中，AM＝1000m，∠MAN＝30°，
由＝sin30°得MN＝500m；
∴山高MN＝500．
故答案为：500．
27．某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高.现选择点A和另一座山顶点C作为测量观测点，从A测得点M的仰角，点C的仰角，测得，，已知另一座山高米，则山高_______米.
【解析】在中，，，，可得
在中，，
所以
由正弦定理可得：
即，得
在直角中，
所以
故答案为：.
28．某中学庆祝国庆仪式上举行升旗礼，在坡度为的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排车的旗杆顶端的仰角分别是，已知旗杆的高度为28.3米，则第一排与最后一排之间的距离约为__________（取，小数点后保留一位有效数字）
【解析】设第一排的观测点为，最后一排的观测点为，旗杆的顶端为，
依题意，得，，则，
可得米，
在中，由正弦定理得，
所以米.
故答案为：23.6米.
29．若等腰三角形（其中）的周长为则的腰上的中线的长的最小值是___________.
【解析】如图所示，设腰长，因为时，则，
解得；
在中由余弦定理可得
在中，由余弦定理可得
所以；
时，取得最小值为．
故答案为：．
30．如图，一辆汽车在一条笔直的马路上从东往西以的速度匀速行驶，在处测得马路右侧的一座高塔的仰角为，行驶5分钟后，到达处，测得高塔的仰角为，其中为高塔的底部，且在同一水平面上，则高塔的高度是___________.（塔底大小､汽车的高度及大小忽略不计）
【解析】如图，由题意可知，
设，则，
在中，由余弦定理可得，
即，解得.
故答案为：.
31．某人向正东方向走后，他向右转，然后朝新方向走，结果他离出发点恰好，那么x的值为_____________．
【解析】根据题意，作出图象，如下图所示
由题意得，
由余弦定理得，解得或.
故答案为：或.
32．在气象台正西方向km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为km/h，距台风中心km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约________小时后气象台所在地开始受到影响（参考数据：，）.
【解析】设气象台所在地为，台风中心为，约小时后气象台所在地将受到影响， 小时后中心移动至处，，
在△中，，
由余弦定理，，整理得，解得，
依题意，保留，故约2小时后影响气象台所在地.
故答案为：2.
33．为测量河的宽度，在一岸边选定两个观测点和，观测对岸标记物，测得，，，则河宽为______米．
【解析】在中，，，∴∠ACB=，
由正弦定理得．
∵，∴，
作，则CD的长为河宽，
在中，，
∴，
故答案为：.
34．如图，从200m高的电视塔塔顶A测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，∠BAC＝45°，则B，C两点间的距离为________m．（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）
【解析】图中平面，则
，
在三角形中，
故答案为：
35．某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处，然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处，若A处与C处的距离为nmile，则x的值为___________.
【解析】由题意得，在中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·csB，即x2+9-2·x·3cs30°=，即x2-3x+6=0，得x=2或x=.
故答案为：或2.
36．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD，，米，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB为___________米.
【解析】在中，，
所以由正弦定理，得，
即，
在中，，
所以.
故答案为：.
37．已知在平面四边形中，，，，，四个内角满足，则四边形的面积为___________.
【解析】由题意，，且，则.
在中，，
在中，，
故且，解得，
则
，
故答案为：D.
38．如图是2021年9月17日13：34神州十二号返回舱(图中C)接近地面的场景.伞面是表面积为1200m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于D，D和观测点A在同一水平线上.在A测得点B的仰角∠(DAB＝30°，且BC的视角∠BAC满足sin∠BAC＝，则此时返回舱底端离地面距离CD＝____________.(π＝3.14，sin∠ACB＝，计算过程中，球半径四舍五入保留整数，长度单位：m).
【解析】设半球半径为，则，∴，∴．
在中，由正弦定理得，
∴，．
故答案为：
39．如图，在离地面高100的热气球M上，观测到山顶C处的仰角为､山脚A处的俯角为，已知，则山的高度BC为___________.
【解析】依题意可知三角形是等腰直角三角形，
所以，
，，
由正弦定理得，
所以.
故答案为：
40．旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃观景台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的M山峰和N山峰间建一座空中玻璃观景桥.已知两座山峰的高度都是300m，从B点测得M点的仰角，N点的仰角以及，则两座山峰之间的距离_________m.
【解析】因为，，
在中，结合余弦定理知
即，
故，所以，
故选：B.
41．如图，一次机器人足球比赛中，甲队号机器人由点开始作匀速直线运动到达点此时足球从点处出发，以机器人速率的倍向点作匀速直线滚动，已知，，，则该机器人最快可在线段上距点___________的处截住足球.
【解析】设，则，.
由余弦定理得
即.
化简得，解得或，当时，不成立，
所以，，
故答案为：.
42．在相距1000米的A，B两点处测量目标点C，若，，则B，C两点之间的距离为___________米.
【解析】由题可得，
由正弦定理可得，
即米.
故答案为：.
43．游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC等于________．
【解析】依题意，设乙的速度为x m/s，
则甲的速度为x m/s，
因为AB＝1 040 m，BC＝500 m，
所以＝，解得AC＝1 260 m．
在△ABC中，由余弦定理得，
cs∠BAC＝＝＝，
所以sin∠BAC＝＝＝．
故答案为：.
四、解答题
44．在①；②,这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
(1)判断△ABC的形状；
(2)在（1）的条件下，若，b＝10，AD为BC边上的中线，求AD的长.
【解析】(1)选①，，由正弦定理理，即，又是三角形内角，所以，△ABC是等腰三角形；
选②，，由正弦定理得，所以，
，又是锐角三角形内角，所以或，
所以或，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形；
(2)选①，，则，，，
中，由余弦定理得：
，；
选②，时同选①得，
时，，则，，所以，，
所以．
45．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，∠B＝45°．
(1)求边BC的长以及三角形ABC的面积；
(2)在边BC上取一点D，使得，求tan∠DAC的值．
【解析】(1)在中，因为，，，
由余弦定理，
得
所以解得：或（舍）
所以，
(2)在中，由正弦定理，
得.
所以
在中，因为，
所以为钝角.
而，
所以为锐角
故
因为，
所以，
，
由题可知∠DAC为锐角，
所以．
46．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为1260m，经测量，，.
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【解析】(1)由题意，，
在中，，
由正弦定理，得.
所以，索道AB的长为1040m.
(2)假设乙出发后，甲、乙两游客距离为d，
此时甲行走了，乙距离A处，
由余弦定理得
，
因为，即，
则当时，甲、乙两游客之间距离最短.
(3)由正弦定理，得，
乙从B出发时，甲已走了，还需要走710m才能到达C，
设乙步行的速度为，
由题意得，
所以为了使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，
乙步行的速度应控制在（单位：）范围之内.