安徽省蚌埠市禹会区田家炳中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷

这是一份安徽省蚌埠市禹会区田家炳中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数是二次函数的是( )
A. B.
C. D.
2.下面四条线段成比例的是( )
A. ，，，B. ，，，
C. ，，，D. ，，，
3.将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
4.已知反比例函数的图象经过点，那么这个反比例函数的解析式是( )
A. B. C. D.
5.关于二次函数的图象，下列说法正确的是( )
A. 开口向下B. 经过原点
C. 对称轴右侧的部分是下降的D. 顶点坐标是
6.如图，在中，，，，将沿图中的线段剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A. B.
C. D.
7.函数与在同一坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
8.二次函数的图象如图所示，其对称轴为，则下列结论中错误的是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在平行四边形ABCD中，的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，和都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.把长度为20cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是______结果保留根号
12.如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知，则______.
13.已知：二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是__________.
14.如图，在中，，，D是BC中点，，垂足为E，
的值为______.
若，则______.
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.已知抛物线
若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围．
若抛物线的顶点在x轴上，求k的值．
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题8分
已知线段x，y，若，求的值．
17.本小题8分
已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点，
求这个二次函数的关系式；
写出它的开口方向、对称轴．
18.本小题8分
如图，三个顶点坐标分别为，，，以原点O为位似中心，将放大为原来的2倍得
在图中第一象限内画出符合要求的；不要求写画法
的面积是：______.
19.本小题10分
如图，BE是的角平分线，延长BE至D，使得
求证：∽；
若，，，求CE长．
20.本小题10分
如图，为锐角三角形，AD是边BC上的高，正方形EFGH的一边在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，已知，
求证：∽；
求正方形EFGH的面积.
21.本小题12分
如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接OA，
求一次函数和反比例函数的解析式；
的面积为______；
直接写出时x的取值范围．
22.本小题12分
某网络经销商销售一款夏季时装，进价每件60元，售价每件130元，每天销售30件，每销售一件需缴纳网络平台管理费4元．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天起每天的单价均比前一天降1元，通过市场调查发现，该时装单价每降1元，每天销售量增加5件，设第x天且x为整数的销量为y件．
直接写出y与x的函数关系式；
在这30天内，哪一天的利润是6300元？
设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大，最大利润是多少．
23.本小题14分
如图，经过原点O的抛物与x轴交于另一点，在第一象限内与直线交于
求点B的坐标．
求这条抛物线的表达式．
在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的
面积为2，求点C的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
B、当时，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、，该函数是一次函数，故本选项不符合题意．
D、该函数不是函数，故本选项不符合题意．
故选：
根据二次函数的定义判断即可．
本题考查二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2.【答案】B
【解析】解：A、由于，所以不成比例，不符合题意；
B、由于，所以成比例，符合题意；
C、由于，所以不成比例，不符合题意；
D、由于，所以不成比例，不符合题意．
故选：
四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．
3.【答案】D
【解析】解：将抛物线先向右平移5个单位长度，得：；
再向上平移3个单位长度，得：，
故选：
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
4.【答案】D
【解析】解：设反比例函数的解析式为，
将代入，得，
解得，
所以这个反比例函数的解析式为
故选
先设出解析式，再将点的坐标代入求出k的值，从而得出答案．
本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式.
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质：顶点、对称轴的求法及图象的特点，是解答本题的关键
根据二次函数顶点式，可得对称轴的位置和顶点坐标，由二次项系数，可知函数图象是开口向上，再对每个选项分析，判断即可求解.
【解答】
解：由二次函数二次函数中，则抛物线开口向上；故本项错误；
B.当时，，则抛物线不过原点；故本项错误；
C.由二次函数得，开口向上，对称轴为直线，对称轴右侧的图象上升；故本项错误；
D.由二次函数得，顶点为；故本项正确；
故选D
6.【答案】B
【解析】解：A、根据两边成比例，夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
D、根据两边成比例，夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选：
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
C、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；
D、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项正确；
故选：
分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出k的符号，再根据一次函数的性质进行解答．
8.【答案】D
【解析】解：A、由抛物线开口向下，可得，
由抛物线与y轴的交点在x轴的上方，可得，
由抛物线的对称轴为，可得，则，
，故A正确，不符合题意；
B.当时，，则，故B正确，不符合题意；
C.由抛物线与x轴有两个交点，可得，故C正确，不符合题意；
D.对称轴，
，
，
，
故D错误，符合题意；
故选
A.由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，由a与0的关系并结合抛物线的对称轴判断b与0的关系，即可得出abc与0的关系；
B.由二次函数的图象可知当时，据此分析即可；
C.利用抛物线与x轴的交点的个数进行分析即可；
D.由对称轴，可得，又由B知，可得，可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系．关键是熟记二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
9.【答案】C
【解析】解：由，可设，则，，
四边形ABCD是平行四边形，
，，，
，，
平分，
，
，
，，
，
，
∽，
故选：
设，则，，先根据平行四边形的性质得到，，，再证明得到，，所以，接着利用得到∽，然后根据利用相似比得到的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．
分为、两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．
【解答】
解：如图1所示：当时，设边AC交边CD于点G，过点G作于点
和均为等边三角形，
为等边三角形．
设点C移动的距离为x，则，
，
两个三角形重叠部分的面积为y，即，
，
函数图象为抛物线的一部分，当时，，且抛物线的开口向上;
如图2所示：当时，过点G作于点
同理，为等边三角形，设点C移动的距离为x，则，
而，，
两个三角形重叠部分的面积为y，即，
，
函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．
故选：
11.【答案】
【解析】解：把长度为20cm的线段进行黄金分割，
较长的线段
故答案为：
把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．
本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的
12.【答案】6
【解析】解：点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于，
故答案为
欲求，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线的系数k，由此即可求出
本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度．
13.【答案】
【解析】解：抛物线经过、两点，
对称轴；
点关于对称轴对称点为，
因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是
故答案为：
根据、两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
∽，
：：CD，
是BC的中点，
；
，
；
故答案为：9；
，，
，
即BD：：BD，
又，
∽，
，
，，
，
，
故答案为：
先证∽，则利用相似比得到，然后根据D是BC中点得到，从而得到的值；
利用的结论得到，即BD：：BD，则可判断∽，则根据相似三角形的性质得到，然后计算出的度数，从而得的度数．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．
15.【答案】解：二次函数的图象与x轴有两个交点，
，
，
则k的取值范围为；
根据题意得：，
解得
【解析】此题主要考查了二次函数的图象与x轴交点的个数的判断以及图象顶点在坐标轴上的性质，熟练掌握其性质是解题关键．
根据抛物线与x轴有两个不同的交点，得出，进而求出k的取值范围．
根据顶点在x轴上，所以抛物线与x轴只有1个交点，据此求出即可．
16.【答案】解：，
，
即的值为
【解析】由，得到即可解决问题．
该题主要考查了比例线段及其运算问题；解题的关键是根据题意结合图形，求出x、y之间的数量关系．
17.【答案】解：设函数解析式为，把顶点和点代入解析式，得：
，所以抛物线的解析式为：；
由的函数解析式可得：抛物线的开口向下，对称轴为：直线
【解析】直接设顶点式，再用待定系数法求二次函数的解析式．进而可根据函数的解析式求得抛物线的开口方向和对称轴方程．
主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．
18.【答案】解：即为所求，
；

