人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题11平行四边形经典最值问题专训(36道)(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题11平行四边形经典最值问题专训(36道)(原卷版+解析)，共65页。

1．（2022秋·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，在菱形中，，E在上，，，P点在上，则的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．
2．（2022秋·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，在中，，M为的中点，H为上一点，过点C作，交的延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是（ ）
A．28B．26C．22D．18
3．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）如图，在长方形中，，，点E是边上一点，且，点P是边上一动点，连接，，则下列结论：
① ；
②当时，平分；
③连接，周长的最小值为；
④当或6或时，为等腰三角形．
其中正确的个数有 （ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．
5．（2022秋·江苏无锡·九年级无锡市天一实验学校校联考阶段练习）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到，连接，则线段长度的最小值是（ ）
A．－1B．－1C．－1D．2
6．（2021秋·河北保定·九年级校考期中）如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值是（ ）
A．4.8B．4C．3D．2.4
7．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图 ，在平行四边形中 ， ，AB=4 ，AD=8 ， 点、分别是边CD、上的动点．连接、 ，点为的中点 ，点为的中点 ，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）
A．2B．C．D．
8．（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）△ABC中，AC＝1，AB＝，BC＝2，点P为BC边上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，在点P运动的过程中，EF的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
9．（2022春·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是（ ）
A．1.2B．1.5C．2.4D．2.5
10．（2021秋·重庆璧山·九年级重庆市璧山中学校校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点P为AB边上一动点，点B关于P的对称点为E，连接DE，DE的中点为点F，则AF的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
11．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图，在边长为a的正方形中，E是对角线上一点，且，点P是上一动点，则点P到边，的距离之和的值（ ）
A．有最大值aB．有最小值C．是定值aD．是定值
12．（2021·江苏南通·统考一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE＝，则CD+EF的最小值为( )
A．﹣B．3﹣C．1+D．3
13．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，正方形的边长为12，点、分别为、上动点（、均不与端点重合），且，是对角线上的一个动点，则的最小值是________．
14．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，中，，，．点D为边上一个动点，作、，垂足为E、F，连接．则长度的最小值为______．
15．（2022秋·四川绵阳·九年级校考阶段练习）如图，已知：，，P是上的一个动点，的最小值为 _____．
16．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）如图，在边长为2的菱形中，，点是边的中点，点是菱形内一动点，且满足，连接，则的最小值为______．
17．（2022秋·河南焦作·九年级校考阶段练习）如图，是以AB为斜边的直角三角形，，，P为AB上一动点，且于E，于F，则线段EF长度的最小值是___________．
18．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，点O是正方形的中心，，过点O的直线分别交、于点E、F，过点B作于点G，连接，则的最小值为__________．
19．（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③的最小值为2；④．其中正确结论的序号为______．
20．（2022春·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，矩形中，，，P，Q分别是上的两个动点，，沿EQ翻折形成，连接，则的最小值是___________．
21．（2023秋·广东广州·九年级广州大学附属中学校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______．
22．（2021秋·陕西渭南·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点（不与A重合，可与重合），连接，若以为边向右侧作等腰直角，，连接，则的最小值为________．
23．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，在中，，，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．
24．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）如图所示，在菱形中，，，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接，在移动的过程中，面积的最小值为______．
25．（2021秋·陕西西安·八年级校考期中）问题提出：
(1)同学们在探索求代数式的最小值的过程时，老师进行了如下的引导，如图1，C为线段BD上的一个动点，分別过点B，D作，，连接AC，EC．已知，，，设．
①则的长为__________．（用含x的代数式表示）
②如图2，过A作交ED的延长线于F，构造长方形ABDF，连接AE，此时A、C、E三点共线，的值最小，求最小值．
