福建省福州市福清市2023-2024学年高一下学期期中数学试卷

这是一份福建省福州市福清市2023-2024学年高一下学期期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）复数（1+i）2等于（ ）
A．2iB．﹣2iC．2﹣2iD．2+2i
2．（5分）下列几何体中，棱数最多的是（ ）
A．五棱锥B．三棱台C．三棱柱D．四棱锥
3．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA，记，则＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）已知一个水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图如图所示，且O'A'＝O'B'＝2，则其平面图形的面积是（ ）
A．4B．C．D．8
5．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．若两个非零向量共线，则A，B，C，D必在同一直线上
B．若与共线，与共线，则与也共线
C．若，则
D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°
6．（5分）三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A＝60°，b＝2，且，则＝（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）在平面四边形ABCD中，，则该四边形的面积为（ ）
A．13B．26C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
（多选）9．（6分）若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论错误的是（ ）
A．α内的所有直线与a是异面直线
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内存在唯一一条直线与a平行
D．α内的所有直线与a都相交
（多选）10．（6分）已知向量，则以下说法正确的是（ ）
A．∥
B．与的夹角余弦值为
C．与的夹角是锐角
D．向量在向量上的投影向量为
（多选）11．（6分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A．若a2+b2﹣c2＜0，则△ABC是钝角三角形
B．若acsA＝bcsB，则△ABC为等腰三角形
C．若，则
D．若，且△ABC有两解，则b的取值范围是
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12．（5分）设向量，若，则实数m的值为 ．
13．（5分）若复数z满足z•（1﹣2i）＝1+i，则z＝ ．
14．（5分）设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且b＝2，A＝2B，则a的取值范围为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知复数z＝（m2+5m﹣6）+（m﹣1）i，m∈R．
（Ⅰ）若z是纯虚数，求m的值；
（Ⅱ）若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围．
16．（15分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝7，b＝3且3sinC＝5sinB．
（1）求c；
（2）求A的大小及△ABC的面积．
17．（15分）如图，在菱形ABCD中，．
（1）若，求3x+4y的值；
（2）若，求．
18．（17分）从一张半径为3的圆形铁皮中截剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），成一个深度为h米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为．
（1）求圆锥筒的容积；
（2）在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为x的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面的最大值以及取最大值时x的值．
19．（17分）在△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积为，点D是线段BC上靠近点B的一个三等分点，AD＝1．
（1）若，求c；
（2）若b2+4c2＝11，求sin∠BAC的值．
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）复数（1+i）2等于（ ）
A．2iB．﹣2iC．2﹣2iD．2+2i
【分析】根据复数的四则运算进行计算即可．
【解答】解：（1+i）2＝1+2i+i2＝1+2i﹣1＝2i．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，比较基础．
2．（5分）下列几何体中，棱数最多的是（ ）
A．五棱锥B．三棱台C．三棱柱D．四棱锥
【分析】根据题意，依次分析选项中多面体的棱数，比较可得答案．
【解答】解：根据题意，因为五棱锥有10条棱，三棱台有9条棱，三棱柱有9条棱，四棱锥有8条棱，
所以这些几何体中棱数最多的是五棱锥．
故选：A．
【点评】本题考查多面体的几何结构，涉及棱台、棱锥、棱柱的定义，属于基础题．
3．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA，记，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由向量线性运算即可求得．
【解答】解：由BD＝2DA，可得，
则＝
＝
＝
＝．
故选：B．
【点评】本题考查向量的线性运算，属基础题．