【解析】解：见答案；
的面积，故答案为
延长OA到，使，同法得到其余点的对应点，顺次连接即可；
把所求三角形的面积分割为矩形的面积减去若干直角三角形的面积即可．
考查位似图形的画法及相关计算；得到关键点的位置是解决本题的关键；网格中三角形面积的求法通常整理为规则图形的面积的和或者差．
19.【答案】证明：是的角平分线，
，
又，
∽；
解：，
∽，
，即，

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：利用角平分线的性质及等腰三角形的性质找出；根据相似三角形的性质找出
根据角平分线的性质结合等腰三角形的性质可得出，结合对顶角相等，即可证出∽；
根据相似三角形的性质，即可得出，代入数据即可求出CE的长度．
20.【答案】证明：四边形EFGH为正方形，
，
∽
解：设AD与HG的交点为M，如图，
则AM是的高．
由知：∽
四边形EFGH为正方形，
，
，
设，则，
解得：，
正方形EFGH的边长为
正方形EFGH的面积为：
【解析】应用定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所得的三角形与原三角形相似可得结论；
利用相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，列出比例式求出正方形的边长，结论可求．
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，一元一次方程的解法．利用相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，列出比例式是解题的关键．
21.【答案】解：把代入中，
解得：，
故反比例函数的解析式为；
把代入，解得，
故，
把，代入，
得，解得：，
故一次函数解析式为；
；
由图象可知，当或时，直线落在双曲线上方，即，
所以时x的取值范围是或
【解析】解：见答案；
如图，设一次函数与x轴交于点C，
令，得
点C的坐标是，
故答案为8；
见答案.
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，三角形的面积，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．利用了数形结合思想．
首先把代入反比例函数解析式中确定m，然后把代入反比例函数的解析式确定a，然后根据A，B两点坐标利用待定系数法确定一次函数的解析式；
求得一次函数与x轴的交点，根据即可求解；
根据图象，写出直线落在双曲线上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
22.【答案】解：由题意可知；
根据题意可得，
即，
解得：或舍，
在这30天内，第24天的利润是6300元．
根据题意可得：，
，
，
，
函数有最大值，
当时，W有最大值为6480元，
第30天的利润最大，最大利润是6480元．
【解析】根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式；
表示出网络经销商所获得的利润，解方程即可求出x的值；
根据每天售出的件数每件盈利=利润，即可得到的W与x之间的函数关系式，由函数的性质即可求出其最大利润以及其哪一天所获得的．
此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
23.【答案】解：在直线上，
，
；
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，
解得，
抛物线解析式为；
如图1，过C作轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作于点F，
点C是抛物线上第四象限的点，
可设，则，，
，，，
，
的面积为2，
，
解得，
当时，；

【解析】将代入，求出B；
将A与B代入抛物线即可求函数解析式；
过C作轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作于点，设，则，，可求，，，再由，并且的面积为2，即可求出t的值，进而确定点C坐标．
本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，转化三角形面积求点的坐标是解题的关键．x
…
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…