问题解决：
(2)请用上述的构图法求出代数式的最小值．
26．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，在中，，，点E，F分别在边上，且，求的最小值．
27．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在平行四边形 中，，，，将平行四边形 沿过点 的直线 折叠，使点 落到边 上的点 处，折痕交边 于点 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 是直线 上的一个动点，请计算 的最小值．
28．（2022秋·广东佛山·八年级校考期中）如图，长方形纸片中，，，折叠纸片的一边，使点D落在边上的点F处，为折痕．请回答下列问题：
(1)______；
(2)试求线段的长度；
(3)若点P为线段上的一个动点，连接和，求线段的最小值．
29．（2022秋·江西九江·九年级统考期中）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)过点D作AC的平行线交直线BC于点E，连接DE，点P是线段BD上的动点，若，请直接写出PC+PE的最小值．
30．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考阶段练习）如图，已知四边形是正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)求的最小值．
31．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，在中，，，动点在的延长线上，是以为斜边的直角三角形，是的中点，连接，，且．
(1)证明：、、三点共线；
(2)连接．
①试判断线段与的数量关系，并给出证明；
②当，且线段取到最小值时，求的长度．
32．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，将一个长为9，宽为6的大矩形分割成如图所示的九个完全相同的小矩形，点、为的三等分点，点为线段上的动点．请在图1、图2中完成下列画图，要求：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹．
(1)在图1中，当点与点重合时，过点画两条直线将矩形分成面积相等的三部分．
(2)在图2中，当点不与点、重合时，过点画两条直线、将矩形分成面积相等的三部分，且、在边上；在点运动的过程中，的周长的最小值为______．
33．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图1，△GEF是一个等腰直角三角形零件（其中EG=FG，∠EGF=90°），它的两个端点E、F分别安装在矩形框架的边AB、BC上（点E、F可以在边上滑动），且EF=AB=1.5，AD=2．小明在观察△GEF运动的过程中，给出了两个结论：①∠GEB与∠GFB一定互补；②点G到边AB、BC的距离一定相等．
(1)小明给出的两个结论是否都正确？若结论是正确的，请写出证明过程，若结论不正确，请说明理由；
(2)请思考并解决小明提出的两个问题：
问题1：B、G两点间距离的最大值为 ；
问题2：过点G分别作GM⊥BC，GN⊥CD，垂足为点M、N，连接MN，那么MN长度的最小值为多少？
34．（2023秋·河北邯郸·八年级校考期末）已知点是正方形对角线上一点，与交于点，，垂足为，直线与交于点．
(1)如图1，当在线段上时，求证；
(2)如图2，当在线段上时，的延长线交于点，若，求证：①四边形为菱形；②；
(3)如图3，若，在点从到的运动过程中，的最小值为______．
35．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）（1）如图1，在等腰中，，，D是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是______．
（2）如图2，在正中，，P、M、N分别是上的动点，
①的最小值为______；②求的最小值．
（3）如图3，正方形的边长为4，E、F分别是边和上的动点且始终满足，连结，求的最小值．
36．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）【问题情境】（1）小明在学习过程中遇到这样的一道试题：
如图，正方形的边长为2，为边上一动点． ，垂足为，求证：．
请你帮助小明完成证明；
【问题探究】（2）小明在“问题情境”的基础上继续探究． 如图2，点在的延长线上，且满足． 连接，，．
①求证：；
②判断、的数量关系，并说明理由；
【问题探究】（3）在（2）的基础上，如图3，若为的中点，直接写出的最小值为_________．
专题11 平行四边形经典最值问题专训（36道）
【平行四边形经典最值问题专训】
1．（2022秋·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，在菱形中，，E在上，，，P点在上，则的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．
【答案】D
【分析】连接，先证出，再两点之间线段最短可得当点共线时，取得最小值，最小值为的长，然后根据等边三角形的性质、勾股定理求解即可得．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形为菱形，，，
∴关于对称，，，
∴，
则，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为的长，
又，，
∴为等边三角形，
，
∴，
∴，
即的最小值为，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
2．（2022秋·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，在中，，M为的中点，H为上一点，过点C作，交的延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是（ ）
A．28B．26C．22D．18
【答案】A
【分析】通过证明可得，可得四边形的周长即为，进而可确定当时，四边形的周长有最小值，通过证明四边形为矩形可得的长，进而可求解．
【详解】解：，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，，
四边形的周长，
当最小时，即时四边形的周长有最小值，
，，
，
四边形为矩形，
，
四边形的周长最小值为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称最短路径问题，全等三角形的判定与性质，确定的值是解题的关键．
3．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）如图，在长方形中，，，点E是边上一点，且，点P是边上一动点，连接，，则下列结论：
① ；
②当时，平分；
③连接，周长的最小值为；
④当或6或时，为等腰三角形．
