高一数学新教材同步配套教学讲义(人教A版必修第二册)第一次月考押题卷(考试范围：第六-七章)(原卷版+解析)

这是一份高一数学新教材同步配套教学讲义(人教A版必修第二册)第一次月考押题卷(考试范围：第六-七章)(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．(2023·四川·高三阶段练习（文））已知向量，，，若A，C，D三点共线，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·黑龙江·哈尔滨三中一模（文））已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．(2023·四川·三模（理））已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）．
A．B．C．D．
4．(2023·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（理））已知复数z的共轭复数为，且的虚部为2，则z的实部为（ ）
A．-1B．1C．-2D．2
5．(2023·山东聊城一中高三期末）已知单位向量，满足，则（ ）
A．2B．C．D．3
6．(2023·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））圣索菲亚大教堂，位于土耳其伊斯坦布尔，有着近一千五百年的历史，因巨大的圆顶而闻名于世，是一幢拜占庭式建筑.圣索菲亚大教堂主体建筑集中了数学的几何图形之美，使世界各地的游客前往参观.现在游客想估算它的高度CD，借助于旁边高为24米的一幢建筑房屋AB作为参考点，在大教堂与建筑房屋的底部水平线上选取了点P（如图所示），从点P处测得C点的仰角为60°，测得A点的仰角为45°，从A处测得C处的仰角为30°，则该游客估算圣索菲亚大教堂的高度大约为（ ）
参考数据：，，.
A．48.68米B．53.50米C．56.79米D．60.24米
7．(2023·河南洛阳·高二期末（理））在中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A．B．1C．D．2
8．(2023·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））在平行四边形中，，点P为平行四边形所在平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.）
9．(2023·广东深圳·一模）四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则（ ）
A．B．C．D．
10．(2023·辽宁丹东·高一期末）已知，，，，，那么（ ）
A．
B．若，则，
C．若A是BD中点，则B，C两点重合
D．若点B，C，D共线，则
11．(2023·山东威海·高二期末）已知复数，若为实数，则（ ）
A．B．
C．为纯虚数D．对应的点位于第二象限
12．(2023·云南玉溪·高二期末）在中，已知为的中点，E为的中点，与相交于点M，下列结论中正确的是（ ）
A．点M为的重心B．C．D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．(2023·上海市崇明区横沙中学高一期末）若复数在复平面上对应的点在第四象限，则的取值范围是__．
14．(2023·全国·高三专题练习）莱昂哈德·欧拉是近代著名的数学家，欧拉对数学的研究非常广泛.复变函数中的欧拉公式(，其中是虚数单位)可以实现指数式和复数式的互化，那么把化成指数式为___________.
15．(2023·全国·模拟预测）菱形ABCD中，，，，，则______.
16．(2023·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，其中，，则S的最大值为______．
四、解答题
17．（10分）(2023·湖南·高一课时练习）已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限．
(1)求；
(2)若，在复平面上的对应点分别为，，求．
18．（12分）(2023·全国·高三专题练习）如图，在梯形中，.
（1）用，表示，，；
（2）若，且，求的大小.
19．（12分）(2023·四川泸州·高一期末）如图，在中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，.
(1)用向量，表示；
(2)设向量，，求的值.
20．（12分）(2023·全国·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知在四边形ABCD中，，，且______.
(1)证明：；
(2)若，求四边形ABCD的面积.
21．（12分）(2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求B；
(2)若，求c的取值范围.
22．（12分）(2023·山东聊城一中高三期末）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
(1)求B；
(2)如图，若，在外取点D.且，.求四边形ABCD面积的最大值.
第一次月考押题卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．(2023·四川·高三阶段练习（文））已知向量，，，若A，C，D三点共线，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
根据三点共线的向量表示即可求解.
【详解】
，
因为A，C，D三点共线，所以与共线，
所以，解得．
故选：D.
2．(2023·黑龙江·哈尔滨三中一模（文））已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：D
【解析】
分析：
根据复数得除法运算化简复数，再根据复数的几何意义即可得出答案.
【详解】
解：，
所以复数在复平面内对应的点为，在第四象限.
故选：D.
3．(2023·四川·三模（理））已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）．
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
可设，且，根据，求得，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
由题意，非零向量，满足，
可设，且
因为，可得，解得，
则，
又因为，所以，所以与的夹角为.
故选：A.
4．(2023·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（理））已知复数z的共轭复数为，且的虚部为2，则z的实部为（ ）
A．-1B．1C．-2D．2
答案：B
【解析】
分析：
设（m，R），根据题意和复数的虚部的概念即可求解.
