湖南省长沙市周南中学20232-2023学年高一下学期期末考试数学试题

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一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数的虚部是（）
A. 1B. C. D.
3. 设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
4. 已知，则的值为（）
A. B. C. D.
5. 著名数学家华罗庚先生曾经说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，如函数的图像大致是（）
A. B.
C. D.
6. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）
A. B. C. D.
7. 已知在上为减函数，则实数取值范围是（）
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，若，，，则（）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9. 下列说法中正确的是（）
A. 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等．
B. 若为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥．
C. 设样本数据平均数和方差分别为2和8，若，则的平均数和方差分别为5和32
D. 高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了容量为160的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则高一和高二数学竞赛的平均分约为84.375分
10. 如图是函数（，，）的部分图像，则（）
A. 的最小正周期为
B. 是的函数的一条对称轴
C. 将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数
D. 若函数（）在上有且仅有两个零点，则
11. 在中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（）
A.
B.
C. 若，则是在方向上的投影向量
D. 若点P是线段AD上动点，目，则的最大值为
12. 如图，在正方体中，E是棱DD1的中点，F在侧面CDD1C1上运动，且满足平面A1BE．则下列命题中正确的有（）
A. 侧面CDD1C1上存在点F，使得
B. 直线B1F与直线CD1所成角可能为
C. 三棱锥A1BEF的体积为定值
D. 设正方体棱长为1，则过点E，F，A平面截正方体所得的截面面积最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为________.
14. 如图所示，已知平面，则__________．
15. 如图，直角梯形中，，，
动点在边上，且满足均为正实数），则的最小值为_______．
16. 函数，直线与函数的图象相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为，则的取值范围是______．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，求函数的值域.
18. 如图，直二面角中，四边形是边长为2的正方形，为上的点，且平面，
（1）求证：平面.；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求点到平面的距离.
19. 某校举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）用分层随机抽样的方法从[80,90)，[90,100]两个区间共抽取出5名学生，则每个区间分别应抽取多少人；
（2）在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]的概率；
（3）现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前60%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1）
20. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acs C＋asin C－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若AD为BC边上的中线，cs B＝，AD＝，求△ABC的面积．
21. 某公司研发了一款新型的洗衣液，其具有“强力去渍、快速去污”的效果.研发人员通过多次试验发现每投放克洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，且当水中洗衣液的浓度不低于16克/升时，才能够起到有效去污的作用.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.
（1）若一次投放4克洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
（2）如果第一次投放4克洗衣液，4分钟后再投放4克洗衣液，写出第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度（克/升）与时间（分钟）的函数关系式，其中表示第一次投放的时长，并判断接下来的4分钟是否能够持续有效去污.
22. 已知函数．
（1）若不等式的解集为R，求m的取值范围；
（2）解关于x的不等式；
（3）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围．