其中正确的个数有 （ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】利用矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，线段最短的原理，依次计算判断即可．
【详解】解：长方形中，，，
，
设，则，
则，
解得x=3，
故①正确；
长方形，
，
，
由①知，
，
，
，
，
平分；
故② 正确，
连接，延长到点E，使得，连接，交AD于点P，此时最小，且最小值为的长，根据勾股定理，得，
周长的最小值为；
故③正确；
，
时，为等腰三角形；
当时，为等腰三角形，
过点E作，垂足为F，
长方形中，，，
，，
四边形是矩形，
，
，
；
当时，为等腰三角形，
过点P作，垂足为H，
长方形中，，，
，
四边形是矩形，
，，
,
，
解得；
故当或6或时，为等腰三角形．
所以④正确，
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，线段最短原理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理和线段最短原理是解题的关键．
4．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】如图，取的中点O，连接，，，根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据勾股定理求出，根据两点之间线段最短得到即可解决问题．
【详解】解：如图，取的中点O，连接，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴PC的最小值为1，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（2022秋·江苏无锡·九年级无锡市天一实验学校校联考阶段练习）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到，连接，则线段长度的最小值是（ ）
A．－1B．－1C．－1D．2
【答案】B
【分析】根据题意，在N的运动过程中在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、、C三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数关系求出C的长即可．
【详解】解：如图所示：
由折叠可知M=MA，
∵M为AD中点，
∴2MA=2MD=AD=2，
∴M= MA=1是定值，
∵M+C≥MC，
∴当线段长度是最小值时，在MC上，
过点M作MF⊥DC于点F，
∵菱形ABCD，
∴CDAB
∴∠FDM=∠A=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=MD=，
∴FC=FD+CD=，FM=，
∴MC=，
∴C=MC-M=-1．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，由两点之间线段最短得出点位置是解题关键．
6．（2021秋·河北保定·九年级校考期中）如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值是（ ）
A．4.8B．4C．3D．2.4
【答案】D
【分析】根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．
【详解】解：连接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC＝90°，
∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分，且EF＝AP，
又M为EF的中点，
∴EF，AP的交点就是M点，
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，
由勾股定理，得，
∵，
∴，
∴10AP＝6×8，
∴AP＝，
∴AM＝＝2.4，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．
7．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图 ，在平行四边形中 ， ，AB=4 ，AD=8 ， 点、分别是边CD、上的动点．连接、 ，点为的中点 ，点为的中点 ，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF＝AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，
∴∠D＝180°−∠BCD＝60°，AB＝CD＝4，
∵AM＝DM＝DC＝4，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，AM＝MC，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝
在Rt△ACN中，∵AC＝，∠ACN＝∠DAC＝30°，
∴AN＝AC＝
∵AE＝EH，GF＝FH，
∴EF＝AG，
∵点G在BC上，∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值与最小值的差为：
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD＝90°，属于中考选择题中的压轴题．
8．（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）△ABC中，AC＝1，AB＝，BC＝2，点P为BC边上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，在点P运动的过程中，EF的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】由矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，再由垂线段最短的性质得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，然后由勾股定理求出BC，最后由面积关系建立等式求出其解即可．
【详解】解：连接AP，
∵在△ABC中，AB＝，AC＝1，BC＝2，
∴，
即∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP．
根据垂线段最短可知，AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，
此时
即，
解得：
∴EF的最小值为，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短、三角形面积等知识；由直角三角形的面积求出AP是解决问题的关键，属于中考常考题型．
9．（2022春·新疆乌鲁木齐·八年级校考期中）如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与点，重合），作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是（ ）
A．1.2B．1.5C．2.4D．2.5
【答案】A