4．（5分）已知一个水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图如图所示，且O'A'＝O'B'＝2，则其平面图形的面积是（ ）
A．4B．C．D．8
【分析】根据题意，求出直观图的面积，结合原图面积与直观图面积的关系，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，直观图中，O'A'＝O'B'＝2，∠A′O′B′＝45°，
则其面积S′＝×2×2×sin45°＝，
故其平面图形的面积S＝2S′＝4．
故选：A．
【点评】本题考查平面图形的直观图，注意直观图与原图面积的关系，属于基础题．
5．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．若两个非零向量共线，则A，B，C，D必在同一直线上
B．若与共线，与共线，则与也共线
C．若，则
D．若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°
【分析】根据平面向量平行的概念和夹角的概念依次判断选项即可．
【解答】解：若两个非零向量，共线，则线段AB与线段CD平行或在一条直线上，故A错误；
若，满足向量与平行，与平行，但与不一定平行，故B错误；
若，则与方向不一定相同，则不一定成立，故C错误；
若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查共线向量的应用，属于基础题．
6．（5分）三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用三棱锥的体积公式能求出这个三棱锥的体积．
【解答】解：∵三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，
则这个三棱锥的体积为：
V＝＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查三棱锥的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A＝60°，b＝2，且，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据数量积运算先求出c，再由正、余弦定理求解．
【解答】解：因为，所以c＝3，
则由余弦定理有：a2＝b2+c2﹣2bccsA＝7，即，
由正弦定理得：．
故选：B．
【点评】本题考查利用正、余弦定理解三角形，属于基础题．
8．（5分）在平面四边形ABCD中，，则该四边形的面积为（ ）
A．13B．26C．D．
【分析】根据题意，由数量积的坐标计算公式可得•＝3×4+（﹣2）×6＝0，故AC与BD垂直，进而结合平行四边形面积公式求解即可．
【解答】解：根据题意，在平面四边形ABCD中，，
则•＝3×4+（﹣2）×6＝0，则有⊥，故AC与BD垂直，
又由||＝＝，||＝＝2，
故该四边形的面积S＝||×||＝××2＝13．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
（多选）9．（6分）若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论错误的是（ ）
A．α内的所有直线与a是异面直线
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内存在唯一一条直线与a平行
D．α内的所有直线与a都相交
【分析】由直线a不平行于平面α，且直线a⊄α，知α内的所有直线与a异面或相交，α内不存在与a平行的直线．
【解答】解：∵直线a不平行于平面α，且直线a⊄α，
∴直线a与平面α相交
∴α内的所有直线与a异面或相交，故A与D不成立；
α内不存在与a平行的直线，故B成立，C不成立．
故选：ACD．
【点评】本题考查空间中直线与直线之间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是基础题．
（多选）10．（6分）已知向量，则以下说法正确的是（ ）
A．∥
B．与的夹角余弦值为
C．与的夹角是锐角
D．向量在向量上的投影向量为
【分析】根据已知条件，结合平面向量的坐标运算，投影向量的公式，向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解：，
则，
不存在实数λ，使得，故A错误；
，，
故cs＝＝，故B正确；
，
则，
故与的夹角是锐角不成立，故C错误；
，
则，，
故向量在向量上的投影向量为：＝，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，投影向量的公式，向量的夹角公式，属于基础题．
（多选）11．（6分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A．若a2+b2﹣c2＜0，则△ABC是钝角三角形
B．若acsA＝bcsB，则△ABC为等腰三角形
C．若，则
D．若，且△ABC有两解，则b的取值范围是
【分析】A中，由余弦定理可得角C为钝角，判断出A的真假；B中，由正弦定理可得sin2A＝sin2B，可得2A＝2B或2A+2B＝π，可得三角形为等腰三角形或直角三角形，判断出B的真假；C中，由正弦定理及二倍角公式可得角B的大小，判断出C的真假；D中，由三角形有两解的充要条件，可得b边的范围，判断出D的真假．
【解答】解：A中，由题意及余弦定理可得csC＝＜0，所以C∈（，π），
所以该三角形为钝角三角形，所以A正确；
B中，因为acsA＝bcsB，由正弦定理可得sinAcsA＝sinBcsB，
可得sin2A＝sin2B，
在三角形中，2A＝2B或2A+2B＝π，
可得A＝B或A+B＝，
所以该三角形为等腰三角形或直角三角形，所以B不正确；
C中，因为，由正弦定理可得sinAsin＝sinBsinA，
因为sinA＞0，所以cs＝2sincs，
因为B∈（0，π），所以∈（0，），即cs＞0，
可得sin＝，
所以＝，可得B＝，所以C正确；