【详解】
设（m，R），则，
所以由条件得，
所以，所以，所以z的实部为1.
故选：B.
5．(2023·山东聊城一中高三期末）已知单位向量，满足，则（ ）
A．2B．C．D．3
答案：C
【解析】
分析：
根据模的运算先求出，进而解出.
【详解】
由题意，，由，所以.
故选：C.
6．(2023·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（文））圣索菲亚大教堂，位于土耳其伊斯坦布尔，有着近一千五百年的历史，因巨大的圆顶而闻名于世，是一幢拜占庭式建筑.圣索菲亚大教堂主体建筑集中了数学的几何图形之美，使世界各地的游客前往参观.现在游客想估算它的高度CD，借助于旁边高为24米的一幢建筑房屋AB作为参考点，在大教堂与建筑房屋的底部水平线上选取了点P（如图所示），从点P处测得C点的仰角为60°，测得A点的仰角为45°，从A处测得C处的仰角为30°，则该游客估算圣索菲亚大教堂的高度大约为（ ）
参考数据：，，.
A．48.68米B．53.50米C．56.79米D．60.24米
答案：C
【解析】
分析：
过点作的垂线交于点，根据题意得到且，设，在直角中，求得的值，即可求解.
【详解】
如图所示，过点作的垂线交于点，则，
由题意得，所以，
又由，所以，，所以，
可得，
设，则，
在直角中，可得，即，解得，
所以（米）.
故选: C.
7．(2023·河南洛阳·高二期末（理））在中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ）
A．B．1C．D．2
答案：C
【解析】
分析：
由余弦定理求出，利用正弦定理将边化角，再根据二倍角公式得到，即可得到，最后利用面积公式计算可得；
【详解】
解：因为，又，所以，
因为，所以，所以，因为，
所以，即，所以或，即或（舍去），
所以，因为，所以，
所以；
故选：C
8．(2023·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））在平行四边形中，，点P为平行四边形所在平面内一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
建立如图所示坐标系设，根据数量积坐标公式即可求解最值．
【详解】
建立如图所示坐标系，设，则，
所以，，
故，
所以时，取得最小值．
故选：A．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.）
9．(2023·广东深圳·一模）四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则（ ）
A．B．C．D．
答案：BD
【解析】
分析：
如图，根据向量的线性运算和数量积的定义计算，依次判断选项即可.
【详解】
如图，
A：，故A错误；
B：，故B正确；
C：，故C错误；
D：，
由，得，
所以，故D正确.
故选：BD
10．(2023·辽宁丹东·高一期末）已知，，，，，那么（ ）
A．
B．若，则，
C．若A是BD中点，则B，C两点重合
D．若点B，C，D共线，则
答案：AC
【解析】
分析：
根据向量运算、向量平行（共线）等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】
A选项，
，A选项正确.
B选项，若，则，故可取，B选项错误.
C选项，若是的中点，则，即，
所以，所以两点重合，C选项正确.
D选项，由于三点共线，所以，
，
，
则或，所以D选项错误.
故选：AC
11．(2023·山东威海·高二期末）已知复数，若为实数，则（ ）
A．B．
C．为纯虚数D．对应的点位于第二象限
答案：AC
【解析】
分析：
先求出，再由其为实数可求出的值，然后逐个分析判断即可
【详解】
因为，
所以
，
因为为实数，所以，解得，
所以A正确，，
所以，所以B错误，
为纯虚数，所以C正确，
，其在复平面内对应的点在第一象限，所以D错误，
故选：AC
12．(2023·云南玉溪·高二期末）在中，已知为的中点，E为的中点，与相交于点M，下列结论中正确的是（ ）
A．点M为的重心B．C．D．
答案：ABD
【解析】
分析：
根据重心的概念及性质可判断选项A，B；由余弦定理可判断C，D.
【详解】
对于A，由重心的概念，三角形中线的交点为三角形的重心，故A正确；
对于B，中，已知，E为的中点，可得,
,根据选项A，由重心的性质可知,从而可知，故B正确；
对于C，在中，由余弦定理，
有，故C不正确；
对于D，由选项C，在中，由余弦定理，
.
故选：ABD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．(2023·上海市崇明区横沙中学高一期末）若复数在复平面上对应的点在第四象限，则的取值范围是__．
答案：
【解析】
分析：
根据复数的代数形式及对应点在第四象限有，即可得m的范围.
【详解】
由题设，，可得.
故答案为：.
14．(2023·全国·高三专题练习）莱昂哈德·欧拉是近代著名的数学家，欧拉对数学的研究非常广泛.复变函数中的欧拉公式(，其中是虚数单位)可以实现指数式和复数式的互化，那么把化成指数式为___________.