【分析】先由勾股定理求出，再证四边形CEMF为矩形，得，当时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出，即可求出CP的长度．
【详解】连接CM，如图所示：
∵，，，
∴，
∵于点，于点，，
∴四边形CEMF为矩形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
当时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵的面积，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
10．（2021秋·重庆璧山·九年级重庆市璧山中学校校考期中）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点P为AB边上一动点，点B关于P的对称点为E，连接DE，DE的中点为点F，则AF的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】C
【分析】取的中点，连接，，根据，当共线时，最小，勾股定理求得，中位线的性质求得，即可求解．
【详解】解：如图，取的中点，连接，，
∵矩形ABCD中，AB=6，BC=4，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∵DE的中点为点F，
∴，
在中，，
∵，
∴，当三点共线时取得等于号，
即的最小值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，中位线的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，添加辅助线是解题的关键．
11．（2022秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图，在边长为a的正方形中，E是对角线上一点，且，点P是上一动点，则点P到边，的距离之和的值（ ）
A．有最大值aB．有最小值C．是定值aD．是定值
【答案】D
【分析】连接BP，过E点作EG⊥BC于G点，∵四边形ABCD是正方形，先证明∠GEB=∠GBE=45°，即有，△BEC的面积，也可表示为△BEC的面积等于△BPE的面积与△BPC的面积之和，即有，则有，则问题得解．
【详解】连接BP，过E点作EG⊥BC于G点，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴对角线BD平分∠ABC，
∴∠EBG=45°，
∵EG⊥BC，
∴∠EGB=90°，
∴∠GEB=∠GBE=45°，
∴，
∵BE=BC，
∴，
∴△BEC的面积，
∵△BEC的面积等于△BPE的面积与△BPC的面积之和，
∴，
∵BE=BC，
∴，
∴，
∴，
∴BC=a，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定、三角形的面积等知识，根据面积得到是解答本题的关键．
12．（2021·江苏南通·统考一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE＝，则CD+EF的最小值为( )
A．﹣B．3﹣C．1+D．3
【答案】B
【分析】首先是含有角的直角三角形，因此可以得知各边的长分别为，．因为，是边上的两个动点，是边上的一个动点，求的最小值，就是需要转换成同一直线上求解，即求关于的对称点，作．构建平行四边形，作于，交于．利用平行四边形和对称图形的性质，找出线段之间的关系．
【详解】解：如图，过C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于N；过C1作C1C2∥AB，且C1C2＝，过C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的长度即为所求最小值，
∵C1C2∥DE，C1C2＝DE，
∴四边形C1DEC2是平行四边形，
∴C1D＝C2E，
又∵CC1关于AB对称，
∴CD＝C1D，
∴CD+EF＝C2F，
∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴CN＝，AN＝3，
过C2作C2M⊥AB，则C2M＝C1N＝CN＝，
∴C2M∥C1N，C1C2∥MN，
∴MN＝C1C2＝，
∵∠MEC2＝∠AEF，∠AFE＝∠C2ME＝90°，
∴∠MC2E＝∠A＝30°，
在Rt△C2ME中，ME＝，C2M＝1，C2E＝2，
∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝3﹣﹣1＝2﹣，
∴EF，
∴C2F．
故选：B．
【点睛】本题主要考查动点构成的线段中最小值问题，转换成三点共线，并在垂直的时候最小，找到对称点，构建最短路径是解题的关键．
13．（2022春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，正方形的边长为12，点、分别为、上动点（、均不与端点重合），且，是对角线上的一个动点，则的最小值是________．
【答案】
【分析】作点E关于的对称点，则，，连接交AC于点P，过F作的垂线交于点G，则即为所求，由即可求出的长，再由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：作点E关于的对称点，连接、，过F作于点G，当、、在同一直线上时，，此时最小，即即为所求．
∵四边形是正方形，
∴，
∴点在边上．
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查的是最短路线问题，矩形的判定与性质，勾股定理及正方形的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
14．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，中，，，．点D为边上一个动点，作、，垂足为E、F，连接．则长度的最小值为______．
【答案】
【分析】解直角三角形求出和，证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，当时，有最小值，此时有最小值，根据三角形的面积公式求出长即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
根据勾股定理可得，，
即,
解得：，（舍去），
∴，
连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
当时，最小，此时有最小值，
∵，
∴，
∴长度的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，作出辅助线，证明是解此题的关键．
15．（2022秋·四川绵阳·九年级校考阶段练习）如图，已知：，，P是上的一个动点，的最小值为 _____．
【答案】10
【分析】作A关于的对称点E，连接，交于点P，则就是的最小值，利用勾股定理计算即可．
【详解】作A关于的对称点E，连接，交于点P，则就是的最小值，
∴，
过E作交的延长线于F，
则四边形是矩形，
∴，
∴，
