2023-2024学年广东省江门市新会一中高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省江门市新会一中高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数5i−2的共轭复数是( )
A. 2+iB. −2−iC. −2+iD. 2−i
2.已知函数f(x)=sin(2πx−π5)，则( )
A. (−320,720)上单调递增B. (−15,310)上单调递增
C. (310,45)上单调递减D. (320,1320)上单调递增
3.底面积为2π，侧面积为6π的圆锥的体积是( )
A. 8πB. 8π3C. 2πD. 4π3
4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为( 7≈2.65)( )
A. 1.0×109m3B. 1.2×109m3C. 1.4×109m3D. 1.6×109m3
5.设向量a=(x+1,x),b=(x,2)，则( )
A. “x=−3”是“a⊥b”的必要条件
B. “x=−3”是“a/​/b”的必要条件
C. “x=0”是“a⊥b”的充分条件
D. “x=−1+ 3”是“a/​/b”的充分条件
6.已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a=2e1+e2与b=−3e1+2e2的夹角是( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
7.已知△ABC的外接圆圆心O，且2AO=AB+AC，|OA|=|AB|，则向量BA在向量BC上的投影向量为( )
A. 14BCB. 34BCC. −14BCD. − 34BC
8.当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=2sin(3x−π6)的交点个数为( )
A. 3B. 4C. 6D. 8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=m2−1+(m+1)i(m∈R)，则下列命题正确的是( )
A. 若z为纯虚数，则m=1
B. 若z为实数，则z=0
C. 若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，则m=−1
D. z在复平面内对应的点不可能在第三象限
10.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的有( )
A. 若a/​/α，b/​/α，则a/​/bB. 若a⊥α，b⊥α，则a/​/b
C. 若a/​/b，b/​/α，a⊄α，则a/​/αD. 若a/​/α，α/​/β，a⊄β，则a/​/β
11.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O的半径2，点P是圆O内的定点，且OP= 2，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是( )
A. PA⋅PC为定值
B. 当AC⊥BD时，AB⋅CD为定值
C. 当∠ABC=π3时，△ABC面积的最大值为 32
D. OA⋅OC的取值范围是[−4,0]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面α截球O的球面所得圆的面积为π，O到α的距离为3，则球O的表面积为______．
13.在△ABC中，已知tanA，tanB是关于x的方程x2+m(x+1)+1=0的两个实根，则C= ．
14.如图，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M，N，若AB=mAM，AC=nAN，则m+n的值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=2sin2x−4cs2x+1．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)设g (x)=f(x2)，求g(x)在区间[0,π3]的最大值与最小值．
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ 3csA=2．
(1)求A；
(2)若a=2， 2bsinC=csin2B，求△ABC周长．
17.(本小题15分)
如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC/​/AD，EF/​/AD，AD=4，AB=BC=EF=2，ED= 10,FB=2 3，M为AD的中点．
(1)证明：BM/​/平面CDE；
(2)求点M到ABF的距离．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．
(1)求证：CD⊥平面PAD；
(2)求证：AM⊥平面PCD；
(3)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值．
19.(本小题17分)
如果函数y=f(x)的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f(x+a)=f(−x)成立，则称此函数具有“P(a)性质”．
(1)判断函数y=sinx是否具有“P(a)性质”，若具有“P(a)性质”求出所有a的值；若不具有“P(a)性质”，请说明理由．
(2)已知y=f(x)具有“P(0)性质”，且当x≤0时f(x)=(x+m)2，求y=f(x)在[0,1]上的最大值．
(3)设函数y=g(x)具有“P(±1)性质”，且当−12≤x≤12时，g(x)=|x|.若y=g(x)与y=mx交点个数为2023个，求m的值．
参考答案
1C
2A
3B
4C
5C
6C
7A
8C
9ABD
10BCD
11ABD
1240π
133π4
142
15解：f(x)=2sin2x−4cs2x+1=1−cs2x−2(1+cs2x)+1=−3cs2x．
(1)f(x)的最小正周期T=2π2=π；
(2)g(x)=f(x2)=−3cs(2⋅x2)=−3csx，
∵x∈[0,π3]，
∴−3csx∈[−3,−32].
