2023-2024学年重庆市九龙坡区渝高中学高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年重庆市九龙坡区渝高中学高二（下）第一次月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=−x+8，则Δx→0limf(5+Δx)−f(5−Δx)Δx=( )
A. −12
B. −1
C. 12
D. −2
2.丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x)，记f′(x)在(a,b)上的导函数为f″(x)，若在(a,b)上f″(x)>0恒成立，则称函数f(x)在(a,b)上为“凹函数”.则下列函数在(0,2π)上是“凹函数”的是( )
A. f(x)=x2+sinxB. f(x)=x−sinx
C. f(x)=x+lnxD. f(x)=ex−xlnx
3.已知f(x)=12x2+2xf′(2022)−2022lnx，则f′(2022)=( )
A. 2021B. −2021C. 2022D. −2022
4.若函数f(x)=x+(x2−ax)lnx的极值点是1，则f′(2)=( )
A. 4ln2+1B. 2ln2+1C. 2ln2D. 1
5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)=1，且f(x)的导函数f′(x)在上R恒有f′(x)x1>0时，f(x1)−f(x2)2)，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值．现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”．
(1)证明：f(x)有唯一零点a，且a∈(1,b)；
(2)现在，我们任取x1∈(1,a)开始，实施如下步骤：
在(x1,f(x1))处作曲线f(x)的切线，交x轴于点(x2,0)；
在(x2,f(x2))处作曲线f(x)的切线，交x轴于点(x3,0)；
……
在(xn,f(xn))处作曲线f(x)的切线，交x轴于点(xn+1,0)；
可以得到一个数列{xn}，它的各项都是f(x)不同程度的零点近似值．
(ⅰ)设xn+1=g(xn)，求g(xn)的解析式(用xn表示xn+1)；
(ⅱ)证明：当x1∈(1,a)，总有xn0时，由f′(x)=0⇒x=± a，
当x∈(−∞,− a)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x∈(− a, a)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，
∴此时x=− a是f(x)的极大值点，x= a是f(x)的极小值点．
17.解：(1)依题意可得f(1)=a+4=5，则a=1．
所以f′(x)=3x2+8x，则f′(1)=11，
所以曲线y=f(x)在点(1,5)处的切线方程为y−5=11(x−1)，即y=11x−6．
(2)设切点为(m,km)，则m3+4m2=km,3m2+8m=k,
消去k，整理得m3+2m2=0，
解得m=0或m=−2，
所以曲线y=f(x)存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为(0,0)或(−2,8)．
18.解：(1)由f(x)=ex+bx 得f′(x)=ex+b，
当b≥0时，则f′(x)>0，即f(x)=ex+bx 在(−∞,+∞) 上是增函数；
当b0 得x>ln(−b)，令f′(x)0)，
令ℎ(x)=exx(x>0)，则ℎ′(x)=ex(x−1)x2，由ℎ′(x)=0 得x=1，
当ℎ′(x)2)，定义域为(0,+∞)，
所以，f′(x)=1x+2>0在(0,+∞)上恒成立，
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，
因为f(1)=lnl+2−b=2−b2)，f(b)=lnb+2b−b=lnb+b>0(b>2)，
所以，存在唯一a∈(1,b)，使得f(a)=0，即：f(x)有唯一零点a，且a∈(1,b)；
(2)解：(i)由(1)知f′(x)=1x+2，
所以，曲线f(x)在(xn,f(xn))处的切线斜率为kn=1xn+2，
所以，曲线f(x)在(xn,f(xn))处的切线方程为y−f(xn)=f′(xn)(x−xn)，即y=1+2xnxnx+lnxn−b−1，
令y=0得x=−xnlnxn+(b+1)xn1+2xn，
所以，切线与x轴的交点(−xnlnxn+(b+1)xn1+2xn,0)，即xn+1=−xnlnxn+(b+1)xn1+2xn，
所以，g(xn)=−xnlnxn+(b+1)xn1+2xn；
证明：(ii)对任意的xn∈(0,+∞)，由(i)知，曲线f(x)在(xn,f(xn))处的切线方程为：y=1+2xnxnx+lnxn−b−1，
故令ℎ(x)=1+2xnxnx+lnxn−b−1，
令F(x)=f(x)−ℎ(x)=lnx−1xnx−lnxn+1，
所以，F(x)=1x−1xn=xn−xxnx，
所以，当x∈(0,xn)时，F(x)>0，F(x)单调递增，当x∈(xn,+∞)时，F(x)