∴的最小值是10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了轴对称求线段和最小值，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握轴对称和勾股定理是解题的关键．
16．（2022秋·福建福州·九年级统考期中）如图，在边长为2的菱形中，，点是边的中点，点是菱形内一动点，且满足，连接，则的最小值为______．
【答案】
【分析】过点作交的延长线于点，根据菱形的性质以及直角三角形的性质求出，当点运动到线段上的点时，取得最小值，进一步求解即可．
【详解】过点作交的延长线于点，如图所示：
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
根据勾股定理，得：，
∵，
∴，
根据勾股定理，得：，
∵，
当点运动到线段上的点时，取得最小值，
，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、线段最短问题，解题的关键是利用所学知识点求出．
17．（2022秋·河南焦作·九年级校考阶段练习）如图，是以AB为斜边的直角三角形，，，P为AB上一动点，且于E，于F，则线段EF长度的最小值是___________．
【答案】##
【分析】先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值．
【详解】连接，

∵于E，于F，
∴；
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当最小时，也最小，
即当时，最小，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴线段长的最小值为；
故答案是：．
【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出时，最小是解答此题的关键．
18．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，点O是正方形的中心，，过点O的直线分别交、于点E、F，过点B作于点G，连接，则的最小值为__________．
【答案】##
【分析】连接，，由题意可知，、都经过点O，取中点M，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】解：连接，
∵点O是正方形的中心
∴、都经过点O，，，
取中点M，连接，，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴．
∴．
∴，
在中，M是的中点，
∴．
∵．
当A，M，G三点共线时，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，直角三角形斜边上的中线等知识点，取中点M，连接，，则，为定长，利用两点之间线段最短解决问题是解决本题的关键．
19．（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③的最小值为2；④．其中正确结论的序号为______．
【答案】①②④
【分析】利用正方形的性质，得到，进而证明是等腰直角三角，最后用勾股定理得到，故①正确；
利用等量代换，把四边形的周长转化为，代入即可得到四边形的周长为8，故②正确；
当 时的值最小，求出 ．再由矩形的对角线相等可知，则的最小值为，故③错误；
先证明，再利用角的等量代换证明两锐角的和为 ，最后得到两条线的夹角为直角，故④正确．
【详解】解：∵四边形是正方形
∴
∵
∴ 是等腰直角三角形
∵
∴
故①正确
∵ 是等腰直角三角形
∴
同理
四边形的周长=
故②正确
连接，
∵ ,当 时的值最小，
∴的最小值为
故③错误
如图：过点P作 ，点G为垂足，则，延长 交 于点H
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
故④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查矩形、正方形的性质和勾股定理以及全等三角形的判定和性质，熟练矩形的性质，添加合适的辅助线是关键是关键．
20．（2022春·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，矩形中，，，P，Q分别是上的两个动点，，沿EQ翻折形成，连接，则的最小值是___________．
【答案】4
【分析】如图作点D关于的对称点，连接，由，推出，又是定值，即可推出当E、F、P、共线时，定值最小，最小值．
【详解】解：如图作点D关于的对称点，连接，
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
∵是定值，
∴当E、F、P、共线时，定值最小，最小值，
∴的最小值为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题．
21．（2023秋·广东广州·九年级广州大学附属中学校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______．
【答案】##
【分析】作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，．由轴对称的性质可得出的周长，此时最小，再结合勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、，过点作，且点在上方，，连接交于点，取，连接，．
，
．
，，
∴四边形为平行四边形，
．
，，三点共线，
此时的周长最小．
，
，即，
，
周长的最小值为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识．熟练运用轴对称的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
22．（2021秋·陕西渭南·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点（不与A重合，可与重合），连接，若以为边向右侧作等腰直角，，连接，则的最小值为________．
【答案】
【分析】过G作，，可得，可得，可得点G在上运动，则当F与D重合时，最小，即可得到答案．
【详解】解：过G作，，
∵在矩形中，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点G在上运动，
∴当F与D重合时最小，此时，
∴最小值为，
，
故答案为．
【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形判定与性质，勾股定理，解题的关键是确定点G在上运动．
23．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，在中，，，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．
【答案】9.6
【分析】设交于点，过点作于点，勾股定理求得，等面积法求得，根据垂线段最短，当点与点，重合时，最小，进而求得的最小值，即可求解．
【详解】设交于点，过点作于点，如图所示，
在四边形中，，，
∵，
∴，
∵，
∴,
在中，，
∵，
∴，