即g(x)在区间[0,π3]的最大值为−32，最小值为−3．
16解：(1)因为sinA+ 3csA=2，
所以2sin(A+π3)=2，即sin(A+π3)=1，
由A为三角形内角得A+π3=π2，
即A=π6；
(2)因为 2bsinc=csin2B，
2bsinC=2csinBcsB，由正弦定理可得： 2bc=2bccsB，
可得csB= 22，
又因为B∈(0,π)，所以B=π4，C=π−A−B=712π，
在△ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=212=4，
所以b=4sinB=2 2，c=4sinC=4sin7π12=4sin(π4+π3)= 6+ 2，
所以△ABC的周长为a+b+c=2+3 2+ 6．
综上，△ABC的周长为2+3 2+ 6．
17解：(1)证明：因为BC/​/AD，BC=2，AD=4，M为AD的中点，所以BC/​/MD，BC=MD，
四边形BCDM为平行四边形，所以BM/​/CD，
又因为BM⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以BM/​/平面CDE；
(2)如图所示，作BO⊥AD交AD于O，连接OF，因为四边形ABCD为等腰梯形，BC/​/AD，AD=4，AB=BC=2，所以CD=2，
结合(1)BCDM为平行四边形，可得BM=CD=2，
又AM=2，所以△ABM为等边三角形，O为AM中点，所以OB= 3，
又因为四边形ADEF为等腰梯形，M为AD中点，所以EF=MD，EF/​/MD，
四边形EFMD为平行四边形，FM=ED=AF，所以△AFM为等腰三角形，
△ABM与△AFM底边上中点O重合，OF⊥AM，OF= AF2−AO2=3，
因为OB2+OF2=BF2，所以OB⊥OF，所以OB，OD，OF互相垂直，
由等体积法可得VM−ABF=VF−ABM，VF−ABM=13S△ABM⋅FO=13× 34×22×3= 3，
cs∠FAB=FA2+AB2−FB22FA⋅AB=( 10)2+22−(2 3)22⋅ 10⋅2=12 10,sin∠FAB= 392 10，
S△FAB=12FA⋅AB⋅sin∠FAB=12⋅ 10⋅2⋅ 392 10= 392，
设点M到FAB的距离为d，
则VM−FAB=VF−ABM=13⋅S△FAB⋅d=13⋅ 392⋅d= 32，
解得d=3 1313，
即点M到ABF的距离为3 1313．
18解：(1)证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD⊂底面ABCD，
所以CD⊥平面PAD．
(2)证明：(证法一)因为CD⊥平面PAD，AM⊂平面PAD，
所以CD⊥AM，
因为△PAD是正三角形，M是PD的中点，
所以AM⊥PD，
又CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD，
所以AM⊥平面PCD，
(证法二)因为CD⊥平面PAD，
又CD⊂平面PCD，
所以平面PCD⊥平面PAD，
因为△PAD是正三角形，M是PD的中点，
所以AM⊥PD，
又平面PCD交平面PAD于PD，AM⊂平面PAD，
故AM⊥平面PCD．
(3)取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF，
则EF=CD，EF//CD，
因为AD⊥CD，
所以EF⊥AD，
又在正△PAD中，PE⊥AD，
因为EF∩PE=E，EF，PE⊂平面PEF，
所以AD⊥平面PEF，
因为正方形ABCD中，AD//BC，
所以BC⊥平面PEF，
又EF、PF⊂平面PCD，
所以BC⊥EF，BC⊥PF，
所以∠PFE是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，
因为CD⊥平面PAD，EF//CD，
所以EF⊥平面PAD，
因为PE⊂平面PAD，
所以EF⊥PE，
设正方形ABCD的边长AD=2a，则EF=2a，PE= 3a，
所以PF= PE2+EF2= 7a，所以cs∠PFE=EFPF=2 77，
即侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为2 77．
19解：(1)由sin(x+a)=sin(−x)=−sinx，所以a=2kπ+π，k∈Z，
所以函数y=sinx具有“P(a)性质”，其中a=2kπ+π，k∈Z．
(2)因为y=f(x)具有“P(0)性质”，所以f(x)=f(−x)，
设x≥0，则−x≤0，
所以f(x)=f(−x)=(−x+m)2=(x−m)2，
当m≤0时，f(x)在[0,1]为增函数，
所以最大值为f(1)=(1−m)2；
当00时，要使y=g(x)与y=mx交点个数为2023个，
只要y=g(x)与y=mx在区间[0,1011)有2022个交点，而在[1011,1012]有一个公共点，
所以y=mx过(20232,12)，从而得m=12023，部分简图如下：

当m