D中，因为，且△ABC有两解，则asinB＜b＜a，
即b∈（3，2），所以D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查正弦定理的应用，余弦定理的应用，属于中档题．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12．（5分）设向量，若，则实数m的值为 ﹣3 ．
【分析】根据题意，求出+2的坐标，分析可得•（+2）＝5+1+2m＝0，解可得答案．
【解答】解：根据题意，向量，则+2＝（5，1+2m），
若，则有•（+2）＝5+1+2m＝0，解可得m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
13．（5分）若复数z满足z•（1﹣2i）＝1+i，则z＝ ．
【分析】利用复数的除法运算即可得解．
【解答】解：因为z•（1﹣2i）＝1+i，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
14．（5分）设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且b＝2，A＝2B，则a的取值范围为 （2，2） ．
【分析】根据已知条件及三角形的内角和定理，利用三角函数的性质、正弦定理和二倍角公式即可求解．
【解答】解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，A＝2B，
所以，且B+A＝3B，
所以．
即，
所以，
因为b＝2，A＝2B，
由正弦定理可得：＝，
所以a＝•b＝×2＝4csB∈（2，2）．
故a的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理及锐角三角形的性质的应用，属于中档题．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知复数z＝（m2+5m﹣6）+（m﹣1）i，m∈R．
（Ⅰ）若z是纯虚数，求m的值；
（Ⅱ）若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由实部为0且虚部不为0列式求解；
（Ⅱ）由实部与虚部均小于0联立不等式组求解．
【解答】解：（Ⅰ）∵z＝（m2+5m﹣6）+（m﹣1）i是纯虚数，
∴，解得m＝﹣6；
（Ⅱ）∵z在复平面内对应的点在第三象限，
∴，解得﹣6＜m＜1．
故m的取值范围为（﹣6，1）．
【点评】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
16．（15分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝7，b＝3且3sinC＝5sinB．
（1）求c；
（2）求A的大小及△ABC的面积．
【分析】（1）利用正弦定理将角化边即可得解；
（2）利用余弦定理及面积公式计算可得．
【解答】解：（1）由正弦定理可得，
又3sinC＝5sinB，
所以3c＝5b，
又b＝3，
所以c＝5；
（2）由余弦定理，
又A∈（0，π），
所以，
所以．
【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．
17．（15分）如图，在菱形ABCD中，．
（1）若，求3x+4y的值；
（2）若，求．
【分析】（1）结合平面向量的线性运算求解；
（2）由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解．
【解答】解：（1）因为在菱形ABCD中，，
故，
又，
则，
所以3x+4y＝0．
（2）由题意可得：，
所以＝，
因为四边形ABCD为菱形，且，
故，
所以，
故＝．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
18．（17分）从一张半径为3的圆形铁皮中截剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），成一个深度为h米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为．
（1）求圆锥筒的容积；
（2）在（1）中的圆锥内有一个底面圆半径为x的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面的最大值以及取最大值时x的值．
【分析】（1）设圆锥筒的半径为r，容积为V，由扇形的弧长等于圆锥底面周长列式求得r，进一步求出高，可得圆锥体积；
（2）设内接圆柱高为h，由三角形相似列式，把h用含有x的代数式表示，代入圆柱侧面积公式，利用二次函数求最值．
【解答】解：（1）根据题意，设圆锥筒的半径为r，容积为V，
∵所裁剪的扇形铁皮的圆心角为，
∴，解得r＝1，
∴，
∴．
故圆锥筒的容积为；
（2）设内接圆柱高为h，
则有：，
∴内接圆柱侧面积π，
∴当时内接圆柱侧面积最大值，且其最大值为π．
【点评】本题考查扇形弧长、圆锥体积及圆柱侧面积公式的应用，考查运算求解能力，是中档题．
19．（17分）在△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积为，点D是线段BC上靠近点B的一个三等分点，AD＝1．
（1）若，求c；
（2）若b2+4c2＝11，求sin∠BAC的值．
【分析】（1）由CD＝2BD得，再结合余弦定理从而可求解．
（2）由CD＝2BD利用向量可得，并结合b2+4c2＝11得，再由，从而可求解．
【解答】解：（1）由题可得：CD＝2BD，故，
又，即，
∴，即，
在△ABD中，根据余弦定理得AB2＝BD2+AD2﹣2AD•BD•cs∠ADB，
即，
∴，即；
（2）∵CD＝2BD，∴，
∴，即，
又b2+4c2＝11，∴①，
又②，
由①②得：，
∴．
【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，向量数量积的性质在求解三角形中的应用，属于中档题．