当点与点，重合时，最小，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
24．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）如图所示，在菱形中，，，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接，在移动的过程中，面积的最小值为______．
【答案】
【分析】连接，作于H，利用菱形的性质得，则可判断和都是等边三角形，再证明得到，，接着判定为等边三角形，即，然后根据垂线段最短判断的最小值，则即可求得面积的最小值．
【详解】解：连接，作于H，如图，
根据运动的特点可知：，
∵四边形为菱形，，
∴，
而，
∴和都是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
而当E点运动到H点时，的值最小，其最小值为，
∴EF的最小值为，
下面推导正三角形的面积公式：
正的边长为u，过顶点x作，V为垂足，如图，
在正中，有，，
∵，
∴，，
∴在中，有，
∴正的面积为：，
即等边的最小面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
25．（2021秋·陕西西安·八年级校考期中）问题提出：
(1)同学们在探索求代数式的最小值的过程时，老师进行了如下的引导，如图1，C为线段BD上的一个动点，分別过点B，D作，，连接AC，EC．已知，，，设．
①则的长为__________．（用含x的代数式表示）
②如图2，过A作交ED的延长线于F，构造长方形ABDF，连接AE，此时A、C、E三点共线，的值最小，求最小值．
问题解决：
(2)请用上述的构图法求出代数式的最小值．
【答案】(1)①；②13．
(2)17
【分析】（1）①由于和都是直角三角形，故，可由勾股定理求得；
②求出的值便是的值最小；
（2）可作，过点作，过点作，使，，连接交于点，则的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，，利用矩形的直角三角形的性质可求得的值．
【详解】（1）解：①由勾股定理得，，
，
，
故答案为：；
②当、、三点共线时，的值最小为；
（2）解：如下图所示，作，过点作，过点作，使，，连接交于点，设，则的长即为代数式
的最小值．
过点作交的延长线于点，得矩形，
则，，，
所以，
即的最小值17．
【点睛】本题主要考查了求代数式的最值，数形结合的思想，勾股定理，在求形如的式子的最小值，关键是通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．
26．（2022秋·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，在中，，，点E，F分别在边上，且，求的最小值．
【答案】
【分析】过点A作，且使得，连接，证明，得到，找到当B、F、G三点共线时，最小．则过点A作，交于点I，过点G作，交延长线于点H，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：过点A作，且使得，连接．
∵，
∴．
∵，
在和中，
，
∴，
∴．
∴．
当B、F、G三点共线时，最小．
过点A作，交于点I，过点G作，交延长线于点H．
∵，
∴．
易知，
∴．
在中，．
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的全等，线段和最小值，平行线的性质，熟练掌握通过构造平行线法构造出线段和最小解题模型是解题的关键．
27．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在平行四边形 中，，，，将平行四边形 沿过点 的直线 折叠，使点 落到边 上的点 处，折痕交边 于点 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 是直线 上的一个动点，请计算 的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，根据折叠的性质得，，再证明 为等边三角形，根据菱形的判定定理证明即可；
（2）连接 交直线 于点 ，连接 ，可得 时最小，作 于 ，根据勾股定理得出，进而可得出答案．
【详解】（1）解： 四边形 是平行四边形，
，，，
，
由折叠得： ，，
，
，
为等边三角形，
，
，，
，
四边形 为菱形．
（2）解：连接 交直线 于点 ，连接 ．
点 与 关于直线 对称，
，
时最小，
作 于 ．
，，
，
，
，
，
，
即 的最小值为 ．
【点睛】本题考查平行四边的性质，菱形的判定与性质，最短距离问题，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
28．（2022秋·广东佛山·八年级校考期中）如图，长方形纸片中，，，折叠纸片的一边，使点D落在边上的点F处，为折痕．请回答下列问题：
(1)______；
(2)试求线段的长度；
(3)若点P为线段上的一个动点，连接和，求线段的最小值．
【答案】(1)10
(2)
(3)
【分析】（1）根据长方形的性质及折叠的性质即可得出；
（2）在中，勾股定理求出，得到，设，则，根据勾股定理得到，代入数值得到，求出即可；
（3）由折叠知：D、F关于对称，得，则，的最小为的长，利用勾股定理求出其长度即可．
【详解】（1）解：∵四边形是长方形，
∴，，
由折叠得，
故答案为10；
（2）在中，，
∴，
∴，
设，则，
∵长方形纸片中，，
∴，
∴，
解得，
∴；
（3）连接，
∵折叠纸片，使点D落在边上的点F处，为折痕．
∴关于对称，
∴，
则，
∴的最小为，
，
∴的最小为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理的应用等知识，明确点D、F关于对称是解题的关键．
29．（2022秋·江西九江·九年级统考期中）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)过点D作AC的平行线交直线BC于点E，连接DE，点P是线段BD上的动点，若，请直接写出PC+PE的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)PC+PE的最小值为
【分析】（1）利用平行加角平分线，证明，从而得到，证明四边形ABCD是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；
（2）连接，即为PC+PE的最小值，过作，利用等积法求出，再利用勾股定理求出，利用求出，再利用勾股定理即可求出．
【详解】（1）证明：∵，BO平分∠ABC，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）过作，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵点关于的对称点为点，连接，
则PC+PE的最小值=，
，
∴PC+PE的最小值为．
【点睛】本题考查菱形的判定和性质．熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．本题中出现平行加角平分线模型以及将军饮马问题，是考试中常考的典型问题．