答案：(答案不唯一)
【解析】
分析：
根据欧拉公式，由化成指数式需满足求解.
【详解】
因为把化成指数式需满足，
又,
如当时，，
故答案为：(答案不唯一)
15．(2023·全国·模拟预测）菱形ABCD中，，，，，则______.
答案：##
【解析】
分析：
以为基底，利用平面向量的线性表示及数量积的运算即求.
【详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
.
故答案为：.
16．(2023·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，其中，，则S的最大值为______．
答案：
【解析】
分析：
应用余弦定理有，再由三角形内角性质及同角三角函数平方关系求，根据基本不等式求得，注意等号成立条件，最后利用三角形面积公式求S的最大值.
【详解】
由余弦定理知：，而，
所以，而，即，当且仅当时等号成立，
又，当且仅当时等号成立.
故答案为：
四、解答题
17．（10分）(2023·湖南·高一课时练习）已知复数满足，的虚部为2，在复平面上所对应的点在第一象限．
(1)求；
(2)若，在复平面上的对应点分别为，，求．
答案：(1)；
(2).
【解析】
分析：
(1)设出复数的幅角主值，再根据已知计算求解作答.，
(2)由(1)求出点A，B，C的坐标，再借助向量数量积计算作答.
(1)
因在复平面上所对应的点在第一象限，设，则，
有，因的虚部为2，即，解得，，
所以.
(2)
由(1)知，，，，则点，
，，因此，，
所以.
18．（12分）(2023·全国·高三专题练习）如图，在梯形中，.
（1）用，表示，，；
（2）若，且，求的大小.
答案：（1），，；（2）.
【解析】
分析：
（1）利用向量的线性运算直接求解即可；
（2）根据，结合向量数量积的定义和运算律可构造方程求得，由此求得.
【详解】
（1），，
；
（2），，.
，且，，解得：，
，.
19．（12分）(2023·四川泸州·高一期末）如图，在中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，.
(1)用向量，表示；
(2)设向量，，求的值.
答案：(1)；
(2).
【解析】
分析：
（1）由题可得，即得；
（2）由题可得，则，即求.
(1)
∵为中线上一点，且，
∴
；
(2)
∵，，，
∴，又，，三点共线，
∴，解得,
故的值为.
20．（12分）(2023·全国·模拟预测）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知在四边形ABCD中，，，且______.
(1)证明：；
(2)若，求四边形ABCD的面积.
答案：(1)证明见解析
(2)
【解析】
分析：
（1）选择①，由正弦定理及角度关系推出及，结合两角和的正弦公式及诱导公式，进行证明；选择②，利用正弦定理推导出，直接利用两角和的正弦公式及诱导公式即可推出结论；选择③，由正弦定理，面积公式及面积的倍数关系得到，，使用两角和的正弦公式及诱导公式进行证明；（2）在证明出第一问的基础上，设出边长，利用余弦定理求出的长及角的正弦值，进而利用面积公式进行求解.
(1)
方案一：选条件①.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以.
因为，
，
所以，
即，
所以，
所以.
方案二：选条件②.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
因为，所以.
因为，所以.
因为，
，
，
所以，
即，
所以，
所以.
方案三：选条件③.
因为，，且，，
所以
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以.
因为，
，
所以，
即，
所以，
所以.
(2)
选择①②③，答案均相同，
由（1）可设，则，
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
因为，
所以，解得或（舍去），
所以，
所以，
所以四边形ABCD的面积.
21．（12分）(2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)求B；
(2)若，求c的取值范围.
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）利用正弦定理及正弦的两角和公式将，变形为
，再化简可求解；
（2）由，即可求解.
(1)
由及正弦定理得，
所以，
因为，所以，所以，从而.
因为，所以，所以.
(2)
由正弦定理得，
所以.
因为是锐角三角形，所以，
解得.
因为在上单调递增，所以.
从而，所以，即c的取值范围是.
22．（12分）(2023·山东聊城一中高三期末）已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
(1)求B；
(2)如图，若，在外取点D.且，.求四边形ABCD面积的最大值.
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可；
（2）根据余弦定理、三角形面积公式，结合辅助角公式、正弦型函数的性质进行求解即可.
(1)
∵，
由正弦定理得，
∴，
∴.
根据三角形内角和定理得，
∵，∴，∴，
∵，∴.
(2)
∵，且，∴为等边三角形.
设，则在中，
由余弦定理得.
∴，
.
∴四边形ABCD的面积，
∴当，即时，.
∴四边形ABCD的面积的最大值为.