30．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考阶段练习）如图，已知四边形是正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)32
【分析】（1）过点作于点，作于点，利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据正方形的判定即可得证；
（2）连接，根据正方形的性质、利用定理证出，推出，，再利用勾股定理可得，然后根据垂线段最短求出的最小值，由此即可得．
（1）
证明：如图，过点作于点，作于点，
四边形为正方形，
，，
，且，
四边形为正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，，
，
，
矩形为正方形．
（2）
解：如图，连接，
四边形为正方形，，
，
，
矩形为正方形，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，
的最小值为．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．
31．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，在中，，，动点在的延长线上，是以为斜边的直角三角形，是的中点，连接，，且．
(1)证明：、、三点共线；
(2)连接．
①试判断线段与的数量关系，并给出证明；
②当，且线段取到最小值时，求的长度．
【答案】(1)见解析；
(2)①EC=OA，证明见解析；②．
【分析】（1）证明∠AFE+∠AFB=180°，可得结论；
（2）①结论：EC=AO．连接EO，OC，证明△EOC是等腰直角三角形，可得结论；
②如图2中，取AE的中点J，连接OJ．证明OJ∥EB，推出OF⊥OJ时，OF的值最小，此时四边形OFEJ是矩形，利用勾股定理求出OA，可得结论．
（1）
证明：∵∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠EAF=∠EFA=45°，
∵2∠CBF+∠EAF=135°，
∴∠CBF=45°，
∵∠C=90°，
∴∠CFB=90°-45°=45°，
∴∠CFB=∠AFE，
∵∠CFB+∠AFB=180°，
∴∠AFE+∠AFB=180°，
∴E、F、B共线．
（2）
解：①结论：EC=OA．
理由：如图1中，连接EO，CO．
∵∠AEB=∠ACB=90°，OA=OB，
∴OE=OA=OB=OC，
∴∠OAC=∠OCA，∠OEB=∠OBE，
∵∠BOC=∠OAC+∠OCA=2∠OCA，∠AOE=∠OEB+∠OBE=2∠OBE，
∴∠BOC+∠AOE=2∠CAO+2∠OBE=2（∠OAC+∠OBE）=2∠CFB=90°，
∴∠EOC=90°，
∴△EOC是等腰直角三角形，
∴EC=EO=OA；
②如图2中，取AE的中点J，连接OJ．
∵AJ=EJ，AO=OB，
∴OJ∥EB，
∴OF⊥OJ时，OF的值最小，此时四边形OFEJ是矩形，
∴EF=AE=OJ=2，AJ=EJ=1，
∴，
∴EC=OA=．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰直角三角形解决问题．
32．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，将一个长为9，宽为6的大矩形分割成如图所示的九个完全相同的小矩形，点、为的三等分点，点为线段上的动点．请在图1、图2中完成下列画图，要求：①仅用无刻度的直尺；②保留必要的画图痕迹．
(1)在图1中，当点与点重合时，过点画两条直线将矩形分成面积相等的三部分．
(2)在图2中，当点不与点、重合时，过点画两条直线、将矩形分成面积相等的三部分，且、在边上；在点运动的过程中，的周长的最小值为______．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析，
【分析】（1）根据要求作出直线即可；
（2）利用网格特征，作出直线即可，当点是的中点时，的周长最小．
（1）
解：如图1中，直线，直线即为所求；
（2）
解：如图2中，直线，直线即为所求．
当点是的中点时，的周长最小，最小值，
故答案为：，
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想来解决问题．
33．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图1，△GEF是一个等腰直角三角形零件（其中EG=FG，∠EGF=90°），它的两个端点E、F分别安装在矩形框架的边AB、BC上（点E、F可以在边上滑动），且EF=AB=1.5，AD=2．小明在观察△GEF运动的过程中，给出了两个结论：①∠GEB与∠GFB一定互补；②点G到边AB、BC的距离一定相等．
(1)小明给出的两个结论是否都正确？若结论是正确的，请写出证明过程，若结论不正确，请说明理由；
(2)请思考并解决小明提出的两个问题：
问题1：B、G两点间距离的最大值为 ；
问题2：过点G分别作GM⊥BC，GN⊥CD，垂足为点M、N，连接MN，那么MN长度的最小值为多少？
【答案】(1)①②都正确，证明见解析
(2)问题1：1.5；问题2：
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，∠EGF＝90°，即得∠GEB＋∠GFB＝180°，故①正确；过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，证明△GER≌△GFT（AAS），可得GR＝GT，即点G到边AB、BC的距离一定相等，故②正确；
（2）问题1：连接BG，过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，由（1）可知GR＝GT，可证四边形RBTG是正方形，有∠GBF＝45°，即得BG＝GT，进而可得当点T、F重合，R、E重合时，GT最大，此时BG最大，然后根据正方形的性质得出BG最大值；
问题2：延长NG交AB于P，由点G到边AB、BC的距离一定相等可知，GP＝GM，设PG＝GM＝a，则GN＝2−a，根据勾股定理得GN2＋GM2＝（2−a）2＋a2＝MN2，求出MN2＝2a2−4a＋4＝2（a−1）2＋2，进而可得MN的最小值为．
（1）
解：①②都正确，
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
又∵∠EGF＝90°，四边形内角和是360°，
∴∠GEB＋∠GFB＝180°，即∠GEB与∠GFB一定互补，故①正确；
过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，如图：
∵GE＝GF，且∠EGF＝90°，
∴∠GEF＝∠GFE＝45°，
又∵∠B＝90°，
∴∠BEF＋∠EFB＝90°，即∠BEF＝90°−∠EFB，
∵∠GER＝180°−∠BEF−∠GEF＝180°−45°−（90°−∠EFB）＝45°＋∠EFB，
∠GFT＝∠EFB＋∠GFE＝∠EFB＋45°，
∴∠GER＝∠GFT，
在△GER和△GFT中，，
∴△GER≌△GFT（AAS），
∴GR＝GT，即点G到边AB、BC的距离一定相等，故②正确；
（2）
问题1：连接BG，过G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，如图：

由（1）可知，GR＝GT，
又∵∠GRB＝∠RBT＝∠BTG＝90°
∴四边形RBTG是正方形，
∴∠GBF＝45°，
∴BG＝GT，
∴当GT最大时，BG最大，
在Rt△GFT中，GF≥GT，
∴当点T、F重合，R、E重合时，GT最大，此时BG最大，如图：

∵四边形RBTG是正方形，
∴BG＝RT＝EF＝1.5，
∴BG最大值为1.5，
故答案为：1.5；
问题2：如图，延长NG交AB于P，
∵ABCD，GN⊥CD，
∴GP⊥AB，
由点G到边AB、BC的距离一定相等可知，GP＝GM，
设PG＝GM＝a，则GN＝2−a，
根据勾股定理可知，GN2＋GM2＝（2−a）2＋a2＝MN2，
∴MN2＝2a2−4a＋4＝2（a−1）2＋2，
∵2（a−1）2≥0，
∴MN2有最小值2，
∴MN的最小值为．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形判定与性质，勾股定理及完全平方式的应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
34．（2023秋·河北邯郸·八年级校考期末）已知点是正方形对角线上一点，与交于点，，垂足为，直线与交于点．
(1)如图1，当在线段上时，求证；
(2)如图2，当在线段上时，的延长线交于点，若，求证：①四边形为菱形；②；
(3)如图3，若，在点从到的运动过程中，的最小值为______．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
(3)
【分析】（1）证明，即可得证；
（2）①证明，可得，进而证明，可得，可得四边形是平行四边形，由，可得四边形是菱形；②由，又得出，即可证明；
（3）取的中点，连接，，则，勾股定理求得，由即可求解．
【详解】（1）解：如图1，
∵四边形是正方形
∴，，
∴
∴，
∵，
∴
∴
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：①如图2
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
②∵是的一个外角，
∴
∵四边形是菱形，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
又
∴，
∴；
（3）解：如图3，取的中点，连接，则，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∵（当且仅当点在线段上时，等号成立），
∴，
即的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质与判定，三角形全等的性质与判定，勾股定理，两点之间线段最短，掌握正方形的性质是解题的关键．
35．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）（1）如图1，在等腰中，，，D是边的中点，E是边上一动点，则的最小值是______．
（2）如图2，在正中，，P、M、N分别是上的动点，
①的最小值为______；②求的最小值．
（3）如图3，正方形的边长为4，E、F分别是边和上的动点且始终满足，连结，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①；②6；（3）
【分析】（1）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长，即可；
（2）①作点P关于的对称点，连接，此时的最小值为的最小值，根据对称性可得，然后作于H，可得的最小值为的长， 再利用勾股定理求出的长，即可；②分别作点N关于的对称点，作于点H，根据对称性可得，然后根据等边三角形和直角三角形的性质，求出的长，即可；
（3）连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点，先证明，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：（1）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长，
由对称性知，，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴的最小值为，
故答案为：；
（2）①作点P关于的对称点，连接，此时的最小值为的最小值，
由对称性知，
，
∴，
作于H，
∴的最小值为的长，
∵，
∴，
故答案为∶；
②如图，分别作点N关于的对称点，作于点H，
由对称得：，，
∴，
即当取得最小值时，点N与点H重合共线，
此时，
设与交于点F，
在正中，，
∴，
∴，
此时，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为6；
（3）如图，连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点，
在正方形中，，
，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称——最短路线问题，等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟悉将军饮马基本模型是解决问题的关键．
36．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）【问题情境】（1）小明在学习过程中遇到这样的一道试题：
如图，正方形的边长为2，为边上一动点． ，垂足为，求证：．
请你帮助小明完成证明；
【问题探究】（2）小明在“问题情境”的基础上继续探究． 如图2，点在的延长线上，且满足． 连接，，．
①求证：；
②判断、的数量关系，并说明理由；
【问题探究】（3）在（2）的基础上，如图3，若为的中点，直接写出的最小值为_________．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②，理由见解析；（3）
【分析】（1）根据正方形的性质可得，由，根据三角形内角和定理可得，根据等角对等边即可求解；
（2）①根据已知条件证明，可得；②连接，证明，可得，进而可得，证明是等腰直角三角形，可得，等量代换即可证明；
（3）连接，，则，当三点共线时，取得最小值，勾股定理求得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵正方形中，是对角线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）①由（1）知，
∴，即，
又∵，
∴，
∴．
②．
理由如下： 如图，连接，
∵，
∴，
∴，，
又，
∴．
由（1）知，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，连接，，
，
∴当三点共线时，取得最小值，
正方形的边长为,为的中点，则中，，
，即的最小值为，
，
，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．